Giải SGK Toán 8 Bài 4 (Chân trời sáng tạo): Phân tích đa thức thành nhân tử

Giải bài tập Toán lớp 8 Bài 4: Phân tích đa thức thành nhân tử
Giải Toán 8 trang 23 Tập 1
Khởi động trang 23 Toán 8 Tập 1: Phát biểu của bạn nữ: “99³ – 99 chia hết cho cả ba số 98, 99 và 100.”
Phát biểu của bạn nam: “Đúng rồi. Vì n³ – n chia hết cho n, n – 1 và n + 1 mà. (n là số tự nhiên, n > 1)”
Phát biểu của hai bạn có đúng không? Vì sao?

Lời giải:
Sau bài học này chúng ta sẽ giải quyết được câu hỏi trên như sau:
Ta có: 99³ – 99 = 99.(99² – 1)
                          = 99.(99² – 1²)
                          = 99.(99 – 1).(99 + 1)
                          = 99.98.100
Do đó 99³ – 99 chia hết cho cả ba số 98, 99 và 100.
Ta có: n³ – n = n(n² – 1)
                     = n.(n – 1).(n + 1)
Do đó n³ – n chia hết cho n, n – 1 và n + 1.
Vậy phát biểu của cả hai bạn đều đúng.
1. Phương pháp đặt nhân tử chung
Khám phá 1 trang 23 Toán 8 Tập 1: Tính diện tích của nền nhà có bản vẽ sơ lược như Hình 1 theo những cách khác nhau, biết a = 5; b = 3,5 (các kích thước tính theo mét).
Tính theo cách nào nhanh hơn?

Lời giải:
Cách 1: Tính tổng diện tích các hình.
Diện tích hình chữ nhật có chiều dài a (m) và chiều rộng b – 1 (m) là: a(b – 1) (m²).
Diện tích hình chữ nhật có chiều dài a (m) và chiều rộng b (m) là: ab (m²).
Diện tích hình chữ nhật có chiều dài a (m) và chiều rộng 4,5 (m) là: 4,5a (m²).
Diện tích của nền nhà là: S = a(b – 1) + ab + 4,5a (m²).
Với a = 5 và b = 3,5 ta có:
S = 5.(3,5 – 1) + 5.3,5 + 4,5.5
   = 5 . (3,5 – 1 + 3,5 + 4,5)
   = 5 . 10,5
   = 52,5 (m²).
Cách 2: Tính chiều dài của nền nhà rồi tính diện tích của nền nhà.
Chiều dài của nền nhà là:
b – 1 + b + 4,5 = 2b + 3,5 (m).
Diện tích của nền nhà là: S = a.(2b + 3,5) (m²).
Với a = 5 và b = 3,5 ta có:
S = 5.(2.3,5 + 3,5) = 5 . 10,5 = 52,5 (m²).
Chú ý: Ngoài 2 cách trên ta có thể tính diện tích của nền nhà theo cách khác.
Trong tất cả các cách thì ta thấy Cách 2 là nhanh nhất.
Giải Toán 8 trang 24 Tập 1
Thực hành 1 trang 24 Toán 8 Tập 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) P = 6x – 2x³;
b) Q = 5x³ – 15x²y;
c) R = 3x³y³ – 6xy³z + xy.
Lời giải:
a) P = 6x – 2x³
       = 2x.3 – 2x.x²
       = 2x(3 – x²).
b) Q = 5x³ – 15x²y
       = 5x².x – 5x².3y
       = 5x²(x – 3y).
c) R = 3x³y³ – 6xy³z + xy
       = xy.3x²y² – xy.6y²z + xy.1
       = xy(3x²y² – 6y²z + 1).
2. Phương pháp sử dụng hằng đẳng thức
Khám phá 2 trang 24 Toán 8 Tập 1: Tìm biểu thức thích hợp thay vào mỗi chỗ , từ đó hoàn thành biến đổi sau vào vở để phân tích đa thức sau thành nhân tử:….
a) $4x^2-9={\left(,?,\right)}^2-{\left(,?,\right)}^2=\mathrm{\dots }$
b) $x^2{y}^2-\frac{1}{4}{y}^2={\left(,?,\right)}^2-{\left(,?,\right)}^2=\mathrm{\dots }$
Lời giải:
a) $4x^2-9={\left(2,x\right)}^2-{\left(,3,\right)}^2=\left(2x-3\right)\left(2x+3\right)$
b) $x^2{y}^2-\frac{1}{4}{y}^2={\left(x,y\right)}^2-{\left(\frac{1}{2},y\right)}^2=\left(xy-\frac{1}{2}y\right)\left(xy+\frac{1}{2}y\right)$
Thực hành 2 trang 24 Toán 8 Tập 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) 9x² – 16;
b) 4x² – 12xy + 9y²;
c) t³ – 8;
d) 2ax³y³ + 2a.
Lời giải:
a) 9x² – 16 = (3x)² – 4²
                  = (3x – 4)(3x + 4).
b) 4x² – 12xy + 9y²
= (2x)² – 2.2x.3y + (3y)²
= (2x – 3y)².
c) t³ – 8 = t³ – 2³
              = (t – 2)(t² + t.2 + 2²)
             = (t – 2)(t² – 2t + 4).
d) 2ax³y³ + 2a
= 2a.(x³y³ + 1)
= 2a.[(xy)³ + 1³]
= 2a(xy + 1)[(xy)² – xy.1 + 1²]
= 2a(xy + 1)(x²y² – xy + 1).
Vận dụng 1 trang 24 Toán 8 Tập 1: Tìm một hình hộp chữ nhật có thể tích 2x³ – 18x (với x > 3) mà độ dài các cạnh đều là biểu thức chứa x
Lời giải:
Ta có: 2x³ – 18x = 2x(x² – 9)
                           = 2x(x² – 3²)
                           = 2x(x – 3)(x + 3)
Vậy hình hộp chữ nhật có thể tích 2x³ – 18x (với x > 3) sẽ có độ dài ba kích thước là 2x, x – 3 và x + 3.
Vận dụng 2 trang 24 Toán 8 Tập 1: Giải đáp câu hỏi ở Hoạt động khởi động (trang 23)
Lời giải:
Ta có: 99³ – 99 = 99.(99² – 1)
                          = 99.(99² – 1²)
                          = 99.(99 – 1).(99 + 1)
                          = 99.98.100
Do đó 99³ – 99 chia hết cho cả ba số 98, 99 và 100.
Ta có: n³ – n = n(n² – 1)
                     = n.(n – 1).(n + 1)
Do đó n³ – n chia hết cho n, n – 1 và n + 1.
Vậy phát biểu của cả hai bạn đều đúng.
3. Phương pháp nhóm hạng tử
Khám phá 3 trang 24 Toán 8 Tập 1: Hãy hoàn thành biến đổi sau vào vở để phân tích đa thức thành nhân tử:
a² + ab + 2a + 2b = (a² + ab) + (2a + 2b) = …
Em có thể biến đổi theo cách khác để phân tích đa thức trên thành nhân tử không?
Lời giải:
a² + ab + 2a + 2b
= (a² + ab) + (2a + 2b)
= a(a + b) + 2(a + b)
= (a + b)(a + 2).
Ta có thể biến đổi theo cách khác như sau:
a² + ab + 2a + 2b
= (a² + 2a) + (ab + 2b)
= a(a + 2) + b(a + 2)
= (a + 2)(a + b).
Giải Toán 8 trang 25 Tập 1
Thực hành 3 trang 25 Toán 8 Tập 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) a³ – a²b + a – b;
b) x² – y² + 2y – 1.
Lời giải:
a) a³ – a²b + a – b
= (a³ – a²b) + (a – b)
= a²(a – b) + (a – b)
= (a – b)(a² + 1).
b) x² – y² + 2y – 1
= x² – (y² – 2y + 1)
= x² – (y – 1)²
= (x + y – 1).[x – (y – 1)]
= (x + y – 1)(x – y + 1).
Vận dụng 3 trang 25 Toán 8 Tập 1: Có thể ghép bốn tấm pin mặt trời với kích thước như Hình 2 thành một hình chữ nhật không? Nếu có, tính độ dài các cạnh và diện tích hình chữ nhật đó. Biết a = 0,8; b = 2 (các kích thước tính theo mét).

Lời giải:
Diện tích tấm pin hình vuông có cạnh bằng a là: a² (m²).
Diện tích tấm pin hình chữ nhật có chiều dài bằng 1 và chiều rộng bằng a là: a.1 = a (m²).
Diện tích tấm pin hình chữ nhật có chiều dài bằng b và chiều rộng bằng a là: ab (m²).
Diện tích tấm pin hình chữ nhật có chiều dài bằng b và chiều rộng bằng 1 là: b.1 = b (m²).
Tổng diện tích bốn tấm pin mặt trời là:
S = a² + a + ab + b = (a² + a) + (ab + b)
                               = a(a + 1) + b(a + 1)
                               = (a + 1)(a + b) (m²).
Vậy có thể ghép bốn tấm pin mặt trời với kích thước như Hình 2 thành một hình chữ nhật có chiều rộng là a + 1 (m) và chiều dài là a + b (m).
Với a = 0,8 (m) và b = 2 (m) ta có:
• Chiều rộng hình chữ nhật đó là 0,8 + 1 = 1,8 (m).
• Chiều dài hình chữ nhật đó là 0,8 + 2 = 2,8 (m).
• Diện tích hình chữ nhật đó là: 1,8 . 2,8 = 5,04 (m²).
Bài tập
Bài 1 trang 25 Toán 8 Tập 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) x³ + 4x;
b) 6ab – 9ab²;
c) 2a(x – 1) + 3b(1 – x);
d) (x – y)² – x(y – x).
Lời giải:
a) x³ + 4x = x.x² + x.4 = x(x² + 4).
b) 6ab – 9ab² = 3ab.2 – 3ab.3b = 3ab(2 – 3b).
c) 2a(x – 1) + 3b(1 – x)
= 2a(x – 1) + 3b[– (x – 1)]
= 2a(x – 1) – 3b(x – 1)
= (x – 1)(2a – 3b).
d) (x – y)² – x(y – x)
= (x – y)² + x(x – y)
= (x – y)(x – y + x)
= (x – y)(2x – y).
Bài 2 trang 25 Toán 8 Tập 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) 4x² – 1;
b) (x + 2)² – 9;
c) (a + b)² – (a – 2b)².
Lời giải:
a) 4x² – 1 = (2x)² – 1² = (2x + 1)(2x –1).
b) (x + 2)² – 9 = (x + 2)² – 3²
                       = (x + 2 + 3)(x + 2 – 3)
                       = (x + 5)(x – 1).
c) (a + b)² – (a – 2b)²
= [(a + b) + (a – 2b)] . [(a + b) – (a – 2b)]
= [a + b + a – 2b] . [a + b – a + 2b]
= (2a – b).3b.
Bài 3 trang 25 Toán 8 Tập 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) 4a² + 4a + 1;
b) –3x² + 6xy – 3y²;
c) (x + y)² – 2(x + y)z + z².
Lời giải:
a) 4a² + 4a + 1
= (2a)² + 2.2a.1 + 1²
= (2a + 1)².
b) –3x² + 6xy – 3y²
= –3(x² – 2xy + y²)
= –3(x – y)².
c) (x + y)² – 2(x + y)z + z²
= [(x + y) – z]²
= (x + y – z)².
Bài 4 trang 25 Toán 8 Tập 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) 8x³ – 1;
b) x³ + 27y³;
c) x³ – y⁶.
Lời giải:
a) 8x³ – 1
= (2x)³ – 1³
= (2x – 1)[(2x)² + 2x.1 + 1²]
= (2x – 1)(4x² + 2x + 1).
b) x³ + 27y³
= x³ + (3y)³
= (x + 3y)[x² – x.3y + (3y)²]
= (x + 3y)(x² – 3xy + 9y²).
c) x³ – y⁶
= x³ – (y²)³
= (x – y²)[x² + x.y² + (y²)²]
= (x – y²)(x² + xy² + y⁴).
Bài 5 trang 25 Toán 8 Tập 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) 4x³ – 16x;
b) x⁴ – y⁴;
c) xy² + x²y + $\frac{1}{4}$y³;
d) x² + 2x – y² + 1.
Lời giải:
a) 4x³ – 16x
= 4x(x² – 4)
= 4x(x² – 2²)
= 4x(x + 2)(x – 2).
b) x⁴ – y⁴
= (x²)² – (y²)²
= (x² + y²)(x² – y²)
= (x² + y²)(x + y)(x – y).
c) xy² + x²y + $\frac{1}{4}$y³
= y(xy + x² + $\frac{1}{4}$y²)
$=y\left[x^2+2.x.\frac{1}{2}y+{\left(\frac{1}{2}y\right)}^2\right]$
$=y{\left(x+\frac{1}{2}y\right)}^2$.
d) x² + 2x – y² + 1
= (x² + 2x + 1) – y²
= (x + 1)² – y²
= (x + 1 + y)(x + 1 – y).
Bài 6 trang 25 Toán 8 Tập 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) x² – xy + x – y;
b) x² + 2xy – 4x – 8y;
c) x³ – x² – x + 1.
Lời giải:
a) x² – xy + x – y
= (x² – xy) + (x – y)
= x(x – y) + (x – y)
= (x – y)(x + 1).
b) x² + 2xy – 4x – 8y
= (x² + 2xy) – (4x + 8y)
= x(x +  2y) – 4(x + 2y)
= (x +  2y)(x – 4).
c) x³ – x² – x + 1
= (x³ – x²) – (x – 1)
= x²(x – 1) – (x – 1)
= (x – 1)(x² – 1)
= (x – 1)(x + 1)(x – 1)
= (x – 1)²(x + 1).
Bài 7 trang 25 Toán 8 Tập 1: Cho y > 0. Tìm độ dài cạnh của hình vuông có diện tích bằng 49y² + 28y + 4.
Lời giải:
Giả sử hình vuông có độ dài cạnh bằng a (a > 0), khi đó diện tích của hình vuông là a².
Tức là 49y² + 28y + 4 = a².
Ta phân tích đa thức 49y² + 28y + 4 thành nhân tử có dạng a².
49y² + 28y + 4
= (7y)² + 2.7y.2 + 2²
= (7y + 2)²
Vậy độ dài cạnh của hình vuông có diện tích bằng 49y² + 28y + 4 là 7y + 2.
Xem thêm các bài giải SGK Toán lớp 8 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:
Bài 3: Hằng đẳng thức đáng nhớ
Bài 4: Phân tích đa thức thành nhân tử
Bài 5: Phân thức đại số
Bài 6: Cộng, trừ phân thức
Bài 7: Nhân, chia phân thức

==== ~~~~~~ ====