20 câu Trắc nghiệm Vị trí tương đối và góc giữa hai đường thẳng. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng (Cánh diều 2023) có đáp án – Toán lớp 10

Trắc nghiệm Toán 10 Bài 4: Vị trí tương đối và góc giữa hai đường thẳng. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

Câu 1. Tính góc tạo bởi giữa hai đường thẳng: $d_1$: 2x – y – 3 = 0 và $d_2$: x – 3y + 8 = 0

A. ${30}^{\text{o}}.$

B. ${45}^{\text{o}}.$

C. ${60}^{\text{o}}.$

D. ${135}^{\text{o}}.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Ta có:

 với ${\overrightarrow{n}}_1$; ${\overrightarrow{n}}_2$ lần lượt là các vectơ pháp tuyến của đường thẳng $d_1$; $d_2$.

Áp dụng công thức góc giữa hai đường thẳng, ta có:

Câu 2. Tìm giá trị âm của m để góc tạo bởi giữa hai đường thẳng $d_1$: 7x – 3y + 2 = 0 và $d_2$: 2x + 5my +1 = 0 bằng 45°.

A. – 1;

B. $\frac{4}{25}$;

C. $-\frac{4}{25}$;

D. 1.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta có:

 với ${\overrightarrow{n}}_1$; ${\overrightarrow{n}}_2$ lần lượt là vectơ pháp tuyến của đường thẳng $d_1$; $d_2$.

Áp dụng công thức góc giữa hai đường thẳng:

⇔ 2(196 – 420m + 225m²) = 58(4 + 25m²)

⇔ 392 – 840m + 450m² = 232 + 1450m²

⇔ 1000m² + 840m – 160 = 0

⇔ m = $\frac{4}{25}$ hoặc m = – 1

Vậy giá trị âm của m thỏa mãn điều kiện bài toán là m = – 1.

Câu 3. Tính góc tạo bởi giữa hai đường thẳng:

$d_1:2x+2\sqrt{3}y+4=0$ và $d_2$: y – 4 = 0

A. ${30}^{\text{o}};$

B. ${45}^{\text{o}};$

C. ${60}^{\text{o}};$

D. ${90}^{\text{o}}.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta có:

 với ${\overrightarrow{n}}_1$; ${\overrightarrow{n}}_2$ lần lượt là vectơ pháp tuyến của đường thẳng $d_1$; $d_2$.

Áp dụng công thức góc giữa hai đường thẳng ta có:

Câu 4. Tính góc tạo bởi giữa hai đường thẳng: $d_1:x+\sqrt{3}y+6=0$ và $d_2$: x + 1 = 0

A.${30}^{\text{o}};$

B. ${45}^{\text{o}};$

C. ${60}^{\text{o}};$

D. ${90}^{\text{o}}.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Ta có:

 với ${\overrightarrow{n}}_1$; ${\overrightarrow{n}}_2$ lần lượt là vectơ pháp tuyến của đường thẳng $d_1$; $d_2$.

Áp dụng công thức góc giữa hai đường thẳng ta có:

Câu 5.Góc tạo bởi hai đường thẳng nào dưới đây bằng 90°

A. $d_1$: 6x – 5y + 4 = 0 và 

B. 

C. d₁: x – 2y + 4 = 0 và d₂: y + 1 = 0;

D.  và d₂: 3x + 2y – 4 = 0.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

+) Đường thẳng $d_1$: 6x – 5y + 4 = 0 có VTPT là $\overrightarrow{n_1}=\left(6;-5\right)$

Đường thẳng có VTCP là $\overrightarrow{u_2}=\left(-6;5\right)$ nên VTCP là $\overrightarrow{n_2}=\left(5;6\right)$

Ta có: $\overrightarrow{n_1}.\overrightarrow{n_2}=5.6+6.\left(-5\right)=0$. Do đó d₁ ⊥ d₂ hay góc giữa hai đường thẳng bằng 90°.

+) Đường thẳng có VTCP là $\overrightarrow{u_1}=\left(-6;5\right)$

Đường thẳng  có VTCP là $\overrightarrow{u_2}=\left(-6;5\right)$

Ta có: $\frac{-6}{5}=\frac{-6}{5}$ nên $\overrightarrow{u_1}$ và $\overrightarrow{u_2}$ cùng phương. Do đó hai đường thẳng d₁ song song hoặc trùng d₂. Do đó góc giữa hai đường thẳng bằng 0°.

+) Đường thẳng d₁: x – 2y + 4 = 0 có VTPT là $\overrightarrow{n_1}=\left(1;-2\right)$

Đường thẳng d₂: y + 1 = 0 có VTPT là $\overrightarrow{n_2}=\left(0;1\right)$

Áp dụng công thức tính góc giữa hai đường thẳng ta được:

⇒ (d₁ ; d₂) ≈ 26°34’.

+) Đường thẳng có VTCP là $\overrightarrow{u_1}=\left(-3;2\right)$ nên VTCP là $\overrightarrow{n_1}=\left(2;3\right)$

Đường thẳng d₂: 3x + 2y – 4 = 0 có VTPT là $\overrightarrow{n_2}=\left(3;2\right)$

Áp dụng công thức tính góc giữa hai đường thẳng ta được:

⇒ (d₁ ; d₂) ≈ 22°37’.

Câu 6. Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng:

$d_1$: x – 2y + 2 = 0 và $d_2$: – 3x + 6y – 10 = 0

A. Trùng nhau;

B. Song song;

C. Vuông góc với nhau;

D. Cắt nhau nhưng không vuông góc nhau.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Xét hệ phương trình: 

Giải hệ phương trình: –4 = 0 (vô lý)

Vậy suy ra hệ phương trình trên vô nghiệm

$\Rightarrow$Hai đường thẳng song song.

Câu 7. Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng:

$d_1$: 3x – 2y – 3 = 0 và $d_2$: 6x – 2y – 8 = 0

A. Trùng nhau;

B. Song song;

C. Vuông góc với nhau;

D. Cắt nhau nhưng không vuông góc nhau.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Ta có: $d_1$: 3x – 2y – 3 = 0 có VTPT là $\overrightarrow{n_1}$ = (3; – 2) và $d_2$: 6x – 2y – 8 = 0 có VTPT là $\overrightarrow{n_2}$ = (6; – 2).

Ta có: $\frac{3}{6}\ne \frac{-2}{-2}$ nên hai vectơ $\overrightarrow{n_1}$ và $\overrightarrow{n_2}$ không cùng phương.

Do đó đường thẳng d₁ và d₂ cắt nhau.

Ta lại có $\overrightarrow{n_1}.\overrightarrow{n_2}=3.6+\left(-2\right).\left(-2\right)=22\ne 0$ nên d₁ và d₂ không vuông góc với nhau.

Vậy hai đường thẳng cắt nhau nhưng không vuông góc.

Câu 8. Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng $d_1:\frac{x}{3}-\frac{y}{4}=1$ và $d_2$: 3x + 4y – 8 = 0.

A. Trùng nhau;

B. Song song;

C. Vuông góc với nhau;

D. Cắt nhau nhưng không vuông góc nhau.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Phương trình $d_1$ có vectơ pháp tuyến ${\overrightarrow{n}}_1=\left(\frac{1}{3};-\frac{1}{4}\right)$

Phương trình $d_2$ có vectơ pháp tuyến ${\overrightarrow{n}}_2=\left(3;4\right)$

Ta có: $\frac{\frac{1}{3}}{3}\ne \frac{-\frac{1}{4}}{4}$${\overrightarrow{n}}_1;{\overrightarrow{n}}_2$ không cùng phương và ${\overrightarrow{n}}_1\cdot {\overrightarrow{n}}_2$ = $\frac{1}{3}$.3 + $\left(-\frac{1}{4}\right)$.4 = 0. Như vậy hai vectơ pháp tuyến của hai đường thẳng vuông góc với nhau, suy ra hai đường thẳng vuông góc với nhau.

Câu 9.Tìm m để hai đường thẳng d₁ và d₂ vuông góc với nhau:

A. m = $-2+\sqrt{2}$;

B. m = $-2-\sqrt{2}$;

C. m = 2;

D. không tồn tại m.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Đường thẳng  có VTCP là $\overrightarrow{u_1}=\left(m;-2\right)$;

Đường thẳng  có VTCP là $\overrightarrow{u_2}=\left(-2;4+m\right)$.

Để hai đường thẳng d₁ và d₂ vuông góc với nhau thì $\overrightarrow{u_1}$ và $\overrightarrow{u_2}$ không cùng phương và 

Vậy không tồn tại m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 10.Cho đường thẳng . Đường thẳng nào sau đây trùng với đường thẳng d.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Đường thẳng  có VTCP là $\overrightarrow{u_d}$ = (4; – 4) = 4.(1; – 1). Suy ra VTCP của đường thẳng d cũng là vectơ có tọa độ (1; – 1).

Với t = 1 thì . Do đó đường thẳng d đi qua điểm có tọa độ (1; – 2).

Vì vậy đường thẳng d trùng với đường thẳng 

Câu 11. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm $M\left(x_0;y_0\right)$ và đường thẳng $∆$: ax + by + c = 0. Khoảng cách từ điểm M đến $∆$ được tính bằng công thức:

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Câu 12. Khoảng cách từ điểm M( –1; 1) đến đường thẳng $∆$: 3x – 4y – 3 = 0 bằng:

A. $\frac{2}{5};$

B. 2;

C. $\frac{4}{5};$

D. $\frac{4}{25}.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Áp dụng công thức tính khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng ta có:

Câu 13. Khoảng cách từ giao điểm của đường thẳng x – 3y + 4 = 0 và 2x + 3y – 1 = 0 đến đường thẳng $∆$: 3x + y + 3 = 0 bằng:

A. $2\sqrt{10}$;

B. $\frac{3\sqrt{10}}{5}$;

C. $\frac{\sqrt{10}}{5}$;

D. 2.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

+) Giao điểm của hai đường thẳng:

Ta có: , vậy điểm A (–1; 1) là giao điểm của hai đường thẳng

+) Khoảng cách từ A đến $∆$: 3x + y + 3 = 0:

Câu 14. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A(1; 2);B(0; 3) và C(4; 0). Chiều cao của tam giác kẻ từ đỉnh A bằng:

A. $\frac{1}{5}$;

B. 3;

C. $\frac{1}{25}$;

D. $\frac{3}{5}.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

+) Viết phương trình đường thẳng qua B, C

Ta có: B (0; 3); C (4; 0)⇒$\overrightarrow{BC}$= (4; – 3) là vectơ chỉ phương của đường thẳng BC.

Ta chọn $\overrightarrow{n}$(3; 4) là vectơ pháp tuyến của đường thẳng BC ($\overrightarrow{n}\perp \overrightarrow{BC}$), suy ra phương trình đường thẳng BC có phương trình: 3.(x – 0) + 4(y – 3) = 0 hay 3x + 4y – 12 = 0

+) Độ dài đường cao kẻ từ A

Độ dài đường cao kẻ từ đỉnh A của tam giác chính là khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng BC:

Câu 15. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A(3; -4);B(1; 5) và C(3; 1). Tính diện tích tam giác ABC.

A. 10;

B. 5;

C. $\sqrt{26};$

D. $2\sqrt{5}.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

+) Viết phương trình đường thẳng BC; độ dài BC

– Ta có: B(1; 5); C(3; 1) ⇒$\overrightarrow{BC}$= (2; – 4) là vectơ chỉ phương của đường thẳng BC

Ta chọn $\overrightarrow{n}$= (2; 1) là vectơ pháp tuyến của đường thẳng BC ($\overrightarrow{n}\perp \overrightarrow{BC}$), ta viết được phương trình đường thẳng qua BC như sau: 2.(x – 1) + 1.(y – 5) = 0 hay

2x + y – 7 = 0

– Độ dài BC: BC = $\sqrt{{(3-1)}^2+{(1-5)}^2}=\sqrt{20}$$=2\sqrt{5}$

+) Tính độ dài đường cao kẻ từ A:

Độ dài đường cao kẻ từ A chính là khoảng cách từ A đến phương trình đường thẳng qua BC, ta có:

+) Diện tích tam giác ABC:

$S_{ABC}=\frac{1}{2}.h_A.BC$ = $\frac{1}{2}.\sqrt{5}.2\sqrt{5}$ = 5.

Xem thêm các bài trắc nghiệm Toán 10 Cánh diều hay, chi tiết khác:

Trắc nghiệm Toán 10 Bài 3: Phương trình đường thẳng

Trắc nghiệm Toán 10 Bài 4: Vị trí tương đối và góc giữa hai đường thẳng. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

Trắc nghiệm Toán 10 Bài 5: Phương trình đường tròn

Trắc nghiệm Toán 10 Bài 6: Ba đường conic

Trắc nghiệm Ôn tập chương 7