20 câu Trắc nghiệm Phương trình quy về phương trình bậc hai (Kết nối tri thức 2023) có đáp án

Trắc nghiệm Toán 10 Bài 18: Phương trình quy về phương trình bậc hai

Câu 1. Nghiệm của phương trình: $\sqrt{x + 1} + \sqrt{4 x + 13}$ = $\sqrt{3 x + 12}$ là:

A. x = 1;

B. x = – 1;

C. x = 4;

D. x = – 4.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Điều kiện xác định $\{\begin{cases} x \geq - 1 \\ x \geq - \frac{13}{4} \\ x \geq - 4 \end{cases}$ ⇔ x ≥ 1

Ta có: $\sqrt{x + 1} + \sqrt{4 x + 13}$ = $\sqrt{3 x + 12}$

⇒ 2 $\sqrt{4 x^{2} + 17 x + 13}$ = -2x -2

⇒ 4x² + 17x + 13 = x² + 2x + 1

⇒ 3x² + 15x + 12 = 0

⇒ x = -1 hoặc x = -4

Thay lần lượt hai giá trị của x vào phương trình đã cho ta thấy chỉ có x = -1 là thỏa mãn.

Vậy đáp án đúng là B

Câu 2. Nghiệm của phương trình $\sqrt{8 - x^{2}} = \sqrt{x + 2}$ là

A. x = – 3;

B. x = – 2;

C. x = 2;

D. $[\begin{array}{l} x = 2 \\ x = - 3 \end{array}$ .

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Xét phương trình $\sqrt{8 - x^{2}} = \sqrt{x + 2}$

⇒ 8 – x² = x + 2

⇒ x² + x – 6 = 0

⇒ x = 2 hoặc x = -3.

Thay lần lượt hai giá trị vào phương trình đã cho ta thấy x = 2 là thỏa mãn.

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x = 2.

Đáp án đúng là C.

Câu 3. Số nghiệm của phương trình $\sqrt{x^{2} - 4 x - 12}$ = x – 4 là:

A. 1;

B. 2;

C. 0;

D. 3.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Điều kiện của phương trình: x² – 4x – 12 ≥ 0 ⇔ $[\begin{array}{l} x \geq 6 \\ x \leq - 2 \end{array}$

$\sqrt{x^{2} - 4 x - 12}$ = x – 4 ⇔ $\{\begin{cases} x \geq 6 \\ x^{2} - 4 x - 12 = x^{2} - 8 x + 16 \end{cases}$

⇔ $\{\begin{cases} x \geq 6 \\ 4 x - 28 = 0 \end{cases}$ ⇔ x = 7

Vậy phương trình có 1 nghiệm

Câu 4. Nghiệm của phương trình $\sqrt{2 x^{2} - 6 x - 4}$ = x – 2 là:

A. $[\begin{array}{l} x = - 2 \\ x = 4 \end{array}$ ;

B. x = 2;

C. x = – 2;

D. x = 4.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Điều kiện của phương trình: 2x² – 6x – 4 ≥ 0 ⇔ $[\begin{array}{l} x \geq \frac{3 + \sqrt{17}}{2} \\ x \leq \frac{3 - \sqrt{17}}{2} \end{array}$

$\sqrt{2 x^{2} - 6 x - 4}$ = x – 2 ⇔ $\{\begin{cases} x \geq 2 \\ 2 x^{2} - 6 x - 4 = {(x - 2)}^{2} \end{cases}$ ⇔ $\{\begin{cases} x \geq 2 \\ x^{2} - 2 x - 8 = 0 \end{cases}$ ⇔ x = 4

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x = 4.

Câu 5. Nghiệm của phương trình $\sqrt{2 x + 7}$ = x – 4 thuộc khoảng nào dưới đây:

A. (0; 2);

B. (9; 10);

C. [7; 9];

D. (-1; 1].

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Điều kiện của phương trình: 2x + 7 ≥ 0 ⇔ x ≥ – $\frac{7}{2}$

$\sqrt{2 x + 7}$ = x – 4 ⇔ $\{\begin{cases} x \geq 4 \\ 2 x + 7 = {(x - 4)}^{2} \end{cases}$ ⇔ $\{\begin{cases} x \geq 4 \\ x^{2} - 10 x + 9 = 0 \end{cases}$ ⇔ $\{\begin{cases} x \geq 4 \\ [\begin{array}{l} x = 1 \\ x = 9 \end{array} \end{cases}$ ⇔ x = 9.

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x = 9 ∈ [7; 9].

Đáp án đúng là C.

Câu 6. Phương trình: $\sqrt{x^{2} + x + 4} + \sqrt{x^{2} + x + 1}$ = $\sqrt{2 x^{2} + 2 x + 9}$ có tích các nghiệm là:

A. P = 1;

B. P = – 1;

C. P = 0;

D. P = 2.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là C

Tập xác định D = ℝ, đặt t = x² + x + 1 (t ≥ 0).

Phương trình đã cho trở thành $\sqrt{t + 3} + \sqrt{t} = \sqrt{2 t + 7}$ ⇔ 2t + 3 + 2 $\sqrt{t (t + 3)}$ = 2t + 7

⇔ $\sqrt{t (t + 3)}$ = 2

⇔ t(t + 3) = 4

⇔ t² + 3t – 4 = 0

⇔ $[\begin{array}{l} t = 1 \\ t = - 4 \end{array}$

Kết hợp điều kiện thấy t = 1 thỏa mãn.

Với t = 1 ta có x² + x + 1 = 1 ⇔ $[\begin{array}{l} x = 0 \\ x = - 1 \end{array}$ .

Thay lần lượt các giá trị x = 0 và x = -1 vào phương trình đã cho ta thấy cả hai giá trị đều thỏa mãn.

Vậy tích các nghiệm của phương trình (-1).0 = 0.

Câu 7. Nghiệm của phương trình $\sqrt{5 x^{2} - 6 x - 4}$ = 2(x – 1) là:

A. x = – 4;

B. x = 2;

C. x = 1;

D. $[\begin{array}{l} x = - 4 \\ x = 2 \end{array}$ .

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Điều kiện của phương trình 5x² – 6x – 4 ≥ 0 ⇔ $[\begin{array}{l} x \leq \frac{3 - \sqrt{29}}{5} \\ x \geq \frac{3 + \sqrt{29}}{5} \end{array}$

$\sqrt{5 x^{2} - 6 x - 4}$ = 2(x – 1) ⇔ $\{\begin{cases} 2 (x - 1) \geq 0 \\ 5 x^{2} - 6 x - 4 = 4 {(x - 1)}^{2} \end{cases}$

⇔ $\{\begin{cases} x \geq 1 \\ x^{2} + 2 x - 8 = 0 \end{cases}$ ⇔ $\{\begin{cases} x \geq 1 \\ [\begin{array}{l} x = 2 \\ x = - 4 \end{array} \end{cases}$ ⇔ x = 2.

Vậy nghiệm của phương trình là x = 2.

Câu 8. Nghiệm của phương trình $\sqrt{3 x + 13}$ = x + 3 là:

A. $[\begin{array}{l} x = - 4 \\ x = 1 \end{array}$ ;

B. x = – 4;

C. $[\begin{array}{l} x = 4 \\ x = - 1 \end{array}$ ;

D. x = 1.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

$\sqrt{3 x + 13}$ = x + 3

⇒ 3x + 13 = x² + 6x + 9

⇒ x² + 3x – 4 = 0

⇒ x = 1 hoặc x = -4.

Thay hai giá trị của x vào phương trình đã cho ta thấy x = 1 thỏa mãn.

Vậy phương trình đã cho nghiệm là x = 1.

Câu 9. Số nghiệm của phương trình $\sqrt{x^{2} + 5}$ = x² – 1 là:

A. 1;

B. 2;

C. 0;

D. 4.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Điều kiện của phương trình x² + 5 ≥ 0 với ∀ x ∈ ℝ

$\sqrt{x^{2} + 5}$ = x² – 1 ⇔ $\{\begin{cases} x^{2} - 1 \geq 0 \\ x^{2} + 5 = {(x^{2} - 1)}^{2} \end{cases}$ ⇔ $\{\begin{cases} [\begin{array}{l} x \geq 1 \\ x \leq - 1 \end{array} \\ x^{4} - 3 x^{2} - 4 = 0 \end{cases}$

⇔ $\{\begin{cases} [\begin{array}{l} x \geq 1 \\ x \leq - 1 \end{array} \\ [\begin{array}{l} x^{2} = - 1 (V L) \\ x^{2} = 4 \end{array} \end{cases}$ ⇔ $\{\begin{cases} [\begin{array}{l} x \geq 1 \\ x \leq - 1 \end{array} \\ [\begin{array}{l} x = 2 \\ x = - 2 \end{array} \end{cases}$ ⇔ $[\begin{array}{l} x = - 2 \\ x = 2 \end{array}$ (thỏa mãn điều kiện).

Vậy phương trình có 2 nghiệm.

Câu 10. Số nghiệm của phương trình $\sqrt{3 - x + x^{2}}$ – $\sqrt{2 + x - x^{2}}$ = 1 là:

A. 0;

B. 1;

C. 2;

D. 3.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Điều kiện: $\{\begin{cases} 3 - x + x^{2} \geq 0 \\ 2 + x - x^{2} \geq 0 \end{cases}$ ⇔ 1 ≤ x ≤ 2

Ta có $\sqrt{3 - x + x^{2}}$ – $\sqrt{2 + x - x^{2}}$ = 1

⇔ $\{\begin{cases} - 1 \leq x \leq 2 \\ 3 - x + x^{2} = 1 + 2 + x - x^{2} + 2 \sqrt{2 + x - x^{2}} \end{cases}$

⇔ $\{\begin{cases} - 1 \leq x \leq 2 \\ 2 + x - x^{2} + \sqrt{2 + x - x^{2}} - 2 = 0 (1) \end{cases}$ .

Đặt $\sqrt{2 + x - x^{2}}$ = t(t ≥ 0)

Từ (1) ta có phương trình t² + t – 2 = 0 ⇔ $[\begin{array}{l} t = 1 \\ t = - 2 \end{array}$

Kết hợp với điều kiện t = 1 thỏa mãn

Với t = 1 ta có $\sqrt{2 + x - x^{2}}$ = 1 => x² – x – 1= 0 ⇔ x = $\frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$ ( thỏa mãn)

Vậy phương trình có 2 nghiệm.

Câu 11. Gọi k là số nghiệm âm của phương trình: $\sqrt{- x^{2} + 6 x - 5}$ = 8 – 2x. Khi đó k bằng:

A. k = 0;

B. k = 1;

C. k = 2;

D. k = 3.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Điều kiện của phương trình : – x² + 6x – 5 ≥ 0 ⇔ 1 ≤ x ≤ 5

Ta có: $\sqrt{- x^{2} + 6 x - 5}$ = 8 – 2x

⇔ $\{\begin{cases} 1 \leq x \leq 4 \\ - x^{2} + 6 x - 5 = {(8 - 2 x)}^{2} \end{cases}$

⇔ $\{\begin{cases} 1 \leq x \leq 4 \\ - 5 x^{2} + 38 x - 69 = 0 \end{cases}$

⇔ $\{\begin{cases} 1 \leq x \leq 4 \\ [\begin{array}{l} x = 3 \\ x = \frac{23}{5} \end{array} \end{cases}$ ⇔ x = 3.

Do đó phương trình không có nghiệm âm. Suy ra k = 0.

Câu 12. Tổng các nghiệm của phương trình (x – 2) $\sqrt{2 x + 7}$ = x² – 4 bằng:

A. 0;

B. 1;

C. 2;

D. 3.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Điều kiện của phương trình: 2x + 7 ≥ 0 ⇔ x ≥ – $\frac{7}{2}$

Xét với x = 2 là nghiệm của phương trình

Với x ≠ 2 ta có (x – 2) $\sqrt{2 x + 7}$ = x² – 4 ⇔ $\sqrt{2 x + 7}$ = x + 2

⇔ $\{\begin{cases} x \geq - 2 \\ 2 x + 7 = {(x + 2)}^{2} \end{cases}$ ⇔ $\{\begin{cases} x \geq - 2 \\ x^{2} + 2 x - 3 = 0 \end{cases}$ ⇔ $\{\begin{cases} x \geq - 2 \\ [\begin{array}{l} x = 1 \\ x = - 3 \end{array} \end{cases}$ ⇔ x = 1

Suy ra phương trình có 2 nghiệm là x = 1; x = 2.

Vậy tổng các nghiệm S = 3.

Câu 13. Số nghiệm của phương trình: $\sqrt{2 - x} + \frac{4}{\sqrt{2 - x} + 3}$ = 2 là:

A. 0;

B. 1;

C. 2;

D. 3.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Điều kiện của phương trình: $\{\begin{cases} 2 - x \geq 0 \\ \sqrt{2 - x} + 3 \neq 0 \end{cases}$ ⇔ x ≤ 2

Đặt $\sqrt{2 - x}$ = t(t ≥ 0) ta có $\sqrt{2 - x} + \frac{4}{\sqrt{2 - x} + 3}$ = 2 ⇔ t + $\frac{4}{t + 3}$ = 2

⇔ t² + t – 2 = 0 ⇔ $[\begin{array}{l} t = 1 \\ t = - 2 \end{array}$

Kết hợp điều kiện t = 1 thỏa mãn

Với t = 1 ta có $\sqrt{2 - x}$ = 1 ⇔ x = 1

Vậy phương trình có một nghiệm x = 1.

Câu 14. Số nghiệm của phương trình 4 $\sqrt{x^{2} - 6 x + 6}$ = x² – 6x + 9 là:

A. 1;

B. 2;

C. 3;

D. 4.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Điều kiện của phương trình x² – 6x + 6 ≥ 0 ⇔ $[\begin{array}{l} x \geq 3 + \sqrt{3} \\ x \leq 3 - \sqrt{3} \end{array}$

Đặt $\sqrt{x^{2} - 6 x + 6}$ = t(t > 0)

4 $\sqrt{x^{2} - 6 x + 6}$ = x² – 6x + 9 ⇔ 4t = t² + 3

⇔ t² – 4t + 3 = 0 ⇔ $[\begin{array}{l} t = 1 \\ t = 3 \end{array}$

Với t = 1 ta có phương trình $\sqrt{x^{2} - 6 x + 6}$ = 1 ⇔ x² – 6x + 5 = 0 ⇔ $[\begin{array}{l} x = 1 \\ x = 5 \end{array}$

Với t = 3 ta có phương trình $\sqrt{x^{2} - 6 x + 6}$ = 3 ⇔ x² – 6x – 3 = 0 ⇔ $[\begin{array}{l} x = 3 + 2 \sqrt{3} \\ x = 3 - 2 \sqrt{3} \end{array}$

Kết hợp với điều kiện cả bốn nghiệm đều thỏa mãn.

Vậy phương trình có 4 nghiệm.

Câu 15. Tích các nghiệm của phương trình (x + 4)(x + 1) – 3 $\sqrt{x^{2} + 5 x + 2}$ = 6 là:

A. – 5;

B. – 9;

C. – 14;

D. – 4;

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Điều kiện của phương trình: x² + 5x + 2 ≥ 0 ⇔ $[\begin{array}{l} x \geq \frac{- 5 + \sqrt{17}}{2} \\ x \leq \frac{- 5 - \sqrt{17}}{2} \end{array}$

(x + 4)(x + 1) – 3 $\sqrt{x^{2} + 5 x + 2}$ = 6 ⇔ x² + 5x + 4 – 3 $\sqrt{x^{2} + 5 x + 2}$ = 6

Đặt $\sqrt{x^{2} + 5 x + 2}$ = t(t ≥ 0)

x² + 5x + 4 – 3 $\sqrt{x^{2} + 5 x + 2}$ = 6 ⇔ t² – 3t – 4 = 0 ⇔ $[\begin{array}{l} t = - 1 \\ t = 4 \end{array}$

Kết hợp với điều kiện t = 4 thỏa mãn

Với t = 4 ta có $\sqrt{x^{2} + 5 x + 2}$ = 4 ⇔ x² + 5x – 14 = 0 ⇔ $[\begin{array}{l} x = 2 \\ x = - 7 \end{array}$

Vậy tích các nghiệm của phương trình là – 14.

Xem thêm các bài trắc nghiệm Toán lớp 10 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Trắc nghiệm Toán 10 Bài 17: Dấu của tam thức bậc hai

Trắc nghiệm Toán 10 Bài 18: Phương trình quy về phương trình bậc hai

Trắc nghiệm Toán 10 Chương 6: Hàm số, đồ thị và ứng dụng

Trắc nghiệm Bài 19: Phương trình đường thẳng

Trắc nghiệm Bài 20: Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng. Góc và khoảng cách

Bài liên quan:

Leave a Comment Hủy