Cho tam giác ABC với ba cạnh a, b, c. Chứng minh rằng:
\(\frac{{\cos A}}{a} + \frac{{\cos B}}{b} + \frac{{\cos C}}{c} = \frac{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{{2abc}}\)
Hướng dẫn giải chi tiết Bài 1
Phương pháp giải
Áp dụng định lí côsin:
Trong tam giác ABC với BC = a, CA = b, AB = c, ta có:
\(\begin{array}{l}{a^2} = {b^2} + {c^2} – 2bc\cos A\\{b^2} = {c^2} + {a^2} – 2ca\cos B\\{c^2} = {a^2} + {b^2} – 2ab\cos C\end{array}\)
Lời giải chi tiết
Từ định lí côsin ta suy ra
\(\cos A = \frac{{{b^2} + {c^2} – {a^2}}}{{2bc}};\cos B = \frac{{{a^2} + {c^2} – {b^2}}}{{2ac}};\cos C = \frac{{{a^2} + {b^2} – {c^2}}}{{2ab}}\)
Suy ra:
\(\begin{array}{l}\frac{{\frac{{{b^2} + {c^2} – {a^2}}}{{2bc}}}}{a} + \frac{{\frac{{{a^2} + {c^2} – {b^2}}}{{2ac}}}}{b} + \frac{{\frac{{{a^2} + {b^2} – {c^2}}}{{2ab}}}}{c}\\ = \frac{{\left( {{b^2} + {c^2} – {a^2}} \right) + \left( {{a^2} + {c^2} – {b^2}} \right) + \left( {{a^2} + {b^2} – c} \right)}}{{2abc}}\\ = \frac{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{{2abc}}\end{array}\)
— *****
Trả lời