Lý thuyết Giới hạn của dãy số (Cánh diều 2023) hay, chi tiết

Lý thuyết Toán lớp 11 Bài 1: Giới hạn của dãy số
A. Lý thuyết Giới hạn của dãy số
1. Giới hạn hữu hạn của dãy số
– Dãy số $(u_{n})$ có giới hạn 0 khi n dần tới dương vô cực, nếu $| u_{n} |$ có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý , kể tử một số hạng nào đó trở đi.
Kí hiệu $lim_{n \to + \infty} u_{n} = 0$ hay $u_{n} \to 0$ khi $n \to + \infty$ hay $lim u_{n} = 0$ .
– Dãy số $(u_{n})$ có giới hạn là số thực a khi n dần tới dương vô cực, nếu $lim_{n \to + \infty} (u_{n} - a) = 0$ , kí hiệu $lim_{n \to + \infty} u_{n} = a$ hay $u_{n} \to a$ khi $n \to + \infty$ hay $lim u_{n} = a$ .
* Chú ý: Nếu $u_{n} = c$ (c là hằng số) thì $lim_{n \to + \infty} u_{n} = c$
2. Một số giới hạn cơ bản
+ $lim \frac{1}{n} = 0, lim \frac{1}{n^{k}} = 0, k \in Z .$
+ $lim \frac{c}{n} = 0, lim \frac{c}{n^{k}} = 0, k \in Z$ , c là hằng số.
+ Nếu $| q | < 1$ thì $lim q^{n} = 0$
+ $lim {(1 + \frac{1}{n})}^{n} = e$
3. Định lí về giới hạn hữu hạn của dãy số
a, Nếu $lim_{n \to + \infty} u_{n} = a, lim_{n \to + \infty} v_{n} = b$ thì
$lim_{n \to + \infty} (u_{n} \pm v_{n}) = a \pm b$
$lim_{n \to + \infty} (u_{n} . v_{n}) = a . b$
$lim_{n \to + \infty} (\frac{u_{n}}{v_{n}}) = \frac{a}{b} (b \neq 0)$
b, Nếu $u_{n} \geq 0$ thì với mọi n và $lim_{n \to + \infty} u_{n} = a$ thì $a \geq 0$ và $lim_{n \to + \infty} \sqrt{u_{n}} = \sqrt{a}$ .
3. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn
Cấp số nhân lùi vô hạn $u_{1}, u_{1} q, . . ., u_{1} q^{n - 1}, . . .$ có công bội q thỏa mãn $| q | < 1$ được gọi là cấp số nhân lùi vô hạn.
Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn là:
$S = \frac{u_{1}}{1 - q} (| q | < 1)$
4. Giới hạn vô cực
– Dãy số $(u_{n})$ được gọi là có giới hạn $+ \infty$ khi $n \to + \infty$ nếu $u_{n}$ có thể lớn hơn một số dương bất kì, kể từ một số hạng nào đó trở đi, kí hiệu $lim_{x \to + \infty} u_{n} = + \infty$ hay $u_{n} \to + \infty$ khi $n \to + \infty$ .
– Dãy số $(u_{n})$ được gọi là có giới hạn $- \infty$ khi $n \to + \infty$ nếu $lim_{x \to + \infty} (- u_{n}) = + \infty$ , kí hiệu $lim_{x \to + \infty} u_{n} = - \infty$ hay $u_{n} \to - \infty$ khi $n \to + \infty$ .
*Nhận xét:

$\begin{array}{l} lim n^{k} = + \infty, k \in Z^{+} \\ lim q^{n} = + \infty; q \in R, q > 1. \end{array}$
Nếu $lim_{x \to + \infty} u_{n} = a$ và $lim_{x \to + \infty} v_{n} = + \infty$ (hoặc $lim_{x \to + \infty} v_{n} = - \infty$ ) thì $lim_{n \to + \infty} (\frac{u_{n}}{v_{n}}) = 0$ .
Nếu $lim_{x \to + \infty} u_{n} = a > 0$ và $lim_{x \to + \infty} v_{n} = 0, \forall n$ thì $lim_{n \to + \infty} (\frac{u_{n}}{v_{n}}) = + \infty$ .
$lim_{n \to + \infty} (\frac{u_{n}}{v_{n}}) = + \infty$ .
Nếu $lim_{x \to + \infty} u_{n} = + \infty \Leftrightarrow lim_{n \to + \infty} (- u_{n}) = - \infty$

B. Bài tập Giới hạn của dãy số
Đang cập nhật …
Xem thêm các bài tóm tắt lý thuyết Toán lớp 11 Cánh diều hay, chi tiết khác:
Lý thuyết Bài 3: Cấp số nhân
Lý thuyết Bài 1: Giới hạn của dãy số
Lý thuyết Bài 2: Giới hạn của hàm số
Lý thuyết Bài 3: Hàm số liên tục
Lý thuyết Bài 1: Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian
Lý thuyết Bài 2: Hai đường thẳng song song trong không gian
Xem thêm các bài tóm tắt lý thuyết chương Toán lớp 11 Cánh diều hay, chi tiết khác:
Lý thuyết Chương 1: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác
Lý thuyết Chương 2: Dãy số. Cấp số cộng. Cấp số nhân
Lý thuyết Chương 3: Giới hạn. Hàm số liên tục
Lý thuyết Chương 4: Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian. Quan hệ song song

==== ~~~~~~ ====

Bài liên quan:

Leave a Comment Hủy