Cho đa giác lồi n đỉnh (n > 3). Biết rằng, số đường chéo của đa giác đó là 170. Tìm n.
Hướng dẫn giải chi tiết Bài 25
Phương pháp giải
Số đường chéo của đa giác lồi n đỉnh là một cặp đỉnh (không tính n cạnh) được chọn trong n đỉnh của đa giác lồi nên ta có \(C_n^2 – n\; = \frac{{n!}}{{2!.\left( {n – 2} \right)!}} – n\).
Lời giải chi tiết
Theo đề, ta có số đường chéo của đa giác đó là 170.
Tức là, \(\frac{{n!}}{{2!.\left( {n – 2} \right)!}}\) – n = 170.
Suy ra \(\frac{{\left( {n – 2} \right)!.\left( {n – 1} \right).n}}{{2.\left( {n – 2} \right)!}}\) – n = 170.
Khi đó (n – 1).n – 2n = 340.
Vì vậy n2 – 3n – 340 = 0.
Suy ra n = 20 hoặc n = –17.
Vì n > 3 nên ta nhận n = 20.
Vậy n = 20 là giá trị cần tìm.
— *****
Trả lời