Tóm tắt lý thuyết
1.1. Chia hết và chia có dư
Cho hai số tự nhiên a và b, trong đó b khác 0. Ta luôn tìm được đúng hai số tự nhiên q và r sao cho
a = b. q + r, trong đó \(0 \le r < b\). Ta gọi q và r lần lượt là thương và số dư trong phép chia a cho b.
– Nếu r = 0 tức a = b . q, ta nói a chia hết cho b, kí hiệu a\( \vdots \)b và ta có phép chia hết a : b = q.
– Nếu \(r \ne 0\), ta nói a không hết cho b, kí hiệu a b và ta có phép chia có dư.
1.2. Tính chất chia hết của một tổng
a) Tính chất 1
Cho a, b, n là các số tự nhiên, n khác 0.
Nếu a\( \vdots \)n và b\( \vdots \)n thì (a + b)\( \vdots \)n và (a – b)\( \vdots \)n \(\left( {a \ge b} \right)\)
Nếu a\( \vdots \)n, b\( \vdots \)n và c\( \vdots \)n thì (a + b + c)\( \vdots \)n
Trong một tổng, nếu một số hạng đều chia hết cho cùng một số thì tổng cũng chia hết cho số đó.
b) Tính chất 2
Cho a, b, n là các số tự nhiên, n khác 0. \(\left( {a \ge b} \right)\)
Nếu a n và b\( \vdots \)n thì (a + b)n và (a – b)n
Nếu a\( \vdots \)n và b n thì (a – b)n
Nếu an, b\( \vdots \)n và c\( \vdots \)n thì (a + b + c)n
Nếu trong một tổng chỉ có đúng một số hạng không chia hết cho một số, các số hạng còn lại đều chia hết cho số đó thì tổng không chia hết cho số đó.
Bài tập minh họa
Câu 1:
a) Hãy tìm số dư trong phép chia mỗi số sau đây cho 3: 255; 157; 5105.
b) Có thể sắp xếp cho 17 bạn vào 4 xe taxi được không? Biết rằng mỗi xe taxi chỉ chở được không quá 4 bạn.
Hướng dẫn giải
Ta có 255 = 3.75 => 225:3 = 75
=> Số dư của phép chia là 0
Ta có: 157= 3.52 + 1 => 157:3 = 52 (dư 1)
=> Số dư của phép chia là 1
Ta có 5105 = 3.1701 + 2 => 5105:3 = 1701 (dư 2)
=> Số dư của phép chia là 2.
Câu 2:
a) Không thực hiện phép tính, xét xem các tổng, hiệu sau Có chia hết cho 4
không? Tại sao?
1200 + 440; 400 – 324; 2.3.4.6 +27.
b) Tìm hai ví dụ về tổng hai số chia hết cho 5 nhưng các số hạng của tổng
lại không chia hết cho 5.
Hướng dẫn giải
a) Ta có:
1200\( \vdots \)4; 440\( \vdots \)4 => (1200 + 440) \( \vdots \) 4
400\( \vdots \)4; 324\( \vdots \)4 => (400+324) \( \vdots \)4
2.3.4.6\( \vdots \)4; 27\( \vdots \)4 => (2.3.4.6 +27) \( \vdots \)4
b) Hai số 12 và 23 không chia hết cho 5 mà 12 + 23 = 35 chia hết cho 5.