Lý thuyết Tích vô hướng của hai vectơ (Kết nối tri thức 2023) hay, chi tiết

Lý thuyết Toán lớp 10 Bài 11: Tích vô hướng của hai vectơ

A.Lý thuyếtTích vô hướng của hai vectơ

1. Góc giữa hai vectơ

Cho hai vectơ $\vec{u}$ và $\vec{v}$ khác $\vec{0}$ . Từ một điểm A tùy ý, vẽ các vectơ $\vec{A B} = \vec{u}$ và $\vec{A C} = \vec{v}$ . Khi đó, số đo của góc BAC được gọi là số đo góc giữa hai vectơ $\vec{u}$ và $\vec{v}$ hay đơn giản là góc giữa hai vectơ $\vec{u}$ , $\vec{v}$ , kí hiệu là ( $\vec{u}$ , $\vec{v}$ ).

Chú ý :

+ Quy ước rằng góc giữa hai vectơ $\vec{u}$ và $\vec{0}$ có thể nhận một giá trị tùy ý từ 0° đến 180°.

+ Nếu ( $\vec{u}$ , $\vec{v}$ ) = 90° thì ta nói rằng $\vec{u}$ và $\vec{v}$ vuông góc với nhau. Kí hiệu $\vec{u}$ ⊥ $\vec{v}$ hoặc $\vec{v}$ ⊥ $\vec{u}$ . Đặc biệt được coi là vuông góc với mọi vectơ.

Ví dụ : Cho tam giác ABC vuông tại A và $\hat{B} = 30 °$ . Tính $(\vec{A B}, \vec{A C})$ , $(\vec{C A}, \vec{C B})$ , $(\vec{A B}, \vec{B C})$ .

Hướng dẫn giải

Ta có $(\vec{A B}, \vec{A C})$ = $\hat{B A C} = 90 °$ .

Tam giác ABC vuông tại A nên ta có .

$\hat{A C B} + \hat{A B C} = 90 ° \Rightarrow \hat{A C B} = 90 ° - \hat{A B C} = 90 ° - 30 ° = 60 °$

Suy ra: $(\vec{C A}, \vec{C B}) = \hat{A C B} = 60 °$ .

Vẽ $\vec{B D}$ sao cho $\vec{B D}$ = $\vec{A B}$ . Khi đó $(\vec{A B}, \vec{B C})$ = $(\vec{B D}, \vec{B C})$ = $\hat{C B D}$ .

Mặt khác $\hat{A B C} + \hat{C B D} = 180 °$ (hai góc kề bù)

Suy ra $\hat{C B D} = 180 ° - \hat{A B C} = 180 ° - 30 ° = 150 °$ .

Do đó, $(\vec{A B}, \vec{B C})$ = $\hat{C B D}$ = 150°.

Vậy $(\vec{A B}, \vec{A C})$ = 90°, $(\vec{C A}, \vec{C B})$ = 60°, $(\vec{A B}, \vec{B C})$ = 150°.

2. Tích vô hướng của hai vectơ

Tích vô hướng của hai vectơ khác vectơ-không $\vec{u}$ và $\vec{v}$ là một số, kí hiệu là $\vec{u}$ . $\vec{v}$ , được xác định bởi công thức sau:

$\vec{u}$ . $\vec{v}$ = | $\vec{u}$ |.| $\vec{v}$ |.cos( $\vec{u}$ , $\vec{v}$ )

Chú ý:

+) $\vec{u}$ ⊥ $\vec{v}$ ⇔ $\vec{u}$ . $\vec{v}$ = 0.

+) $\vec{u}$ . $\vec{u}$ còn được viết là ${\vec{u}}^{2}$ và được gọi là bình phương vô hướng của vectơ $\vec{u}$ .

Ta có ${\vec{u}}^{2} = | \vec{u} | . | \vec{u} | . \cos 0 ° = {(\vec{u})}^{2}$ .

(Bình phương vô hướng của một vectơ bằng bình phương độ dài của vectơ đó.)

Ví dụ: Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng 2 và có đường cao AH. Tính các tích vô hướng:

a) $\vec{A B} . \vec{A C}$ ;

b) $\vec{A H} . \vec{B C}$ .

Hướng dẫn giải

Lý thuyết Toán 10 Kết nối tri thức Bài 11: Tích vô hướng của hai vectơ

a) Vì tam giác ABC đều nên $(\vec{A B}, \vec{A C}) = \hat{B A C} = 60 °$ .

Suy ra: $\vec{A B} . \vec{A C} = | \vec{A B} | . | \vec{A C} | \cos (\vec{A B}, \vec{A C}) = 2.2. \cos 60 ° = 2.2. \frac{1}{2} = 2$ .

Vậy $\vec{A B} . \vec{A C}$ = 2.

b) Vì AH là đường cao của tam giác ABC nên AH ⊥ BC.

Do đó $(\vec{A H}, \vec{B C}) = 90 °$ .

Ta có: $\vec{A H} . \vec{B C} = | \vec{A H} | . | \vec{B C} | \cos (\vec{A H}, \vec{B C}) = | \vec{A H} | . | \vec{B C} | \cos 90 ° = | \vec{A H} | . | \vec{B C} | .0 = 0$ .

Vậy $\vec{A H} . \vec{B C}$ = 0.

3. Biểu thức tọa độ và tính chất của tích vô hướng

• Tích vô hướng của hai vectơ $\vec{u} = (x; y)$ và $\vec{v} = (x ‘; y ‘)$ được tính theo công thức :

$\vec{u}$ . $\vec{v}$ = x.x’ + y.y’.

Nhận xét:

+ Hai vectơ $\vec{u}$ và $\vec{v}$ vuông góc với nhau khi và chỉ khi x.x’ + y.y’ = 0.

+ Bình phương vô hướng của $\vec{u} = (x; y)$ là ${\vec{u}}^{2}$ = x² + y².

+ Nếu $\vec{u}$ ≠ $\vec{0}$ và $\vec{v}$ ≠ $\vec{0}$ thì cos( $\vec{u}$ , $\vec{v}$ ) = $\frac{\vec{u} . \vec{v}}{| \vec{u} | . | \vec{v} |} = \frac{x x ‘ + y y ‘}{\sqrt{x^{2} + y^{2}} . \sqrt{x ‘^{2} + y ‘^{2}}}$ .

Ví dụ: Trong mặt phẳng tọa độ cho hai vectơ $\vec{u} = (0; - 5)$ và $\vec{v} = (\sqrt{3}; 1)$ .

a) Tính tích vô hướng của hai vectơ trên.

b) Tìm góc giữa của hai vectơ trên.

Hướng dẫn giải

a) Ta có: $\vec{u}$ . $\vec{v}$ = 0. $\sqrt{3}$ + (–5).1= –5;

Vậy $\vec{u}$ . $\vec{v}$ = –5.

b) Ta có $| \vec{u |} = \sqrt{0^{2} + {(- 5)}^{2}} = 5$ ; $| \vec{v} | = \sqrt{{(\sqrt{3})}^{2} + 1^{2}} = 2$

Suy ra : cos( $\vec{u}$ , $\vec{v}$ ) = $\frac{\vec{u} . \vec{v}}{| \vec{u} | . | \vec{v} |} = \frac{- 5}{5.2} = \frac{- 5}{10} = \frac{- 1}{2}$ .

Suy ra ( $\vec{u}$ , $\vec{v}$ ) = 120°.

Vậy ( $\vec{u}$ , $\vec{v}$ ) = 120°.

• Tính chất của tích vô hướng :

Với ba vectơ $\vec{u}$ , $\vec{v}$ , $\vec{w}$ bất kì và mọi số thực k, ta có :

+) $\vec{u}$ . $\vec{v}$ = $\vec{v}$ . $\vec{u}$ (tính chất giao hoán);

+) $\vec{u}$ . ( $\vec{v}$ + $\vec{w}$ ) = $\vec{u}$ . $\vec{v}$ + $\vec{u}$ . $\vec{w}$ (tính chất phân phối đối với phép cộng) ;

+) (k $\vec{u}$ ). $\vec{v}$ = k ( $\vec{u}$ . $\vec{v}$ ) = $\vec{u}$ .( k $\vec{v}$ ).

Chú ý: Từ tính trên, ta có thể chứng minh được :

$\vec{u}$ . ( $\vec{v}$ – $\vec{w}$ )= $\vec{u}$ . $\vec{v}$ – $\vec{u}$ . $\vec{w}$ (tính chất phân phối đối với phép trừ) ;

( $\vec{u}$ + $\vec{v}$ )² = ${\vec{u}}^{2}$ + 2 $\vec{u}$ . $\vec{v}$ + ${\vec{v}}^{2}$ ; ( $\vec{u}$ – $\vec{v}$ )² = ${\vec{u}}^{2}$ –2 $\vec{u}$ . $\vec{v}$ + ${\vec{v}}^{2}$ ;

( $\vec{u}$ + $\vec{v}$ ).( $\vec{u}$ – $\vec{v}$ ) = ${\vec{u}}^{2}$ – ${\vec{v}}^{2}$ .

Ví dụ: Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng với điểm M tùy ý ta có:

$\vec{M A} . \vec{B C} + \vec{M B} . \vec{C A} + \vec{M C} . \vec{A B} = 0$ .

Hướng dẫn giải

Ta có $\vec{M A} . \vec{B C} = \vec{M A} . (\vec{M C} - \vec{M B}) = \vec{M A} . \vec{M C} - \vec{M A} . \vec{M B};$ (1)

$\vec{M B} . \vec{C A} = \vec{M B} . (\vec{M A} - \vec{M C}) = \vec{M B} . \vec{M A} - \vec{M B} . \vec{M C};$ (2)

$\vec{M C} . \vec{A B} = \vec{M C} . (\vec{M B} - \vec{M A}) = \vec{M C} . \vec{M B} - \vec{M C} . \vec{M A}$ . (3)

Cộng các kết quả từ (1), (2), (3), ta được: $\vec{M A} . \vec{B C} + \vec{M B} . \vec{C A} + \vec{M C} . \vec{A B} = 0$

Vậy $\vec{M A} . \vec{B C} + \vec{M B} . \vec{C A} + \vec{M C} . \vec{A B} = 0$ .

B.Bài tập tự luyện

Bài 1: Cho hai vectơ $\vec{a} = (1; - 2); \vec{b} = (- 1; - 3)$ .

a) Tính tích vô hướng của $\vec{a}$ và $\vec{b}$ .

b) Tính góc giữa hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ .

Hướng dẫn giải

a) Ta có $\vec{a}$ . $\vec{b}$ = 1.(–1) + (–2).(–3) = 5.

Vậy $\vec{a}$ . $\vec{b}$ = 5.

b) Ta có $| \vec{a} | = \sqrt{1^{2} + {(- 2)}^{2}} = \sqrt{5}$ ; $| \vec{b} | = \sqrt{{(- 1)}^{2} + {(- 3)}^{2}} = \sqrt{10}$ .

Khi đó cos( $\vec{a}$ , $\vec{b}$ ) = $\frac{\vec{a} . \vec{b}}{| \vec{a} | . | \vec{b} |} = \frac{5}{\sqrt{5} . \sqrt{10}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Suy ra ( $\vec{a}$ , $\vec{b}$ ) = 45°.

Vậy góc giữa hai vectơ và là 45°.

Bài 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai điểm A(2; 4) và B(1; 1). Tìm tọa độ của điểm C sao cho tam giác ABC là tam giác vuông cân tại B.

Hướng dẫn giải

Giả sử điểm C cần tìm có tọa độ (x; y). Để tam giác ABC vuông cân tại B ta phải có:

$(\begin{matrix} \vec{B A} . \vec{B C} = 0 \\ | \vec{B A} | = | \vec{B C} | \end{matrix})$

Ta có $\vec{B A} = (1; 3)$ và $\vec{B C} = (x - 1; y - 1)$ .

Khi đó $\vec{B A} . \vec{B C} = 1. (x - 1) + 3 (y - 1) = x + 3 y - 4$ .

Và $| \vec{B A} | = \sqrt{1^{2} + 3^{2}} = \sqrt{10}$ ; $| \vec{B C} | = \sqrt{{(x - 1)}^{2} + {(y - 1)}^{2}}$

Ta có: $(\begin{matrix} \vec{B A} . \vec{B C} = 0 \\ | \vec{B A} | = | \vec{B C} | \end{matrix})$

⇔ $(\begin{matrix} x + 3 y - 4 = 0 \\ \sqrt{10} = \sqrt{{(x - 1)}^{2} + {(y - 1)}^{2}} \end{matrix})$

⇔ $(\begin{matrix} x + 3 y - 4 = 0 \\ 10 = {(x - 1)}^{2} + {(y - 1)}^{2} \end{matrix})$

⇔ $(\begin{matrix} x = 4 - 3 y \\ {(3 - 3 y)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 10 \end{matrix}) \Leftrightarrow (\begin{matrix} x = 4 - 3 y \\ 10 y^{2} - 20 y = 0 \end{matrix})$

⇔ $(\begin{matrix} x = 4 - 3 y \\ (\begin{matrix} y = 0 \\ y = 2 \end{matrix}) \end{matrix})$ ⇔ $(\begin{matrix} (\begin{matrix} x = 4 \\ y = 0 \end{matrix}) \\ (\begin{matrix} x = - 2 \\ y = 2 \end{matrix}) \end{matrix})$

Xem thêm các bài tóm tắt lý thuyết Toán lớp 10 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Lý thuyết Bài 10: Vectơ trong mặt phẳng tọa độ

Lý thuyết Bài 11: Tích vô hướng của hai vectơ

Lý thuyết Bài 12: Số gần đúng và sai số

Lý thuyết Bài 13: Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm

Lý thuyết Bài 14: Các số đặc trưng đo độ phân tán

Bài liên quan:

Leave a Comment Hủy