■Bài 26: Khoảng cách

Cho mặt phẳng \(\left (\alpha \right )\), điểm A không thuộc mặt phẳng \(\left (\alpha \right )\), H là hình chiếu vuông góc của A lên mặt phẳng \(\left (\alpha \right )\), E là điểm thuộc AM sao cho: \(\frac{{ME}}{{MA}} = k.\)

a. Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng \(\left (\alpha \right )\).

b. Tính khoảng cách từ E đến mặt phẳng \(\left (\alpha \right )\), từ đó suy ra khoảng cách từ I – trung điểm của AM đến mặt phẳng \(\left (\alpha \right )\).

c. Gọi d là đường thẳng qua I song song với mặt phẳng \(\left (\alpha \right )\). Lấy J thuộc d, tính khoảng cách từ J đến mặt phẳng \(\left (\alpha \right )\).

d. Gọi C là chân đường vuông góc của J lên mặt phẳng \(\left (\alpha \right )\). D là trung điểm của JC. Tính khoảng cách từ D đến mặt phẳng \(\left (\alpha \right )\).

 

Hướng dẫn giải:

 

a) H là hình chiếu vuông góc của A lên mặt phẳng \(\left (\alpha \right )\) nên: d(A,\(\left (\alpha \right )\)) = AH = h.

b) Gọi P là chân đường vuông góc của E lên mặt phẳng \(\left (\alpha \right )\).

Khi đó:  d(E, \(\left (\alpha \right )\)) = EP.

Ta có : EP // AH (đều vuông góc với mp \(\left (\alpha \right )\)) và M, P, H thẳng hàng.

Theo định lí Tallet ta có: 

\(\frac{{EP}}{{AH}} = \frac{{ME}}{{MA}}=k\)

Khi đó: EP = k.AH hay d(E, (a)) = k.h (1).

Vì I là trung điểm của AM nên:

\(d(I,\left( \alpha \right)) = \frac{1}{2}.h\) (áp dụng kết quả (1) với \(k=\frac{1}{2}\)).

c) Ta có: IJCQ là hình chữ nhật nên IQ=JC

Do đó: \(d(J,\left( \alpha \right)) = d(I,\left( \alpha \right)) = \frac{1}{2}.h.\)

d) D là trung điểm của JC nên \(\frac{CD}{CJ}=\frac{1}{2}.\)

Suy ra: \(d(Q,\left( \alpha \right)) = \frac{1}{2}d(J,\left( \alpha \right)) = \frac{1}{2}.\frac{1}{2}.h = \frac{1}{4}.h\).

 

Câu 2:

Cho tứ diện SABC có tam giác ABC vuông cân đỉnh B, AB = a, SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) và SA = a.

a. Chứng minh (SAB) \(\bot\) (SBC) .

b. Tính khoảng cách từ điểm A đến mp(SBC).

c. Gọi I là trung điểm của AB. Tính khoảng cách từ điểm I đến mp(SBC).

 

a) Theo giả thiết ta có: \(SA \bot (ABC)\).

Suy ra \(SA \bot BC\) (1).

Mà \(AB \bot BC\) (giả thiết) (2).

Từ (1) và (2) ta suy ra: \(BC \bot (SAB)\Rightarrow (SBC) \bot (SAB).\)

b) Ta có: \((SAB)\cap (SBC)=SB\).

Kẻ \(AH \bot SB (H\in SB).\)

Do tam giác SAB vuông cân nên H là trung điểm của SB.

Khi đó: \(AH \bot (SBC)\) nên \(d(A, (SBC))=AH\).

Xét tam giác SAB vuông cân tại A. Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có:

\(\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{A{S^2}}} + \frac{1}{{A{B^2}}} = \frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{a^2}}} \Rightarrow AH = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}.\)

c) Ta có: \(AB\cap (SBC)=B\) và \(\frac{BI}{BA}=\frac{1}{2}\) (do I là trùng điểm của AB) nên:

\(d(I,(SBC)) = \frac{1}{2}d(A,(SBC)) = \frac{1}{2}.\frac{{a\sqrt 2 }}{2} = \frac{{a\sqrt 2 }}{4}.\)