Lý thuyết Phân số với tử và mẫu là số nguyên (Cánh diều 2023) hay, chi tiết | Toán lớp 6

Lý thuyết Toán lớp 6 Bài 1: Phân số với tử và mẫu là số nguyên

A. Lý thuyết Phân số với tử và mẫu là số nguyên

1. Khái niệm phân số

Kết quả của phép chia số nguyên a cho số nguyên b khác 0 có thể viết dưới dạng$\frac{a}{b}.$

Ta gọi $\frac{a}{b}.$ là phân số.

Phân số $\frac{a}{b}.$ đọc là: a phần b, a là tử số (còn gọi tắt là tử), b là mẫu số (còn gọi tắt là mẫu).

Ví dụ 1. Kết quả của phép chia 5 cho 12 có thể viết dưới dạng  $\frac{5}{12}.$

Ta gọi $\frac{5}{12}.$ là phân số và đọc là năm phần mười hai; trong đó 5 là tử số, 12 là mẫu số.

Chú ý: Mọi số nguyên a có thể viết dưới dạng phân số là $\frac{a}{1}.$ 

Ví dụ 2. Số ‒2 có thể viết dưới dạng phân số là $\frac{-2}{1}.$ 

Số 30 có thể viết dưới dạng phân số là $\frac{30}{1}.$  

2. Phân số bằng nhau

Khái niệm hai phân số bằng nhau: Hai phân số được gọi là bằng nhau nếu chúng cùng biểu diễn một giá trị.

Quy tắc bằng nhau của hai phân số:

Xét hai phân số $\frac{a}{b}$ và $\frac{c}{d}$.

Nếu $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$ thì a.d = b.c. Ngược lại, nếu a.d = b.c thì $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$.

Ví dụ 3. Hai phân số trong mỗi trường hợp sau có bằng nhau không?

a) $\frac{-1}{3}$ và $\frac{-3}{9}$;

b) $\frac{-4}{-10}$ và $\frac{-6}{15}$.

Hướng dẫn giải

a) $\frac{-1}{3}$ và $\frac{-3}{9}$

Ta so sánh hai tích (‒1).9 và 3.(‒3)

(‒1).9 = ‒9 và 3.(‒3) = ‒9

Do đó (‒1).9 = 3.(‒3).

Suy ra $\frac{-1}{3}=\frac{-3}{9}$.

Vậy $\frac{-1}{3}=\frac{-3}{9}$.

b) $\frac{-4}{-10}$và $\frac{-6}{15}$

Ta so sánh hai tích (‒4).15 và (‒10).(‒6)

(‒4).15 = ‒60 và (‒10).(‒6) = 60

Do đó (‒1).9 ≠ 3.(‒3).

Vậy hai phân số $\frac{-4}{-10}$ và $\frac{-6}{15}$ không bằng nhau.

Suy ra $\frac{-1}{3}=\frac{-3}{9}$.

Vậy $\frac{-1}{3}=\frac{-3}{9}$.

Chú ý: Với a, b là hai số nguyên và b ≠ 0, ta luôn có: $\frac{a}{-b}=\frac{-a}{b}$ và $\frac{-a}{-b}=\frac{a}{b}$.

Ví dụ 4. $\frac{3}{-2}=\frac{-3}{2};\frac{-4}{-10}=\frac{4}{10}.$   

3. Tính chất cơ bản của phân số

a) Tính chất cơ bản

– Nếu ta nhân cả tử và mẫu của một phân số với cùng một số nguyên khác 0 thì ta được một phân số bằng phân số đã cho.

$\frac{a}{b}=\frac{a.m}{b.m}$ với $m\in \mathbb{Z}$, m ≠ 0.

– Nếu ta chia cả tử và mẫu của một phân số cho cùng một ước chung của chúng thì ta được một phân số bằng phân số đã cho.

$\frac{a}{b}=\frac{a:n}{b:n}$ với m $\in$ ƯC(a, b).

Ví dụ 5.

a)  $\frac{1}{2}=\frac{1.2}{2.2}=\frac{2}{4};\frac{1}{2}=\frac{1.\left(-3\right)}{2.\left(-3\right)}=\frac{-3}{-6}$;

b) $\frac{-6}{12}=\frac{\left(-6\right):3}{12:3}=\frac{-2}{4};\frac{6}{-12}=\frac{6:\left(-6\right)}{\left(-12\right):\left(-6\right)}=\frac{-1}{2}$.

Chú ý: Mỗi phân số đều đưa được về một phân số bằng nó và có mẫu là số dương.

Ví dụ 6.  $\frac{6}{-12}=\frac{-6}{12}=\frac{\left(-6\right):6}{12:6}=\frac{-1}{2};$ $\frac{a}{-b}=\frac{-a}{b}$ (với $a\in \mathbb{Z},b\in \mathbb{N}*$).

b) Rút gọn về phân số tối giản

Dựa vào tính chất cơ bản của phân số, để rút gọn phân số với tử và mẫu là số nguyên về phân số tối giản ta thường làm như sau:

Bước 1: Tìm ƯCLN của tử và mẫu sau khi đã bỏ dấu “– “ (nếu có)

Bước 2: Chia cả tử và mẫu cho ước chung lớn nhất (ƯCLN) vừa tìm được, ta có phân số tối giản cần tìm.

Ví dụ 7. Rút gọn mỗi phân số sau về phân số tối giản có mẫu số là số dương.

a) $\frac{-12}{27}$;

b) $\frac{36}{-42}.$ 

Hướng dẫn giải

a) $\frac{-12}{27}$

Ta có ƯCLN(12, 27) = 3. Do đó $\frac{-12}{27}=\frac{\left(-12\right):3}{27:3}=\frac{-4}{9}$.

b) $\frac{36}{-42}.$ 

Ta có ƯCLN(36, 42) = 6. Do đó $\frac{36}{-42}=\frac{36:6}{\left(-42\right):6}=\frac{6}{-7}=\frac{-6}{7}.$

c) Quy đồng mẫu nhiều phân số

Để quy đồng nhiều phân số, ta thường làm như sau:

Bước 1: Viết các phân số đã cho dưới dạng phân số có mẫu dương. Tìm bội chung nhỏ nhất (BCNN) của các mẫu dương đó để làm mẫu số chung.

Bước 2: Tìm thừa số phụ của mỗi mẫu, bằng cách chia mẫu chung cho từng mẫu.

Bước 3: Nhân tử và mẫu của mỗi phân số ở Bước 1 với thừa số phụ tương ứng.

Ví dụ 8. Quy đồng mẫu những phân số sau:

a) $\frac{-5}{6}$ và $\frac{3}{5}$;

b) $\frac{-5}{-12}$; $\frac{-1}{6}$  và `$\frac{5}{-18}$ .

Hướng dẫn giải

a) $\frac{-5}{6}$ và $\frac{3}{5}$;

BCNN(6, 5) = 30.

Ta có: 30 : 6 = 5 và 30 : 5 = 6.

Vậy  $\frac{-5}{6}=\frac{\left(-5\right).5}{6.5}=\frac{-25}{30}$ và $\frac{3}{5}=\frac{3.6}{5.6}=\frac{18}{30}$.

b) $\frac{-5}{-12}$; $\frac{-1}{6}$  và $\frac{5}{-18}$.

Ta có $\frac{-5}{-12}=\frac{5}{12}$ và $\frac{5}{-18}=\frac{-5}{18}$.

BCNN(6, 12, 18) = 36.

Mà 36 : 6 = 6; 36 : 12 = 3 và 36 : 18 = 2.

Vậy $\frac{-1}{6}=\frac{\left(-1\right).6}{6.6}=\frac{-6}{36};$$\frac{-5}{-12}=\frac{5}{12}=\frac{5.3}{12.3}=\frac{15}{36}$ và $\frac{5}{-18}=\frac{-5}{18}=\frac{\left(-5\right).2}{18.2}=\frac{-10}{36}.$

B. Bài tập tự luyện

Bài 1. Viết và đọc phân số sau đó rút gọn về phân số tối giản trong mỗi trường hợp sau:

a) Tử số là 12 và mẫu số là ‒2;

b) Tử số là ‒202 và mẫu số là ‒303.

Hướng dẫn giải:

a) Phân số có tử số là 12 và mẫu số là ‒2 viết là: $\frac{12}{-2}$; đọc là mười hai phần âm hai.

Rút gọn phân số: Ta có $\frac{12}{-2}=\frac{-12}{2}$

ƯCLN(12, 2) = 2.

Do đó $\frac{12}{-2}=\frac{-12}{2}=\frac{\left(-12\right):2}{2:2}=\frac{-6}{1}=-6.$

b) Phân số có tử số là ‒202 và mẫu số là ‒303 viết là: $\frac{-202}{-303}$; đọc là âm hai trăm linh hai phần âm ba trăm linh ba.

Rút gọn phân số: Ta có $\frac{-202}{-303}=\frac{202}{303}.$

ƯCLN(202, 303) = 101.

Do đó $\frac{-202}{-303}=\frac{202}{303}=\frac{202:101}{303:101}=\frac{2}{3}.$

Bài 2. Các cặp phân số trong mỗi trường hợp sau có bằng nhau không? Nếu không bằng nhau hãy quy đồng hai phân số đó:

a) $\frac{-6}{7}$ và $\frac{-7}{6};$  

b) $\frac{-1}{4}$ và $\frac{11}{-44}.$ 

Hướng dẫn giải:

a) $\frac{-6}{7}$ và $\frac{-7}{6};$  

Ta có:(‒6).6 = ‒36 và (‒7).7 = ‒49

Nên (‒6).6 ≠ (‒7).7

Do đó hai phân số $\frac{-6}{7}$ và $\frac{-7}{6}$ không bằng nhau.

Quy đồng mẫu số hai phân số: $\frac{-6}{7}$ và $\frac{-7}{6}$

BCNN(7, 6) = 42

Lại có 42: 7 = 6 và 42 : 6 = 7

Do đó: $\frac{-6}{7}=\frac{\left(-6\right).6}{7.6}=\frac{-36}{42}$ và  $\frac{-7}{6}=\frac{\left(-7\right).7}{6.7}=\frac{-49}{42}.$

Vậy $\frac{-6}{7}=\frac{-36}{42}$ và $\frac{-7}{6}=\frac{-49}{42}.$

b) Ta có $\frac{11}{-44}=\frac{11:\left(-11\right)}{\left(-44\right):\left(-11\right)}=\frac{-1}{4}$.

Do đó $\frac{-1}{4}=\frac{11}{-44}.$ 

Bài 3. Tìm số nguyên x, biết:

a) $\frac{3}{x}=\frac{-18}{24}$;

b) $\frac{25}{30}=\frac{2x+3}{6}$ 

Hướng dẫn giải

a) Vì $\frac{3}{x}=\frac{-18}{24}$

Suy ra 3.24 = x. (–18)

x. (–18) = 3.24

x. (–18) = 72

x = 72 :  (–18)

x = –4.

Vậy x = –4.

b) $\frac{25}{30}=\frac{2x+3}{6}$ 

Suy ra 30.(2x + 3) = 25.6

30.2x + 30.3 = 150

60x + 90 = 150

60x = 150 – 90

60x = 60

x = 60 : 60

x = 1.

Vậy x = 1.

Bài 4. Viết tất cả các phân số bằng phân số $\frac{20}{-36}$ mà mẫu số là số tự nhiên có hai chữ số.

Hướng dẫn giải

Ta có $\frac{20}{-36}=\frac{-20}{36}$

Ta rút gọn phân số về phân số tối giản:ƯCLN(20, 36) = 4.

$\frac{20}{-36}=\frac{-20}{36}=\frac{\left(-20\right):4}{36:4}=\frac{-5}{9}$

Suy ra $\frac{-5}{9}=\frac{\left(-5\right).2}{9.2}=\frac{-10}{18}$.

Vậy phân số $\frac{20}{-36}$ bằng phân số có mẫu là số tự nhiên có hai chữ số là $\frac{-10}{18}.$

Xem thêm các bài tóm tắt lý thuyết Toán 6 Cánh diều hay, chi tiết khác:

Lý thuyết Bài 4: Xác suất thực nghiệm trong một trò chơi và thí nghiệm đơn giản

Lý thuyết Bài 1: Phân số với tử và mẫu là số nguyên

Lý thuyết Bài 2: So sánh các phân số. Hỗn số dương

Lý thuyết Bài 3: Phép cộng. Phép trừ phân số

Lý thuyết Bài 4: Phép nhân, phép chia phân số