Vở bài tập Toán 7 Bài tập cuối chương 7 trang 123, 124, 125, 126, 127, 128, 129, 130, 131 - Cánh diều

Giải VBT Toán lớp 7 Bài tập cuối chương 7 trang 123, 124, 125, 126, 127, 128, 129, 130, 131

Câu 1 trang 123 vở bài tập Toán lớp 7 Tập 2: Cho tam giác ABC có $\hat{A}$ = 42^o, $\hat{B}$ = 37^o.

a) Tính $\hat{C}$ ;

b) So sánh độ dài các cạnh AB, BC và CA.

Lời giải:

a) Ta có $\hat{A}$ + $\hat{B}$ + $\hat{C}$ = 180^o (tổng ba góc của một tam giác)

Suy ra $\hat{C}$ = 180^o – ( $\hat{A}$ + $\hat{B}$ ) = 180^o – (42^o + 37^o) = 101^o

b) Do $\hat{A}$ = 42^o. $\hat{B}$ = 37^o, $\hat{C}$ = 101^o nên $\hat{B}$ < $\hat{A}$ < $\hat{C}$

Do đó AC < BC < AB.

Câu 2 trang 124 vở bài tập Toán lớp 7 Tập 2: Tính các số đo x, y trong Hình 105

Tính các số đo x, y trong Hình 105

Lời giải:

Vì AB = OA = OB nên tam giác ABO là tam giác đều. Suy ra x = 60^o.

Do x + $\hat{A O C}$ = 180^o (hai góc kề bù) nên $\hat{A O C}$ = 180^o – x = 180^o – 60^o = 120^o.

Ta có $\hat{A O C}$ + $\hat{O A C}$ + $\hat{A C O}$ = 180^o (tổng ba góc của một tam giác)

Vì OA = OC nên tam giác AOC là tam giác cân tại O

Do đó $\hat{O A C}$ = $\hat{O C A}$ = y

Từ đó suy ra $\hat{A O C}$ + 2y = 180^o hay y = $\frac{180^{o} - \hat{A O C}}{2} = \frac{180^{o} - 120^{o}}{2} = 30 °$ .

Câu 3 trang 124 vở bài tập Toán lớp 7 Tập 2: Bạn Hoa đánh dấu ba vị trí A, B, C trên một phần sơ đồ xe buýt ở Hà Nội năm 2021 và xem xe buýt có thể đi như thế nào giữa hai vị trí A và B. Đường thứ nhất đi từ A đến C và đi tiếp từ C đến B, đường thứ hai đi từ B đến A (Hình 106). Theo em đường nào đi dài hơn? Vì sao?

Bạn Hoa đánh dấu ba vị trí A, B, C trên một phần sơ đồ xe buýt ở Hà Nội năm 2021

Lời giải:

Xét tam giác ABC ta có

AC + CB > AB (bất đẳng thức tam giác).

Do đó đường đi thứ nhất dài hơn đường đi thứ hai.

Câu 4 trang 124 vở bài tập Toán lớp 7 Tập 2: Cho hai tam giác ABC và MNP có:

AB = MN, BC = NP, CA = PM. Gọi I và K lần lượt là trung điểm của BC và NP. Chứng minh AI = MK.

Lời giải:

Cho hai tam giác ABC và MNP có: AB = MN, BC = NP, CA = PM

Xét hai tam giác ABC và MNP, ta có:

AB = MN, BC = NP, CA = PM

Suy ra ∆ABC = ∆MNP (c.c.c)

Do đó $\hat{B}$ = $\hat{N}$ (hai góc tương ứng)

Vì I là trung điểm của BC nên BI = $\frac{1}{2}$ BC

Vì K là trung điểm của NP nên NK = $\frac{1}{2}$ NP

Mà BC = NP, suy ra BI = NK

Xét hai tam giác ABI và MNK, ta có:

AB = MN, $\hat{B}$ = $\hat{N}$ ; BI = NK

Suy ra ∆ABI = ∆MNK (c.g.c)

AI = MK (hai cạnh tương ứng)

Câu 5 trang 125 vở bài tập Toán lớp 7 Tập 2: Cho Hình 108 có O là trung điểm của đoạn thẳng AB và O nằm giữa hai điểm M và N. Chứng minh:

a) Nếu OM = ON thì AM // BN;

b) Nếu AM // BN thì OM = ON.

Cho Hình 108 có O là trung điểm của đoạn thẳng AB và O nằm giữa hai điểm M và N

Lời giải:

Xét hai tam giác OAM và OBN, ta có:

OA = OB (vì O là trung điểm của AB);

$\hat{A O M}$ = $\hat{B O N}$ (hai góc đối đỉnh);

OM = ON (giả thiết).

Suy ra ∆OAM = ∆OBN (c.g.c).

Do đó $\hat{O A M}$ = $\hat{O B N}$ (hai góc tương ứng), mà hai góc đó là hai góc so le trong nên AM // BN.

b) Xét hai tam giác OAM và OBN, ta có

$\hat{A O M}$ = $\hat{B O N}$ (hai góc đối đỉnh);

OA = OB (vì O là trung điểm của AB);

$\hat{O A M}$ = $\hat{O B N}$ (hai góc so le trong).

Suy ra ∆OAM = ∆OBN (g.c.g)

Do đó OM = ON (hai cạnh tương ứng).

Câu 6 trang 126 vở bài tập Toán lớp 7 Tập 2: Cho tam giác ABC cân tại A có $\hat{A B C}$ = 70^o. Hai đường thẳng BD và CE cắt nhau tại H.

a) Tính số đo các góc còn lại của tam giác ABC;

b) Chứng minh BD = CE;

c) Chứng minh tia AH là tia phân giác của góc BAC.

Lời giải:

Cho tam giác ABC cân tại A có góc ABC = 70 độ, Hai đường thẳng BD và CE cắt nhau tại H

Vì tam giác ABC cân tại A nên $\hat{A C B}$ = $\hat{A B C}$

Mà $\hat{A B C}$ = 70^o nên $\hat{A C B}$ = 70^o

Do $\hat{B A C}$ + $\hat{A B C}$ + $\hat{A C B}$ = 180^o (tổng ba góc của một tam giác)

Nên $\hat{B A C}$ = 180^o – ( $\hat{A B C}$ + $\hat{A C B}$ ) = 180^o – (70^o + 70^o) = 40^o.

b) Xét hai tam giác vuông ABD và ACE, ta có

AB = AC (hai cạnh bên của tam giác cân); $\hat{A}$ là góc chung

Suy ra ∆ABD = ∆ACE (cạnh huyền – góc nhọn)

Do đó BD = CE (hai cạnh tương ứng)

c) Ta có ∆ABD = ∆ACE nên AD = AE (hai cạnh tương ứng)

Xét hai tam giác vuông ADH và AEH, ta có:

AH là cạnh chung; AD = AE

Suy ra ∆ADH = ∆AEH (cạnh huyền – cạnh góc vuông)

Do $\hat{H A D}$ = $\hat{H A E}$ (hai góc tương ứng)

Vậy AH là tia phân giác của góc BAC.

Câu 7 trang 126 vở bài tập Toán lớp 7 Tập 2: Cho hai tam giác nhọn ABC và ECD, trong đó ba điểm B, C, D thẳng hàng. Hai đường cao BM và CN của tam giác ABC cắt nhau tại I, hai đường cao CP và DQ của tam giác ECD cắt nhau tại K (hình 110). Chứng minh AI // EK.

Cho hai tam giác nhọn ABC và ECD, trong đó ba điểm B, C, D thẳng hàng

Lời giải:

Vì hai đường cao BM và CN của tam giác ABC cắt nhau tại I nên I là trực tâm của tam giác ABC, suy ra AI ⊥ BC hay AI ⊥ BD.

Vì hai đường cao CP và DQ của tam giác ECD cắt nhau tại K nên K là trực tâm của tam giác ECD, suy ra EK ⊥ CD hay EK ⊥ BD.

Do AI ⊥ BD, EK ⊥ BD nên AI // EK.

Câu 8 trang 127 vở bài tập Toán lớp 7 Tập 2: Cho tam giác ABC có O là giao điểm của ba đường trung trực. Qua các điểm A, B, C lần lượt kẻ các đường thẳng vuông góc OA, OB, OC hai đường trong ba đường đó lần lượt cắt nhau tại M, N, P (Hình 111). Chứng minh:

a) ∆OMA = ∆OMB và tia Om là tia phân giác của góc NMP;

b) O là giao điểm của ba đường phân giác của tam giác MNP.

Cho tam giác ABC có O là giao điểm của ba đường trung trực. Qua các điểm A, B, C

Lời giải:

Xét hai tam giác vuông OMA và OMB, ta có:

OM là cạnh chung;

OA = OB (vì O là giao điểm ba đường trung trực của tam giác ABC).

Suy ra ∆OMA = ∆OMB (cạnh huyền – cạnh góc vuông).

Do đó $\hat{O M A}$ = $\hat{O M B}$ (hai góc tương ứng).

Vậy tia OM là tia phân giác của góc MNP.

b) Xét hai tam giác vuông ONB và ONC, ta có:

ON là cạnh chung;

OB = OC (vì O là giao điểm ba đường trung trực của tam giác ABC).

Suy ra ∆ONB = ∆ONC (cạnh huyền – cạnh góc vuông).

Do đó $\hat{O N B}$ = $\hat{O N C}$ (hai góc tương ứng).

Vậy NO là tia phân giác của góc MNP.

Tam giác MNP có MO là tia phân giác của góc NMP, NO là tia phân giác của góc MNP nên O là giao điểm ba đường phân giác của tam giác MNP.

Câu 9 trang 128 vở bài tập Toán lớp 7 Tập 2: Cho tam giác ABC có G là trọng tâm, H là trực tâm, I là giao điểm của ba đường phân giác, O là giao điểm của ba đường trung trực. Các điểm A, G, H, I, O phân biệt. Chứng minh rằng:

a) Nếu tam giác ABC cân tại A thì các điểm A, G, H, I, O cùng nằm trên một đường thẳng;

b) Nếu ba điểm A, H, I cùng nằm trên một đường thẳng thì tam giác ABC cân tại A.

Lời giải:

a) Hình 112

Cho tam giác ABC có G là trọng tâm, H là trực tâm, I là giao điểm của ba đường phân giác

Vẽ đường trung tuyến AM của tam giác ABC. Suy ra G thuộc đường thẳng AM.

Xét hai tam giác ABM và ACM, ta có

AM là cạnh chung;

AB = AC (hai cạnh bên của tam giác cân);

MB = MC (vì M là trung điểm của BC).

Suy ra ∆ABM = ∆ACM (c.c.c).

Do đó $\hat{B A M}$ = $\hat{C A M}$ và $\hat{A M B}$ = $\hat{A M C}$ (hai góc tương ứng).

Ta có $\hat{A M B}$ + $\hat{A M C}$ = 180^o (hai góc kề bù) và $\hat{A M B}$ = $\hat{A M C}$ nên và $\hat{A M B}$ = $\hat{A M C}$ = 90^o hay AM BC. Suy ra điểm H thuộc đường thẳng AM.

Do $\hat{B A M}$ = $\hat{C A M}$ nên AM là tia phân giác của góc BAC. Suy ra điểm I thuộc đường thẳng AM.

Do AB = AC và MB = MC nên AM là đường trung trực của cạnh BC. Suy ra điểm O thuộc đường thẳng AM.

Như vậy, các điểm G, H, I, O thuộc đường thẳng AM hay các điểm A, G, H, I, O cùng nằm trên một đường thẳng.

b) Hình 113

Cho tam giác ABC có G là trọng tâm, H là trực tâm, I là giao điểm của ba đường phân giác

Vẽ đường cao AD của tam giác ABC. Do các điểm A, H, I cùng nằm trên một đường thẳng nên AD là đường phân giác của tam giác ABC.

Xét hai tam giác vuông ABD và ACD, ta có:

AD là cạnh chung;

$\hat{B A D}$ = $\hat{C A D}$ (vì AD là tia phân giác của góc BAC).

Suy ra ∆ABD = ∆ACD (cạnh góc vuông – góc nhọn).

Do đó AB = AC (hai cạnh tương ứng).

Vậy tam giác ABC là tam giác cân.

Câu 10 trang 129 vở bài tập Toán lớp 7 Tập 2: Bạn Hoa vẽ tam giác ABC lên tờ giấy sau đó cắt một phần tam giác ở phía góc A (Hình 114). Bạn Hoa đố bạn Hùng: Không vẽ điểm A, làm thế nào tìm được điểm D trên đường thẳng BC sao cho khoảng cách từ điểm D đến điểm A nhỏ nhất? Em hãy giúp Hùng tìm cách vẽ điểm D và giải thích cách làm của mình.

Bạn Hoa vẽ tam giác ABC lên tờ giấy sau đó cắt một phần tam giác ở phía góc A (Hình 114)

Lời giải:

Vì trong các đường xiên và đường vuông góc kẻ từ một điểm ở ngoài một đường thẳng đến đường thẳng đó thì đường vuông góc là đường ngắn nhất nên khoảng cách từ điểm D đến điểm A là nhỏ nhất khi điểm D là hình chiếu của điểm A trên đường thẳng BC.

Suy ra AD là đường cao của tam giác ABC.

Vẽ hai đường cao BE và CK của tam giác ABC, hai đường cao đó cắt nhau tại H. Khi đó H là trực tâm của tam giác ABC. Suy ra D là hình chiếu của điểm H trên đường thẳng BC (Hình 115).

Bạn Hoa vẽ tam giác ABC lên tờ giấy sau đó cắt một phần tam giác ở phía góc A (Hình 114)

Câu 11 trang 129 vở bài tập Toán lớp 7 Tập 2: Cho tam giác MNP có $\hat{M}$ = 40^o, $\hat{N}$ = 70^o. Khi đó $\hat{P}$ bằng?

A. 10^o ;

B. 55^o ;

C. 70^o;

D. 110^o.

Lời giải:

Ta có $\hat{M}$ + $\hat{N}$ + $\hat{P}$ = 180^o (tổng ba góc của một tam giác).

Suy ra có $\hat{P}$ = 180^o – ( $\hat{M}$ + $\hat{N}$ ) = 180^o – (40^o + 70^o) = 70^o.

Vậy ta chọn đáp án C.

Câu 12 trang 130 vở bài tập Toán lớp 7 Tập 2: Cho tam giác nhọn MNP có trực tâm H. Khi đó góc HMN bằng góc nào sau đây?

A. Góc HPN ;

B. Góc NMP;

C. Góc MPN;

D. Góc NHP.

Lời giải:

Cho tam giác nhọn MNP có trực tâm H. Khi đó góc HMN bằng góc nào

Vẽ đường cao ME, PK của tam giác MNP.

Xét tam giác MNE vuông tại E, ta có:

$\hat{E M N}$ + $\hat{M N E}$ = 90^o (tổng hai góc nhọn trong tam giác vuông)

Hay $\hat{H M N}$ + $\hat{M N P}$ = 90^o (1)

Xét tam giác NPK vuông tại K, ta có

$\hat{K P N}$ + $\hat{K N P}$ = 90^o (tổng hai góc nhọn trong tam giác vuông)

Hay $\hat{H P N}$ + $\hat{M N P}$ = 90^o (2)

Từ (1) và (2) suy ra $\hat{H M N}$ = $\hat{H P N}$ .

– Vì tia MH nằm trong góc NMP nên $\hat{H M N}$ < $\hat{N M P}$

– Vì tia PH nằm trong góc MPN nên $\hat{H P N}$ < $\hat{M P N}$ hay $\hat{H M N}$ < $\hat{M P N}$ .

– Xét tam giác NHK vuông tại K, ta có $\hat{N H K}$ + $\hat{K N H}$ = 90^o (tổng hai góc nhọn trong tam giác vuông). Suy ra $\hat{N H K}$ < 90^o.

Mà $\hat{N H K}$ + $\hat{N H P}$ = 180^o (hai góc kề bù). Suy ra $\hat{N H P}$ > 90^o.

Từ (1) suy ra $\hat{H M N}$ < 90^o. Do đó $\hat{H M N}$ < $\hat{N H P}$ .

Vậy ta chọn đáp án A.

Câu 13 trang 130 vở bài tập Toán lớp 7 Tập 2: Cho tam giác MNP có MN = 1 dm, NP = 2 dm, MP = x dm. với x {1; 2; 3; 4}. Khi đó x nhận giá trị nào?

A. 1;

B. 2;

C. 3;

D. 4.

Lời giải:

Xét tam giác MNP ta có

NP + MN > MP > NP – MN (bất đẳng thức tam giác).

Suy ra 2 + 1 > x > 2 – 1 hay 3 > x > 1

Mà x {1; 2; 3; 4} nên x = 2

Vậy ta chọn đáp án B.

Câu 14 trang 131 vở bài tập Toán lớp 7 Tập 2: Nếu tam giác MNP có trọng tâm G. đường trung tuyến MI thì tỉ số $\frac{M G}{M I}$ bằng

A. $\frac{3}{4}$ ;

B. $\frac{1}{2}$ ;

C. $\frac{2}{3}$ ;

D. $\frac{1}{3}$ .

Lời giải:

Vì G là trọng tâm tam giác MNP nên MG = $\frac{2}{3}$ MI hay $\frac{M G}{M I}$ = $\frac{2}{3}$ .

Vậy ta chọn đáp án C.

Bài liên quan:

Leave a Comment Hủy