Giải VTH Toán lớp 7 Bài 16: Tam giác cân. Đường trung trực của đoạn thẳng
Câu 1 trang 72 VTH Toán 7 Tập 1: Câu nào dưới đây đúng?
A. Mọi tam giác cân có hai cạnh bằng nhau.
B. Mọi tam giác cân có ba cạnh bằng nhau.
C. Mọi tam giác cân luôn phải là tam giác nhọn.
D. Mọi tam giác cân phải có một góc bằng 60°.
Lời giải:
Đáp án đúng là A
Mọi tam giác cần đều có hai cạnh bằng nhau.
Câu 2 trang 72 VTH Toán 7 Tập 1: Đường thẳng d là đường trung trực của đoạn thẳng AB khi và chỉ khi:
A. d đi qua trung điểm của AB;
B. d là trục đối xứng của đoạn thẳng AB;
C. d vuông góc với AB;
D. d vuông góc với AB tại trung điểm của AB.
Lời giải:
Đáp án đúng là D
Đường thẳng d là đường trung trực của đoạn thẳng AB khi và chỉ khi d vuông góc với AB tại trung điểm của AB.
Bài 1 (4.23) trang 73 VTH Toán 7 Tập 1: Cho tam giác ABC cân tại A. Chứng minh rằng hai đường cao BE và CF bằng nhau.
Lời giải:
Ta thấy ∆BEC và ∆CFB lần lượt vuông tại đỉnh E, F và có:
BC là cạnh chung
(do ∆ABC cân tại A).
Vậy ∆BEC = ∆CFB (cạnh huyền – góc nhọn).
Do đó BE = CF.
Bài 2 (4.24) trang 73 VTH Toán 7 Tập 1: Cho tam giác ABC cân tại A và M là trung điểm của đoạn thẳng BC. Chứng minh AM vuông góc với BC và AM là tia phân giác của góc BAC.
Lời giải:
Xét tam giác ABM và tam giác ACM, ta có:
AB = AC (do ∆ABC cân tại A)
(do ∆ABC cân tại A)
MB = MC (theo giả thiết)
Vậy ∆ABM = ∆ACM (c – g – c)
Do đó (2 góc tương ứng), hay AM là tia phân giác của góc BAC.
Đồng thời , hay AM ⊥ BC.
Bài 3 (4.25) trang 73 VTH Toán 7 Tập 1: Cho tam giác ABC và M là trung điểm của đoạn thẳng BC.
a) Giả sử AM vuông góc với BC. Chứng minh rằng tam giác ABC cân tại A.
b) Giả sử AM là tia phân giác của góc BAC. Chứng minh rằng tam giác ABC cân tại A.
Lời giải:
a)
Xét hai tam giác ABM và ACM vuông tại đỉnh M và có:
MB = MC (chứng minh trên).
AM là cạnh chung.
Vậy ∆ABM = ∆ACM (hai cạnh góc vuông).
Do đó AB = AC (2 cạnh tương ứng) hay tam giác ABC cân tại A.
b)
Kéo dài AM một đoạn MD sao cho MD = MA.
Hai tam giác MAB và MDC có:
MB = MC (theo giả thiết).
(hai góc đối đỉnh).
MA = MD (theo cách dựng).
Do đó ∆MAB = ∆MDC (c – g – c). Do đó AB = DC (1).
Mặt khác ∆ACD có
Vậy tam giác ∆ACD cân tại C và do đó AC = CD (2).
Từ (1) và (2) suy ra AB = AC, hay tam giác ABC cân tại A.
Bài 4 (4.26) trang 74 VTH Toán 7 Tập 1: Tam giác vuông có hai cạnh bằng nhau được gọi là tam giác vuông cân.
Hãy giải thích các khẳng định sau:
a) Tam giác vuông cân thì cân tại đỉnh góc vuông;
b) Tam giác vuông cân có hai góc nhọn bằng 45o;
c) Tam giác vuông có một góc nhọn bằng 45o là tam giác vuông cân.
Lời giải:
a) Nếu tam giác ABC vuông cân tại góc nhọn thì sẽ có hai góc ở đáy bằng nhau và đều là góc vuông. Do đó tổng ba góc trong tam giác này lớn hơn 180° và đây là điều vô lí.
b) Theo phần a) tam giác vuông cân sẽ cân tại góc vuông, do vậy hai góc nhọn bằng nhau và có tổng bằng 90°. Do đó mỗi góc nhọn bằng 45°.
c) Tam giác vuông có một góc bằng 45° thì góc nhọn còn lại phụ với góc này và cũng bằng 45°. Do đó tam giác này là tam giác vuông cân.
Bài 5 (4.27) trang 74 VTH Toán 7 Tập 1: Trong hình dưới đây, đường thẳng nào là đường trung trực của đoạn thẳng AB?
Lời giải:
Chỉ có đường thẳng m là vuông góc và đi qua trung điểm của đoạn thẳng AB. Vậy chỉ có m là đường trung trực của đoạn thẳng AB.
Bài 6 (4.28) trang 75 VTH Toán 7 Tập 1: Cho tam giác ABC cân tại A có đường cao AD. Chứng minh rằng đường thẳng AD là đường trung trực của đoạn thẳng BC.
Lời giải:
Ta thấy tam giác ABD và tam giác ACD vuông tại D, và có:
AB = AC (∆ABC cân tại A).
AD là cạnh chung.
Vậy ∆ABD = ∆ACD (cạnh góc vuông – cạnh huyền).
Do đó BD = CD (2 cạnh tương ứng). Vậy D là trung điểm của đoạn thẳng BC và do đó AD là đường trung trực của đoạn thẳng BC.
Bài 7 trang 75 VTH Toán 7 Tập 1: Cho tam giác ABC và điểm D nằm trên cạnh BC sao cho AD vuông góc với BC và AD là phân giác góc BAC. Chứng minh tam giác ABC cân tại A.
Lời giải:
Hai tam giác ADB và ADC cùng vuông tại D và có:
AD là cạnh chung;
(theo giả thiết).
Vậy ∆ADB = ∆ADC (cạnh góc vuông – góc nhọn). Do đó AB = AC (hai cạnh tương ứng), hay ∆ABC cân tại A.
Bài 8 trang 75 VTH Toán 7 Tập 1: Cho điểm A nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng BC sao cho . Chứng minh rằng CA = CB.
Lời giải:
Do A thuộc trung trực BC nên AB = AC, hay ∆ABC cân tại A. Từ đây suy ra . Do tổng các góc trong tam giác ABC bằng 180° nên:
.
Vậy tam giác ABC có ba góc bằng nhau nên nó là tam giác đều, và do đó CA = CB.