20 câu Trắc nghiệm Tích vô hướng của hai vectơ (Cánh diều 2023) có đáp án – Toán lớp 10

Trắc nghiệm Toán 10 Bài 6: Tích vô hướng của hai vectơ

Câu 1. Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng a. Tính tích vô hướng $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}.$

A. $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=2a^2;$

B. $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=-\frac{a^2\sqrt{3}}{2};$

C. $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=-\frac{a^2}{2};$

D. $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=\frac{a^2}{2}.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Xác định được góc $\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)$ là góc $\hat{A}$ nên $\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)={60}^0$(do tam giác ABC đều)

Do đó $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=AB.AC.cos\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)=a.a.cos{60}^0=\frac{a^2}{2}.$

Câu 2. Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng a Tính tích vô hướng $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BC}.$

A. $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BC}=a^2;$

B. $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BC}=\frac{a^2\sqrt{3}}{2};$

C. $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BC}=-\frac{a^2}{2};$

D. $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BC}=\frac{a^2}{2}.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Xác định được góc $\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BC}\right)$ là góc ngoài của góc $\hat{B}$ nên $\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BC}\right)={120}^0$(do tam giác ABC là tam giác đều nên góc $\hat{B}=60°$, do đó, góc ngoài của góc B có số đo là 120^o).

Do đó $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BC}=AB.BC.cos\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BC}\right)=a.a.cos{120}^0=-\frac{a^2}{2}.$

Câu 3. Gọi G là trọng tâm tam giác đều ABC có cạnh bằng a. Mệnh đề nào sau đây là sai?

A. $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=\frac{1}{2}{a}^2;$

B. $\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{CB}=-\frac{1}{2}{a}^2;$

C. $\overrightarrow{GA}.\overrightarrow{GB}=\frac{a^2}{6};$

D. $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AG}=\frac{1}{2}{a}^2.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

– Xác định được góc $\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)$ là góc $\hat{A}$ nên $\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)={60}^0.$(do tam giác ABC đều)

Do đó $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=AB.AC.cos\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)=a.a.cos{60}^0=\frac{a^2}{2}$$\Rightarrow$A đúng

– Xác định được góc $\left(\overrightarrow{AC},\overrightarrow{CB}\right)$ là góc ngoài của góc $\hat{C}$ nên $\left(\overrightarrow{AC},\overrightarrow{CB}\right)={120}^0.$

Do đó $\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{CB}=AC.CB.cos\left(\overrightarrow{AC},\overrightarrow{CB}\right)=a.a.cos{120}^0=-\frac{a^2}{2}\Rightarrow$B đúng.

– Xác định được góc $\left(\overrightarrow{GA},\overrightarrow{GB}\right)$ là góc $\widehat{AGB}$ nên $\left(\overrightarrow{GA},\overrightarrow{GB}\right)={120}^0.$

Ta có: AG nằm trên đường trung tuyến cũng chính là đường cao của tam giác đều ABC, ta tính được đường cao, suy ra: AG = $\frac{2}{3}$.a.$\frac{\sqrt{3}}{2}$= $\frac{a}{\sqrt{3}}$.

Tương tự, GB = $\frac{a}{\sqrt{3}}$.

Do đó $\overrightarrow{GA}.\overrightarrow{GB}=GA.GB.cos\left(\overrightarrow{GA},\overrightarrow{GB}\right)=\frac{a}{\sqrt{3}}.\frac{a}{\sqrt{3}}.cos{120}^0=-\frac{a^2}{6}\Rightarrow$C sai.

– Xác định được góc $\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AG}\right)$ là góc $\widehat{GAB}$ nên $\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AG}\right)={30}^0.$

Do đó $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AG}=AB.AG.cos\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AG}\right)=a.\frac{a}{\sqrt{3}}.cos{30}^0=\frac{a^2}{2}\Rightarrow$D đúng.

Câu 4. Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng a và chiều cao AH. Mệnh đề nào sau đây là sai?

A. $\overrightarrow{AH}.\overrightarrow{BC}=0;$

B. $\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{HA}\right)={150}^0;$

C. $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=\frac{a^2}{2};$

D. $\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{CB}=\frac{a^2}{2}.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Xác định được góc $\left(\overrightarrow{AC},\overrightarrow{CB}\right)$ là góc ngoài của góc $\hat{A}$ nên $\left(\overrightarrow{AC},\overrightarrow{CB}\right)={120}^0.$(vì tam giác ABC đều nên góc A = 60^o, do đó góc ngoài của góc A bằng 120^o).

Do đó $\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{CB}=AC.CB.cos\left(\overrightarrow{AC},\overrightarrow{CB}\right)=a.a.cos{120}^0=-\frac{a^2}{2}.$

+) A đúng vì $\overrightarrow{AH}\perp \overrightarrow{BC}$ nên suy ra $\overrightarrow{AH}.\overrightarrow{BC}=0;$

+) B đúng vì AH chính là tia phân giác nên $\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{HA}\right)={150}^0;$

+) C đúng vì $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=AB.AC.cos\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)=a.a.cos{60}^0=\frac{a^2}{2}.$

Câu 5. Cho tam giác ABC vuông cân tại A và có $AB=AC=a.$ Tính $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BC}.$

A. $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BC}=-a^2;$

B. $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BC}=a^2;$

C. $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BC}=-\frac{a^2\sqrt{2}}{2};$

D. $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BC}=\frac{a^2\sqrt{2}}{2}.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Xác định được góc $\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BC}\right)$ là góc ngoài của góc $\hat{B}$ nên $\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BC}\right)={135}^0.$(Tam giác ABC vuông cân tại A, suy ra góc $\widehat{ABC}$= ${45}^0$)

Độ dài BC là:$B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2$$\iff$$BC=\sqrt{A{B}^2+A{C}^2}$

$\iff$$BC=a\sqrt{2}$

Do đó $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BC}=AB.BC.cos\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BC}\right)=a.a\sqrt{2}.cos{135}^0=-a^2.$

Câu 6. Cho $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ là hai vectơ cùng hướng và đều khác vectơ $\overrightarrow{0}$. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. 

B. $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=0;$

C. $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=-1$;

D. 

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta có: 

Do $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ là hai vectơ cùng hướng nên $\left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)=0^0\Rightarrow cos\left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)=1$

Vậy 

Câu 7. Cho $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ khác vectơ $\overrightarrow{0}$. Xác định góc $\alpha$ giữa hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ khi 

A. $\alpha ={180}^0;$

B. $\alpha =0^0;$

C. $\alpha ={90}^0;$

D. $\alpha ={45}^0.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta có: 

Mà theo giả thiết , suy ra $\cos \left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)=-1\Rightarrow \left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)={180}^0.$

Câu 8. Cho hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ thỏa mãn  Xác định góc $\alpha$ giữa hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$

A. $\alpha ={30}^0;$

B. $\alpha ={45}^0;$

C. $\alpha ={60}^0;$

D. $\alpha ={120}^0.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Ta có: 

Câu 9. Cho hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ thỏa mãn  và hai vectơ $\overrightarrow{u}=\frac{2}{5}\overrightarrow{a}-3\overrightarrow{b}$ và $\overrightarrow{v}=\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$ vuông góc với nhau. Xác định góc $\alpha$ giữa hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$.

A. $\alpha ={90}^0;$

B. $\alpha ={180}^0;$

C. $\alpha ={60}^0;$

D. $\alpha ={45}^0.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Ta có:$\overrightarrow{u}\perp \overrightarrow{v}\Rightarrow \overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=0\iff \left(\frac{2}{5}\overrightarrow{a}-3\overrightarrow{b}\right)\left(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right)=0\iff \frac{2}{5}{\overrightarrow{a}}^2-\frac{13}{5}\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}-3{\overrightarrow{b}}^2=0$

Suy ra 

Câu 10. Cho hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$. Đẳng thức nào sau đây sai?

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Nhận thấy C và D chỉ khác nhau về hệ số $\frac{1}{2}$ và $\frac{1}{4}$ nên đáp án sai rơi vào C hoặc D.

Ta có:

$={\overrightarrow{a}}^2+{\overrightarrow{b}}^2+2\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}-{\overrightarrow{a}}^2-{\overrightarrow{b}}^2+2\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=4\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}$

– A đúng, vì:

– B đúng, vì

Câu 11. Cho tam giác ABC vuông cân tại Acó BC = 2. Tính tích vô hướng $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CA}$

A.1;

B. 2;

C. 0;

D.3.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Do tam giác ABC vuông cân tại A nên suy ra $AB\perp CA$$\Rightarrow$$\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CA}$ = 0

Câu 12. Cho tam giác ABC vuông tại A và có AB = c; AC = b. Tính $\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC}.$

A.$\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC}=b^2;$

B. $\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC}=c^2;$

C. $\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC}=b^2+c^2;$

D.$\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC}=b^2-c^2.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Áp dung định lý Py – ta – go ta có:

$A{B}^2+A{C}^2=B{C}^2$

$\iff BC=\sqrt{A{B}^2+A{C}^2}=\sqrt{c^2+b^2}$

Cos B = $\frac{AB}{BC}=\frac{c}{\sqrt{b^2+c^2}}$

Lại có: cos B chính là cos $\left(\overrightarrow{BA};\overrightarrow{BC}\right)$

Ta có:

$\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC}=BA.BC.cos\left(\overrightarrow{BA},\overrightarrow{BC}\right)=BA.BC.cos\hat{B}=c.\sqrt{b^2+c^2}.\frac{c}{\sqrt{b^2+c^2}}=c^2.$

Câu 13. Cho tam giác ABC có $BC=a,CA=b,AB=c.$ Tính $P=\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right).\overrightarrow{BC}.$

A. $P=b^2-c^2;$

B. $P=\frac{c^2+b^2}{2};$

C. $P=\frac{c^2+b^2+a^2}{3};$

D. $P=\frac{c^2+b^2-a^2}{2}.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta có:$P=\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right).\overrightarrow{BC}=\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right).\left(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}\right).$

$=\left(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AB}\right).\left(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}\right)={\overrightarrow{AC}}^2-{\overrightarrow{AB}}^2=A{C}^2-A{B}^2=b^2-c^2.$

Câu 14. Cho tam giác ABC có $BC=a,CA=b,AB=c.$ Gọi M là trung điểm cạnh BC Tính $\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{BC}.$

A. $\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{BC}=\frac{b^2-c^2}{2};$

B. $\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{BC}=\frac{c^2+b^2}{2};$

C. $\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{BC}=\frac{c^2+b^2+a^2}{3};$

D. $\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{BC}=\frac{c^2+b^2-a^2}{2}.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Vì M là trung điểm của BC suy ra $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AM}.$

Khi đó $\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{BC}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right).\overrightarrow{BC}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right).\left(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}\right)$

$=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AB}\right).\left(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}\right)=\frac{1}{2}\left({\overrightarrow{AC}}^2-{\overrightarrow{AB}}^2\right)=\frac{1}{2}\left(A{C}^2-A{B}^2\right)=\frac{b^2-c^2}{2}.$

Câu 15. Cho ba điểm O, A, B không thẳng hàng. Điều kiện cần và đủ để tích vô hướng $\left(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}\right).\overrightarrow{AB}=0$ là

A. Tam giác OAB đều;

B. Tam giác OAB cân tại O;

C. Tam giác OAB vuông tại O;

D. Tam giác OAB vuông cân tại O.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Ta có:$\left(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}\right).\overrightarrow{AB}=0\iff \left(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}\right).\left(\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}\right)=0$

$\iff {\overrightarrow{OB}}^2-{\overrightarrow{OA}}^2=0\iff O{B}^2-O{A}^2=0\iff OB=OA.$

Do đó, tam giác OAB cân tại O.

Xem thêm các bài trắc nghiệm Toán 10 Cánh diều hay, chi tiết khác:

Trắc nghiệm Toán 10 Bài 5: Tích của một số với một vectơ

Trắc nghiệm Toán 10 Bài 6: Tích vô hướng của hai vectơ

Trắc nghiệm Ôn tập chương 4

Trắc nghiệm Toán 10 Bài 1: Quy tắc cộng. Quy tắc nhân. Sơ đồ hình cây

Trắc nghiệm Toán 10 Bài 2: Hoán vị. Chỉnh hợp