Tóm tắt lý thuyết
1.1. Số nguyên âm và tập hợp các số nguyên
a) số nguyên âm
Trong đời sống, để biểu diễn nhiệt độ dưới không độ, độ cao dưới mực nước biển, để thực hiện được phép trừ hai số tự nhiên, … người ta cần sử dụng một số loại mới, đó là số nguyên âm.
Số nguyên âm được ghi như sau: -1; -2; -3; … và được đọc là: âm một, âm hai, âm ba, … hoặc : trừ một, trừ hai, trừ ba, …
b) Tập hợp số nguyên
Các số tự nhiên khác 0 còn được gọi là các số nguyên dương.
Các số -1; -2; -3; … là các số nguyên âm.
Số 0 không phải là số nguyên âm và cũng không phải là số nguyên dương.
Tập hợp gồm các số nguyên âm, số 0 và các số nguyên dương được gọi là tập hợp số nguyên.
Kí hiệu là \(\mathbb{Z}\). Như vậy, ta có: \(\mathbb{Z} = \left\{ {…; – 3; – 2; – 1;0;1;2;3;…} \right\}\)
1.2. So sánh hai số nguyên
Khi biểu diễn hai số nguyên a, b trên trục số nằm ngang, nếu điểm a nằm bên trái điểm b thì ta nói a nhỏ hơn b hoặc b lớn hơn a và ghi là: \(a < b\)hoặc \(b > a\).
Nhận xét:
– Mọi số nguyên dương đều lớn hơn số 0.
– Mọi số nguyên âm đều nhỏ hơn số 0.
– Mọi số nguyên âm đều nhỏ hơn bất kì số nguyên dương nào.
– Với hai số nguyên âm, số nào có số đối lớn hơn thì số đó nhỏ hơn.
1.3. Phép cộng và phép trừ hai số nguyên
a) Cộng hai số nguyên cùng dấu
– Muốn cộng hai số nguyên dương, ta cộng chúng như cộng hai số tự nhiên.
– Muốn cộng hai số nguyên âm, ta cộng hai số đối của chúng rồi thêm dấu trừ đằng trước kết quả.
– Tổng của hai số nguyên cùng dấu luôn cùng dấu với hai số nguyên đó.
Chú ý:
Cho a, b là hai số nguyên dương, ta có:
(+a) + (+b) = a + b
(-a) + (- b) = – (a + b)
b) Cộng hai số nguyên khác dấu
Cộng hai số đối nhau
Tổng hai số nguyên đối nhau luôn luôn bằng 0: a + (- a) = 0.
Cộng hai số nguyên khác dấu không đối nhau
Muốn cộng hai số nguyên khác dấu không đối nhau, ta làm như sau:
– Nếu số dương lớn hơn số đối của số âm thì ta lấy số dương trừ đi số đối của số âm.
– Nếu số dương bé hơn số đối của số âm thì ta lấy số đối của số âm trừ đi số dương rồi thêm dấu trừ trước kết quả.
1.4. Phép nhân và phép chia hết hai số nguyên
a) Nhân hai số nguyên khác dấu
Quy tắc nhân hai số nguyên khác dấu
– Tích của hai số nguyên khác dấu luôn luôn là một số nguyên âm.
– Khi nhân hai số nguyên khác dấu, ta nhân số dương với số đối của số âm rồi thêm dấu trừ (-) trước kết quả nhận được.
Chú ý: Cho hai số nguyên dương a và b, ta có:
(+a). (- b) = – a.b
(- a). (+b) = – a.b
b) Nhân hai số nguyên cùng dấu
Quy tắc nhân hai số nguyên cùng dấu
– Khi nhân hai số nguyên cùng dương, ta nhân chúng như nhân hai số tự nhiên.
– Khi nhân hai số nguyên cùng âm, ta nhân hai số đối của chúng.
Chú ý:
Cho hai số nguyên dương a và b, ta có: (-a). (-b) = (+a). (+b) = a.b.
Tích của hai số nguyên cùng dấu luôn luôn là một số nguyên dương.
Bài tập minh họa
Câu 1: Viết các số sau đây theo thứ tự tăng dần: \( – 6, – 12,40,0, – 18\).
Hướng dẫn giải
Số -18 nằm bên trái số -12 nên \( – 18 < – 12\)
Số \( – 12\) nằm bên trái số \( – 6\) nên \( – 12 < – 6\)
Số \( – 6\) là số nguyên âm nên \( – 6 < 0\)
Số 40 là số nguyên dương nên luôn lớn hơn 0=> \(0 < 40\)
=>Thứ tự tăng dần: – 18 < – 12 < – 6 < 0 < 40
Câu 2: Tính và so sánh kết quả trong mỗi trường hợp sau:
a) 5 + (8 + 3) và 5 + 8 + 3.
b) 8 + (10 – 5) và 8 + 10 – 5.
c) 12 – (2 + 16) và 12 – 2 + 16.
d) 18 – (5 – 15) và 18 – 5 + 15.
Hướng dẫn giải
a) 5 + (8 + 3) = 5 + 11 = 16.
5 + 8 + 3 = 13 + 3 = 16.
Vậy 5 + (8 + 3) = 5 + 8 + 3.
b) 8 + (10 – 5) = 8 + 5 = 13.
8 + 10 – 5 = 18 – 5 = 13.
Vậy 8 + (10 – 5) = 8 + 10 – 5.
c) 12 – (2 + 16) = 12 – 18 = – (18 – 12)= – 6.
12 – 2 – 16 = 10 – 16 = – 6.
Vậy 12 – (2 + 16) = 12 – 2 + 16.
d) 18 – (5 – 15) = 18 – 5 + 15 = 18 + 10 = 28.
18 – 5 + 15 = 13 + 15 = 28.
Vậy 18 – (5 – 15) = 18 – 5 + 15.
Câu 3: Tính
a) (- 28) + (- 82)
b) x + y, biết x= – 81, y= – 16.
Hướng dẫn giải
a) (- 28) + (- 82) = – (28 + 82) = -110
b) x + y = (- 81) + (- 16) = – (81 + 16) = – 97