LÝ THUYẾT TÓM TẮT
1.1. Phép chiếu vuông góc
Phép chiếu song song lên mặt phẳng (P) theo phương \(\Delta\) vuông góc với (P) được gọi là phép chiếu vuông góc lên mặt phẳng (P).
Chú ý:
+ Vì phép chiếu vuông góc lên một mặt phẳng là một trường hợp đặc biệt của phép chiếu song song nên nó có mọi tính chất của phép chiếu song song.
+ Phép chiếu vuông góc lên mặt phẳng (P) còn được gọi đơn giản là phép chiếu lên mặt phẳng (P). Hình chiếu vuông góc \(\mathcal{H}’\) của hình \(\mathcal{H}\) trên mặt phẳng (P) còn được gọi là hình chiếu của \(\mathcal{H}\) trên mặt phẳng (P).
Định lí ba đường vuông góc:
|
Cho đường thẳng a và mặt phẳng (P) không vuông góc với nhau. Khi đó, một đường thẳng b nằm trong mặt phẳng (P) vuông góc với đường thẳng a khi và chỉ khi b vuông góc với hình chiếu vuông góc a’ của a trên (P). |
1.2. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
– Nếu đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (P) thì ta nói rằng góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P) bằng 90°.
– Nếu đường thẳng a không vuông góc với mặt phẳng (P) thì góc giữa a và hình chiếu a của nó trên (P) được gọi là góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P).
Chú ý: Nếu \(\alpha\) là góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P) thì 0\( \le \alpha \le\)90°.
===========
VÍ DỤ MINH HỌA
Câu 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Biết SA=\(a\sqrt 3 \), AB=\(a\) và BC=\(2a\sqrt 2 \).
a. Xác định và tính góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng đáy (ABCD).
b. Xác định và tính góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và mặt đáy (ABCD).
Lời giải chi tiết:
a. Ta có \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\)
=> A là hình chiếu của S lên (ABCD).
=> AC là hình chiếu của SC lên (ABCD).
=> Góc giữa SC và (ABCD) là góc giữa SC và AC và bằng \(\widehat {SCA}\).
Ta có ABCD là hình chữ nhật nên \(AC = \sqrt {A{B^2} + B{C^2}} = 3a\)
\(\tan \widehat {SCA} = \dfrac{{SA}}{{AC}} = \dfrac{{\sqrt 3 }}{3} = > \widehat {SCA} = 30^\circ \)
Vậy góc giữa SC và (ABCD) là \(30^\circ \).
b. Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}BC \bot AB\\BC \bot SA\left( {SA \bot \left( {ABCD} \right)} \right)\end{array} \right.\)
=>\(BC \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow \left( {SBC} \right) \bot \left( {SAB} \right)\)
Mà \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SAB} \right) \bot \left( {ABCD} \right)\\\left( {SAB} \right) \cap \left( {SBC} \right) = SB\\\left( {SAB} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = AB\end{array} \right.\)
=> Góc giữa (SBC) và (ABCD) là \(\widehat {SBA}\)
\(\tan \widehat {SBA} = \dfrac{{SA}}{{BA}} = \sqrt 3 \Rightarrow \widehat {SBA} = 60^\circ \).
Vậy góc giữa (SBC) và (ABCD) là \(60^\circ \).
Câu 1:
Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng đáy, \(SA = a\sqrt 6\). Tính sin của góc giữa:
a) SC và (SAB).
b) AC và (SBC).
Hướng dẫn giải
.png)
a) Ta có: \(BC \bot AB{\rm{ (gt)}}\).
\(SA \bot BC\) (Vì \(SA \bot (ABCD)\))
Suy ra: \(BC \bot (SAB).\)
Do đó: SB là hình chiếu vuông góc của SC trên mặt phẳng (SAB).
\(\Rightarrow (SC,(SAB)) = \widehat {BSC}.\)
Ta có: \(\sin (SC,(SAB)) = \sin \widehat {BSC} = \frac{{BC}}{{SC}} = \frac{a}{{\sqrt {S{A^2} + A{C^2}} }} = \frac{{\sqrt 2 }}{4}\).
b) Trong mặt phẳng (SAB) kẻ: \(AH \bot SB{\rm{ (H}} \in {\rm{SB)}}.\)
Theo câu a ta có: \(BC \bot (SAB) \Rightarrow AH \bot BC\) nên \(AH \bot (SBC)\) hay CH là hình chiếu vuông góc của AC trên mặt phẳng (SBC).
\(\Rightarrow (AC,(SBC)) = \widehat {ACH}.\)
Xét tam giác vuông SAB có: \(\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{A{B^2}}} + \frac{1}{{S{A^2}}} = \frac{7}{{6{a^2}}} \Rightarrow AH = a.\sqrt {\frac{6}{7}} .\)
Vậy: \(\sin (AC,(SBC)) = \sin \widehat {ACH} = \frac{{AH}}{{AC}} = \frac{{\sqrt {21} }}{7}.\)
================= HOCZ.NET ============
Để lại một bình luận