Chuyên đề Toán 10 Bài 4: Nhị thức Newton | Kết nối tri thức

Giải bài tập Chuyên đề Toán 10 Bài 4: Nhị thức Newton

1. Tam giác pascal

HĐ1 trang 32 Chuyên đề Toán 10: Khai triển (a + b)ⁿ, n  {1; 2; 3; 4; 5}.

Trong Bài 25 SGK Toán 10 (bộ sách Kết nối tri thức với cuộc sống), ta đã biết:

(a + b)¹ = a + b

(a + b)² = a² + 2ab + b²

(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³

(a + b)⁴ = a⁴ + 4a³b + 6a²b² + 4ab³ + b⁴

(a + b)⁵ = a⁵ + 5a⁴b + 10a³b² + 10a²b³ + 5ab⁴ + b⁵

Với n  {1; 2: 3; 4; 5}, trong khai triển của mỗi nhị thức (a + b)ⁿ:

a) Có bao nhiêu số hạng?

b) Tổng số mũ của a và b trong mỗi số hạng bằng bao nhiêu?

c) Số mũ của a và b thay đổi thế nào khi chuyển từ số hạng này đến số hạng tiếp theo, tính từ trái sang phải?

Lời giải:

a) Có n + 1 số hạng, số hạng đầu tiên là aⁿ và số hạng cuối cùng là bⁿ.

b) Tổng số mũ của a và b trong mỗi số hạng đều bằng n.

c) Số mũ của a giảm 1 đơn vị và số mũ của b tăng 1 đơn vị khi chuyền từ số hạng này đến số hạng tiếp theo, tính từ trái sang phải.

HĐ2 trang 33 Chuyên đề Toán 10: Tam giác Pascal

Viết các hệ số của khai triển (a + b)ⁿ với một số giá trị đầu tiên của n, trong bảng tam giác sau đây, gọi là tam giác Pascal

 

Lời giải:

Hàng đầu quy ước gọi là hàng 0. Hàng n ứng với các hệ số trong khai triển nhị thức (a + b)ⁿ.

Từ tính chất này ta có thể tìm bất kì hàng nào của tam giác Ơasscal từ hàng ở ngay phía trên nó. Chẳng hạn ta có thể tìm hàng 6 từ hàng 5 như sau:

 

Luyện tập 1 trang 34 Chuyên đề Toán 10:

a) Sử dụng tam giác Pascal viết khai triển của (a + b)⁷.

b) Sử dụng tam giác Pascal viết khai triển của (2x – 1)⁴.

Lời giải:

a) (a + b)⁷ = a⁷ + 7a⁶b + 21a⁵b² + 35a⁴b³ + 35a³b⁴ + 21a²b⁵ + 7ab⁶ + b⁷.

b) (2x – 1)⁴ = [(2x + (–1)]⁴ = (2x)⁴ + 4(2x)³(–1) + 6(2x)²(–1)² + 4(2x)(–1)³ + (–1)⁴

= 16x⁴ – 32x³ + 24x² – 8x + 1.

HĐ3 trang 34 Chuyên đề Toán 10: Tính chất của các số $C_n^k$

a) Quan sát ba dòng đầu, hoàn thành tiếp hai dòng cuối theo mẫu:

(a + b)¹ = a + b = $C_1^{0}a+C_1^{0}b$

(a + b)² = a² + 2ab + b² = $C_2^0{a}^2+C_2^{1}ab+C_2^0{b}^2$

(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³ = $C_3^0{a}^3+C_3^1{a}^{2}b+C_3^{2}a{b}^2+C_3^0{b}^3$

(a + b)⁴ = a⁴ + 4a³b + 6a²b² + 4ab³ + b⁴ = …

(a + b)⁵ = a⁵ + 5a⁴b + 10a³b² + 10a²b³ + 5ab⁴ + b⁵ = …

Nhận xét rằng các hệ số khai triển của hai số hạng cách đều số hạng đầu và số hạng cuối luôn bằng nhau. Hãy so sánh, chẳng hạn, $C_4^1$ và $C_4^3$, ${\mathrm{C}}_5^2$ và ${\mathrm{C}}_5^3$. Từ đó hãy dự đoán hệ thức giữa $C_n^k$ và $C_n^{n-k}$ (0 ≤ k ≤ n).

b) Dựa vào kết quả của HĐ3a, ta có thể viết những hàng đầu của tam giác Pascal dưới dạng:

 

Từ tính chất của tam giác Pascal, hãy so sánh ${\mathrm{C}}_1^0+{\mathrm{C}}_1^1$ và ${\mathrm{C}}_2^1$, ${\mathrm{C}}_2^0+{\mathrm{C}}_2^1$ và $C_3^1$,… Từ đó hãy dự đoán hệ thức giữa $C_{n-1}^{k-1}+C_{n-1}^k$ và $C_n^k.$

Lời giải:

a) (a + b)⁴ = a⁴ + 4a³b + 6a²b² + 4ab³ + b⁴

= ${\mathrm{C}}_4^0$a⁴ + ${\mathrm{C}}_4^1$a³b + ${\mathrm{C}}_4^2$a²b² + ${\mathrm{C}}_4^3$ab³ + ${\mathrm{C}}_4^4$b⁴.

(a + b)⁵ = a⁵ + 5a⁴b + 10a³b² + 10a²b³ + 5ab⁴ + b⁵

= ${\mathrm{C}}_5^0$a⁵ + ${\mathrm{C}}_5^1$a⁴b + ${\mathrm{C}}_5^2$a³b² + ${\mathrm{C}}_5^3$a²b³ + ${\mathrm{C}}_5^4$ab⁴ + ${\mathrm{C}}_5^5$b⁵.

Ta thấy ${\mathrm{C}}_4^1$ = ${\mathrm{C}}_4^3$, ${\mathrm{C}}_5^2$ = ${\mathrm{C}}_5^3$,…

Dự đoán: ${\mathrm{C}}_n^k$ = $C_n^{n-k}$.

b) Ta thấy $C_1^0+C_1^1$ = $C_2^1,$ ${\mathrm{C}}_2^0+{\mathrm{C}}_2^1$ = ${\mathrm{C}}_3^1$,…

Dự đoán: $C_{n-1}^{k-1}+C_{n-1}^k$ = $C_n^k.$

2. Công thức nhị thức Newton

HĐ4 trang 35 Chuyên đề Toán 10: Quan sát khai triển nhị thức của (a + b)ⁿ với n ∈ {1; 2; 3; 4; 5} ở HĐ3, hãy dự đoán công thức khai triển trong trường hợp tổng quát.

Lời giải:

Dự đoán công thức khai triển trong trường hợp tổng quát:

${(a+b)}^n=C_n^0{a}^n+C_n^1{a}^{n-1}b+\dots +C_n^{n-1}a{b}^{n-1}+C_n^n{b}^n.$

Luyện tập 2 trang 36 Chuyên đề Toán 10: Khai triển (x – 2y)⁶.

Lời giải:

(x – 2y)⁶

$=C_6^0{x}^6+C_6^1{x}^5\left(-2y\right)+C_6^2{x}^4{\left(-2y\right)}^2+C_6^3{x}^3{\left(-2y\right)}^3$

$+C_6^4{x}^2{\left(-2y\right)}^4+C_6^{5}x{\left(-2y\right)}^5+C_6^6{\left(-2y\right)}^6$

$=x^6-C_6^{1}2x^{5}y+C_6^2{2}^2{x}^4{y}^2-C_6^3{2}^3{x}^3{y}^3+C_6^4{2}^4{x}^2{y}^4-C_6^5{2}^{5}x{y}^5+2^6{y}^6.$

Luyện tập 3 trang 36 Chuyên đề Toán 10: Tìm hệ số của x⁷ trong khai triền thành đa thức của (2 – 3x)¹⁰.

Lời giải:

Số hạng chứa x⁷ trong khai triển thành đa thức của (2 – 3x)¹⁰ hay (–3x + 2)¹⁰ là

$C_{10}^{10-7}{\left(-3x\right)}^7{2}^{10-7}=C_{10}^3{\left(-3\right)}^7{2}^3{x}^7=-2099520x^7.$

Vậy hệ số của x⁷ trong khai triển thành đa thức của (2 – 3x)¹⁰ là –2099520.

Vận dụng trang 36 Chuyên đề Toán 10: (Số các tập con của tập hợp có n phần tử)

a) Viết khai triển nhị thức Newton của (1 + x)ⁿ.

b) Cho x = 1 trong khai triển ở câu a), viết đẳng thức nhận được. Giải thích ý nghĩa của đẳng thức này với lưu ý rằng  (0 < k < n) chính là số tập con gồm k phần tử của một tập hợp có n phần tử.

c) Tương tự, cho x = –1 trong khai triển ở câu a), viết đẳng thức nhận được. Giải thích ý nghĩa của đẳng thức này.

Lời giải:

a) Ta có:

${(x+1)}^n=C_n^0{x}^n+C_n^1{x}^{n-1}1+C_n^2{x}^{n-2}{1}^2+\dots +C_n^{n-1}x{1}^{n-1}+C_n^n{1}^n$

$=C_n^0{x}^n+C_n^1{x}^{n-1}+C_n^2{x}^{n-2}+\dots +C_n^{n-1}x+C_n^n.$

b) Cho x = 1, ta được:

${(1+1)}^n={\text{C}}_2^0{1}^n+{\text{C}}_n^1{1}^{n-1}+{\text{C}}_n^2{1}^{n-2}+\dots +{\text{C}}_n^{n-1}1+{\text{C}}_n^n$

hay $2^n={\text{C}}_n^0+{\text{C}}_n^1+{\text{C}}_n^2+\dots +{\text{C}}_n^{n-1}+{\text{C}}_n^n.$

Ý nghĩa của đẳng thức này là tổng số tập con của một tập hợp gồm n phần tử là 2ⁿ.

c) Cho x = –1, ta được:

${(-1+1)}^n={\text{C}}_n^0{\left(-1\right)}^n{\text{+C}}_n^1{\left(-1\right)}^{n-1}+{\text{C}}_n^2{\left(-1\right)}^{n-2}+\dots +{\text{C}}_n^{n-1}\left(-1\right)+{\text{C}}_n^n$

hay $0={\text{C}}_n^0{\left(-1\right)}^n{\text{+C}}_n^1{\left(-1\right)}^{n-1}+{\text{C}}_n^2{\left(-1\right)}^{n-2}+\dots +{\text{C}}_n^{n-1}\left(-1\right)+{\text{C}}_n^n.$

Ý nghĩa của đẳng thức này là số tập con có chẵn phần tử và số tập hơp con có lẻ phần tử của một tập hợp gồm n phần tử là bằng nhau.

Bài tập (trang 37)

Bài 2.9 trang 37 Chuyên đề Toán 10: Sử dụng tam giác Pascal, viết khai triển:

a) (x – 1)⁵;

b) (2x – 3y)⁴.

Lời giải:

a) (x – 1)⁵ = [x + (–1)]⁵ = x⁵ + 5x⁴(–1) + 10x³(–1)² + 10x²(–1)³ + 5x(–1)⁴ + (–1)⁵

= x⁵ – 5x⁴ + 10x³ – 10x² + 5x – 1.

b) (2x – 3y)⁴ = [(2x + (–3y)]⁴

= (2x)⁴ + 4(2x)³(–3y) + 6(2x)²(–3y)² + 4(2x)(–3y)³ + (–3y)⁴

= 16x⁴ – 96x³y + 216x²y² – 216xy³ + 81y⁴.

Bài 2.10 trang 37 Chuyên đề Toán 10: Viết khai triển theo nhị thức Newton:

a) (x + y)⁶;

b) (1 – 2x)⁵.

Lời giải:

a) (x + y)⁶ $=C_6^0{x}^6+C_6^1{x}^{5}y+C_6^2{x}^4{y}^2+C_6^3{x}^3{y}^3+C_6^4{x}^2{y}^4+C_6^{5}x{y}^5+C_6^6{y}^6$

$=x^6+C_6^1{x}^{5}y+C_6^2{x}^4{y}^2+C_6^3{x}^3{y}^3+C_6^4{x}^2{y}^4+C_6^{5}x{y}^5+y^6.$

b) (1 – 2x)⁵ = [(–2x) + 1]⁵

= ${\mathrm{C}}_5^0$(–2x)⁵ + ${\mathrm{C}}_5^1$(–2x)⁴1 + ${\mathrm{C}}_5^2$(–2x)³1² + ${\mathrm{C}}_5^3$(–2x)²1³ + ${\mathrm{C}}_5^4$(–2x)1⁴ + ${\mathrm{C}}_5^5$1⁵

= –2⁵x⁵ + ${\mathrm{C}}_5^1$2⁴x⁴ – ${\mathrm{C}}_5^2$2³x³ + ${\mathrm{C}}_5^3$2²x¹ + ${\mathrm{C}}_5^4$2x + 1.

Bài 2.11 trang 37 Chuyên đề Toán 10: Tìm hệ số của x⁸ trong khai triển của (2x + 3)¹⁰.

Lời giải:

Số hạng chứa x⁸ trong khai triển của (2x + 3)¹⁰ là

$C_{10}^{10-8}{\left(2x\right)}^8{3}^{10-8}=C_{10}^2{2}^8{3}^2{x}^8=103680x^8.$

Vậy hệ số của x⁸ trong khai triển của (2x + 3)¹⁰ là 103680.

Bài 2.12 trang 37 Chuyên đề Toán 10: Biết hệ số của x² trong khai triển của (1 – 3x)ⁿ là 90 . Tìm n.

Lời giải:

Số hạng chứa x² trong khai triển của (1 – 3x)ⁿ hay [(–3x) +1]ⁿ là

$C_n^{n-2}{\left(-3x\right)}^2{1}^{n-2}=9C_n^2{x}^2.$

Vậy hệ số của x² trong khai triển của (1 – 3x)ⁿ là $9C_n^2·$

$\Rightarrow 9C_n^2=90\Rightarrow C_n^2=10\Rightarrow \frac{n\left(n-1\right)}{2}=10\Rightarrow n=5.$

Bài 2.13 trang 37 Chuyên đề Toán 10: Từ khai triển biểu thức (3x – 5)⁴ thành đa thức, hãy tính tổng các hệ số của đa thức nhận được.

Lời giải:

Sử dụng tam giác Pascal, ta có:

(3x – 5)⁴ = (3x)⁴ + 4(3x)³(–5) + 6(3x)²(–5)² + 4(3x)(–5)³ + (–5)⁴

= 81x⁴ – 540x³ + 1350x² – 1500x + 625.

Tổng các hệ số của đa thức này là: 81 – 540 + 1350 – 1500 + 625 = 16.

Bài 2.14 trang 37 Chuyên đề Toán 10: Tìm hệ số của x⁵ trong khai triển thành đa thức của biểu thức x(1 – 2x)⁵ + x²(1 + 3x)¹⁰.

Lời giải:

+) Số hạng chứa x⁴ trong khai triển của (1 – 2x)⁵ hay [(–2x) +1]⁵ là

$C_5^{5-4}{\left(-2x\right)}^4{1}^{5-4}=80x^4.$

Vậy hệ số của x⁴ trong khai triển của (1 – 2x)⁵ là 80

⇒ hệ số của x⁵ trong khai triển của x(1 – 2x)⁵ là 1.80 = 80 (1).

+) Số hạng chứa x³ trong khai triển của (1 + 3x)¹⁰ hay [3x +1]¹⁰ là

$C_{10}^{10-3}{\left(3x\right)}^3{1}^{10-3}=3240x^3.$

Vậy hệ số của x³ trong khai triển của (1 + 3x)¹⁰ là 3240

⇒ hệ số của x⁵ trong khai triển của x²(1 + 3x)¹⁰ là 1.3240 = 3240 (2).

+) Từ (1) và (2) suy ra hệ số của x⁵ trong khai triển thành đa thức của biểu thức x(1 – 2x)⁵ + x²(1 + 3x)¹⁰ là 80 + 3240 = 3320.

Bài 2.15 trang 37 Chuyên đề Toán 10: Tính tổng sau đây:

$C_{2021}^0-2C_{2021}^1+2^2{C}_{2021}^2-2^3{C}_{2021}^3+\dots -2^{2021}{C}_{2021}^{2021}.$

Lời giải:

$C_{2021}^0-2C_{2021}^1+2^2{C}_{2021}^2-2^3{C}_{2021}^3+\dots -2^{2021}{C}_{2021}^{2021}$

$=C_{2021}^0+C_{2021}^1\left(-2\right)+C_{2021}^2{\left(-2\right)}^2+C_{2021}^3{\left(-2\right)}^3+\dots +C_{2021}^{2021}{\left(-2\right)}^{2021}$

$=C_{2021}^0{1}^{2021}+C_{2021}^1{1}^{2020}\left(-2\right)+C_{2021}^2{1}^{2019}{\left(-2\right)}^2+C_{2021}^3{1}^{2018}{\left(-2\right)}^3+\dots +C_{2021}^{2021}{\left(-2\right)}^{2021}$

$={\left[1+\left(-2\right)\right]}^{2021}={\left(-1\right)}^{2021}=-1.$

Bài 2.16 trang 37 Chuyên đề Toán 10: Tìm số tự nhiên n thoả mãn:

$C_{2n}^0+C_{2n}^2+C_{2n}^4+\dots +C_{2n}^{2n}=2^{2021}.$

Lời giải:

Áp dụng câu c) phần Vận dụng trang 36 ta có:

$C_{2n}^0-C_{2n}^1+C_{2n}^2-C_{2n}^3+C_{2n}^4+\dots -C_{2n}^{2n-1}+C_{2n}^{2n}=0$

$\Rightarrow C_{2n}^0+C_{2n}^2+C_{2n}^4+\dots +C_{2n}^{2n}=C_{2n}^1+C_{2n}^3+C_{2n}^5+\dots +C_{2n}^{2n-1}.$

Mặt khác, áp dụng câu b) phần Vận dụng trang 36 ta có:

$C_{2n}^0+C_{2n}^1+C_{2n}^2+C_{2n}^3+C_{2n}^4+\dots +C_{2n}^{2n-1}+C_{2n}^{2n}=2^{2n}$

$\Rightarrow C_{2n}^0+C_{2n}^2+C_{2n}^4+\dots +C_{2n}^{2n}$

$=\frac{C_{2n}^0+C_{2n}^1+C_{2n}^2+C_{2n}^3+C_{2n}^4+\dots +C_{2n}^{2n-1}+C_{2n}^{2n}}{2}$

$=\frac{2^{2n}}{2}=2^{2n-1}\Rightarrow 2n-1=2021\Rightarrow n=1011.$

Bài 2.17 trang 37 Chuyên đề Toán 10: Tìm số nguyên dương n sao cho

$C_n^0+2C_n^1+4C_n^2+\dots +2^n{C}_n^n=243.$

Lời giải:

Có:

$C_n^0+2C_n^1+4C_n^2+\dots +2^n{C}_n^n=C_n^0+C_n^{1}2+C_n^2{2}^2+\dots +C_n^n{2}^n$

$=C_n^0{1}^n+C_n^1{1}^{n-1}2+C_n^2{1}^{n-2}{2}^2+\dots +C_n^n{2}^n={\left(1+2\right)}^n=3^n$

⇒ 3ⁿ = 243 ⇒ n =5

Bài 2.18 trang 37 Chuyên đề Toán 10: Biết rằng (2 + x)¹⁰⁰ = a₀ + a₁x + a₂x² + … + a₁₀₀x¹⁰⁰. Với giá trị nào của k (0 ≤ k ≤ 100) thì a_k Iớn nhất?

Lời giải:

+) Ta có:

Số hạng chứa x^k trong khai triển của (2 + x)¹⁰⁰ hay (x +2)¹⁰⁰ là

$C_{100}^{100-k}{x}^k{2}^{100-k}=C_{100}^k{2}^{100-k}{x}^k=2^{100}\frac{C_{100}^k}{2^k}{x}^k.$

Vậy hệ số của x^k trong khai triển của (x + 2)¹⁰⁰ là:

$2^{100}\frac{C_{100}^k}{2^k}\Rightarrow a_k=2^{100}\frac{C_{100}^k}{2^k}.$

+) Giải bất phương trình: a_k ≤ a_{k + 1} (1).

(1) ⇔ $2^{100}\frac{C_{100}^k}{2^k}\le 2^{100}\frac{C_{100}^{k+1}}{2^{k+1}}\iff \frac{C_{100}^k}{2^k}\le \frac{C_{100}^{k+1}}{2^{k+1}}\iff \frac{C_{100}^k}{C_{100}^{k+1}}\le \frac{2^k}{2^{k+1}}$

⇔ $\frac{\frac{100!}{k!\left(100-k\right)!}}{\frac{100!}{\left(k+1\right)!\left(100-k-1\right)!}}\le \frac{1}{2}$

⇔ $\frac{\left(k+1\right)!\left(100-k-1\right)!}{k!\left(100-k\right)!}\le \frac{1}{2}\iff \frac{k+1}{100-k}\le \frac{1}{2}$

⇔ 2(k + 1) ≤ 100 – k ⇔ 3k ≤ 98 ⇔ k ≤ 32 (vì k là số tự nhiên).

+) Vì a_k ≤ a_{k + 1} ⇔ k ≤ 32 nên a_k ≥ a_{k + 1} ⇔ k ≥ 32

Do đó $a_1\le a_2\le \mathrm{\dots }\le a_{32}\le a_{33}\ge a_{34}\ge a_{35}\ge \mathrm{\dots }\ge a_{100}.$

Ta thấy dấu “=” không xảy ra với bất kì giá trị nào của k.

Do đó a₃₃ là giá trị lớn nhất trong các a_k.