Sách bài tập Toán 10 Bài 4 (Cánh diều): Tổng và hiệu của hai vectơ

Giải SBT Toán lớp 10 Bài 4: Tổng và hiệu của hai vectơ

Giải SBT Toán 10 trang 92 Tập 1

Bài 32 trang 92 SBT Toán 10 Tập 1: Cho ba điểm M, N, P phân biệt. Phát biểu nào sau đây là đúng?

Sách bài tập Toán 10 Bài 4: Tổng và hiệu của hai vectơ - Cánh diều (ảnh 1)

Lời giải:

Đáp án đúng là C

Ta có: $\vec{M N} - \vec{N P} = \vec{M N} + \vec{P N}$ $= \vec{M N} + \vec{M K} = \vec{M H} \neq \vec{M P}$ (H, K là điểm thỏa mãn MKHN là hình bình hành). Do đó A sai.

Ta có: $- \vec{M N} + \vec{N P} = \vec{N M} + \vec{N P} = \vec{N T} \neq \vec{M P}$ (T là điểm MNPT là hình bình hành). Do đó B sai

Ta có: $\vec{M N} + \vec{N P} = \vec{M P}$ (quy tắc ba điểm). Do đó C đúng.

Ta có: $\vec{M N} + \vec{N P} = \vec{M P} \neq - \vec{M P}$ . Do đó D sai.

Bài 33 trang 92 SBT Toán 10 Tập 1: Cho tứ giác ABCD là hình bình hành. Khẳng định nào sau đây đúng?

Sách bài tập Toán 10 Bài 4: Tổng và hiệu của hai vectơ - Cánh diều (ảnh 1)

Lời giải:

Đáp án đúng là A

Ta có: $\vec{B A} + \vec{D A} = \vec{B A} + \vec{C B}$ $= \vec{C B} + \vec{B A} = \vec{C A}$ . Do đó A đúng.

Ta có: $\vec{A B} + \vec{B C} = \vec{A C} \neq \vec{A D}$ . Do đó B sai.

Ta có: $\vec{A B} + \vec{A D} = \vec{A C} \neq \vec{C A}$ . Do đó C sai.

Ta có: $\vec{A B} + \vec{B C} = \vec{A C} \neq - \vec{A C}$ . Do đó D sai.

Bài 34 trang 92 SBT Toán 10 Tập 1: Cho các điểm A, B, O. Khẳng định nào sau đây đúng?

Sách bài tập Toán 10 Bài 4: Tổng và hiệu của hai vectơ - Cánh diều (ảnh 1)

Lời giải:

Đáp án đúng là B

Cho các điểm A, B, O. Khẳng định nào sau đây đúng?

Ta có: $\vec{O A} - \vec{O B} = \vec{O A} + \vec{B O}$ $= \vec{B O} + \vec{O A} = \vec{B A} \neq \vec{A B}$ . Do đó A sai.

Ta có: $\vec{O B} - \vec{O A} = \vec{O B} + \vec{A O}$ $= \vec{A O} + \vec{O B} = \vec{A B}$ . Do đó B đúng.

Ta có: $\vec{O A} + \vec{O B} = \vec{O C} \neq \vec{A B}$ (C là điểm thỏa mãn OBCA là hình bình hành). Do đó C sai.

Ta có: $\vec{O B} + \vec{O A} = \vec{O C} \neq \vec{A B}$ (C là điểm thỏa mãn OBCA là hình bình hành). Do đó D sai.

Bài 35 trang 92 SBT Toán 10 Tập 1: Cho ba điểm A, B, M phân biệt. Điều kiện cần và đủ để M là trung điểm của đoạn thẳng AB là:

A. $\vec{M A} = \vec{M B}$ .

B. $|\vec{M A}| = |\vec{M B}|$ .

C. $\vec{M A}, \vec{M B}$ ngược hướng.

D. $\vec{M A} + \vec{M B} = \vec{0}$ .

Lời giải:

Đáp án đúng là D

M là trung điểm của đoạn thẳng AB thì MA = MB và $\vec{M A}, \vec{M B}$ ngược hướng.

⇒ $\vec{M A} = - \vec{M B}$ hay $\vec{M A} + \vec{M B} = \vec{0} .$

Vậy điều kiện đủ đề M là trung điểm của đoạn thẳng AB là $\vec{M A} + \vec{M B} = \vec{0} .$

Bài 36 trang 92 SBT Toán 10 Tập 1: Cho tam giác ABC. Điều kiện cần và đủ để G là trọng tâm của tam giác ABC là:

Sách bài tập Toán 10 Bài 4: Tổng và hiệu của hai vectơ - Cánh diều (ảnh 1)

Lời giải:

Đáp án đúng là B

Điều kiện cần và đủ để G là trọng tâm của tam giác ABC là $\vec{G A} + \vec{G B} + \vec{G C} = \vec{0}$

⇔ $\vec{G B} + \vec{G C} = - \vec{G A}$

⇔ $\vec{G B} + \vec{G C} = \vec{A G}$

Bài 37 trang 92 SBT Toán 10 Tập 1: Cho tứ giác ABCD, O là trung điểm của AB. Chứng minh: $\vec{O C} + \vec{O D} = \vec{A C} + \vec{B D} .$

Lời giải:

Sách bài tập Toán 10 Bài 4: Tổng và hiệu của hai vectơ - Cánh diều (ảnh 1)

Ta có:

Sách bài tập Toán 10 Bài 4: Tổng và hiệu của hai vectơ - Cánh diều (ảnh 1)

Bài 38 trang 92 SBT Toán 10 Tập 1: Cho tam giác ABC vuông tại A, AB = 4a, AC = 5a. Tính:

a) $|\vec{A B} - \vec{A C}|$ ;

b) $|\vec{A B} + \vec{A C}|$ .

Lời giải:

Sách bài tập Toán 10 Bài 4: Tổng và hiệu của hai vectơ - Cánh diều (ảnh 1)

a) Xét tam giác ABC vuông tại A, có:

BC² = AB² + AC² (định lí pythagoras)

⇔ BC² = (4a)² + (5a)² = 41a²

⇔ BC = $\sqrt{41}$ a.

Ta có:

$\vec{A B} - \vec{A C} = \vec{A B} + \vec{C A} = \vec{C A} + \vec{A B} = \vec{C B}$

⇒ $|\vec{A B} - \vec{A C}| = |\vec{C B}| = \sqrt{41} a$ .

Vậy $|\vec{A B} - \vec{A C}| = \sqrt{41} a$ .

b) Lấy điểm D là điểm thỏa mãn ABDC là hình chữ nhật nên AD = BC (tính chất hình hình chữ nhật).

Ta có: $\vec{A B} + \vec{A C} = \vec{A D}$ (quy tắc hình bình hành)

⇒ $|\vec{A B} + \vec{A C}| = |\vec{A D}| = |\vec{C B}| = \sqrt{41} a$ .

Vậy $|\vec{A B} + \vec{A C}| = \sqrt{41} a .$

Bài 39 trang 92 SBT Toán 10 Tập 1: Cho tam giác đều ABC cạnh a. Tính:

Sách bài tập Toán 10 Bài 4: Tổng và hiệu của hai vectơ - Cánh diều (ảnh 1)

Ý b

Ý c

Lời giải:

a) Ta có: $\vec{A B} + \vec{B C} = \vec{A C}$ (quy tắc 3 điểm)

⇒ $|\vec{A B} + \vec{B C}| = |\vec{A C}| = A C = a$

Vậy $|\vec{A B} + \vec{B C}| = a$ .

b) Ta có:

$\vec{A B} - \vec{A C} = \vec{A B} + \vec{C A} = \vec{C A} + \vec{A B} = \vec{C B}$

⇒ $|\vec{A B} - \vec{A C}| = |\vec{C B}| = C B = a$ .

Vậy $|\vec{A B} - \vec{A C}| = a$ .

c) Gọi D là điểm thỏa mãn ABDC là hình bình hành, M là trung điểm của BC.

Khi đó: $\vec{A B} + \vec{A C} = \vec{A D}$

⇒ $|\vec{A B} + \vec{A C}| = |\vec{A D}|$ .

Xét tam giác ABC, có AM là đường trung tuyến nên AM là đường cao

⇒ AM = $\frac{a \sqrt{3}}{2}$

⇒ AD = 2AM = 2. $\frac{a \sqrt{3}}{2} = a \sqrt{3}$ .

⇒ $|\vec{A B} + \vec{A C}| = |\vec{A D}| = a \sqrt{3}$ .

Vậy $|\vec{A B} + \vec{A C}| = a \sqrt{3}$ .

Bài 40 trang 92 SBT Toán 10 Tập 1: Cho tam giác ABC thỏa mãn $|\vec{A B} + \vec{A C}| = |\vec{A B} - \vec{A C}|$ . Chứng minh tam giác ABC vuông tại A.

Lời giải:

Gọi D là điểm thỏa mãn ABDC là hình bình hành.

Khi đó, ta có: $\vec{A B} + \vec{A C} = \vec{A D}$

⇒ $|\vec{A B} + \vec{A C}| = |\vec{A D}| = A D$

Ta lại có: $\vec{A B} - \vec{A C} = \vec{A B} + \vec{C A} = \vec{C B}$

⇒ $|\vec{A B} - \vec{A C}| = |\vec{C B}| = C B$

Mà $|\vec{A B} + \vec{A C}| = |\vec{A B} - \vec{A C}|$ nên AD = CB.

Hình bình hành ABCD có AB = CB nên ABCD là hình chữ nhật. Do đó tam giác ABC vuông tại A.

Giải SBT Toán 10 trang 93 Tập 1

Bài 41 trang 93 SBT Toán 10 Tập 1: Cho hai vectơ $\vec{a}, \vec{b}$ khác $\vec{0}$ . Chứng minh rằng nếu hai vectơ cùng hướng thì $|\vec{a}| + |\vec{b}| = |\vec{a} + \vec{b}|$ .

Lời giải:

Sách bài tập Toán 10 Bài 4: Tổng và hiệu của hai vectơ - Cánh diều (ảnh 1)

Không mất tính tổng quát ta lấy một điểm A bất kì, vẽ $\vec{A B} = \vec{a}$ , $\vec{B C} = \vec{b}$

Vì hai vectơ $\vec{a}, \vec{b}$ cùng hướng nên A, B, C thẳng hàng, B nằm giữa A và C.

Ta có:

Sách bài tập Toán 10 Bài 4: Tổng và hiệu của hai vectơ - Cánh diều (ảnh 1)

Bài 42 trang 93 SBT Toán 10 Tập 1: Cho hình vuông ABCD cạnh a. Tính $|\vec{A B} + \vec{A C}|$ .

Lời giải:

Sách bài tập Toán 10 Bài 4: Tổng và hiệu của hai vectơ - Cánh diều (ảnh 1)

Lấy E là điểm thỏa mãn ABEC là hình bình hành, gọi M là trung điểm của BC.

Khi đó ta có:

$\vec{A B} + \vec{A C} = \vec{A E}$

⇒ $|\vec{A B} + \vec{A C}| = |\vec{A E}| = A E$

Vì M là trung điểm của BC nên M là trung điểm của AE

⇒ AE = 2AM.

Xét tam giác ABM vuông tại B, có:

AM² = AB² + BM² (định lí pythagoras)

Sách bài tập Toán 10 Bài 4: Tổng và hiệu của hai vectơ - Cánh diều (ảnh 1)

Bài 43 trang 93 SBT Toán 10 Tập 1: Cho tứ giác ABCD là hình bình hành. Gọi O là giao điểm của hai đường chéo, E là trung điểm của AD, G là giao điểm của BE và AC. Tính:

Sách bài tập Toán 10 Bài 4: Tổng và hiệu của hai vectơ - Cánh diều (ảnh 1)

Ý b

Lời giải:

Sách bài tập Toán 10 Bài 4: Tổng và hiệu của hai vectơ - Cánh diều (ảnh 1)

a) Xét hình bình hành ABCD, có O là giao điểm của AC và BD nên O là trung điểm của AC và O là trung điểm của BD.

Sách bài tập Toán 10 Bài 4: Tổng và hiệu của hai vectơ - Cánh diều (ảnh 1)

b) Xét tam giác ABD, có:

AO là trung tuyến, BE là đường trung tuyến

Mà AO giao với BE tại G nên G là trọng tâm tam giác ABD

⇒ $\vec{G A} + \vec{G B} + \vec{G D} = \vec{0}$

Vậy $\vec{G A} + \vec{G B} + \vec{G D} = \vec{0}$ .

Bài 44 trang 93 SBT Toán 10 Tập 1: Cho tam giác ABC. Tìm tập hợp các điểm M trong mặt phẳng thỏa mãn $|\vec{A B} + \vec{B M}| = |\vec{A C} - \vec{A M}|$ .

Lời giải:

Ta có: $\vec{A B} + \vec{B M} = \vec{A M}$

⇒ $|\vec{A B} + \vec{B M}| = |\vec{A M}| = A M$

Ta lại có: $\vec{A C} - \vec{A M} = \vec{A C} + \vec{M A} = \vec{M C}$

⇒ $|\vec{A C} - \vec{A M}| = |\vec{M C}| = M C$

Vì $|\vec{A B} + \vec{B M}| = |\vec{A C} - \vec{A M}|$ nên AM = MC

Tập hợp điểm M thỏa mãn AM = MC là đường trung trực của đoạn thẳng AC.

Vậy tập hợp điểm M thỏa mãn điều kiện đầu bài là đường trung trực của đoạn thẳng AC.

Bài 45 trang 93 SBT Toán 10 Tập 1: Cho hai tam giác ABC và A’B’C’ có cùng trọng tâm là G. Chứng minh $\vec{AA ‘} + \vec{B B ‘} + \vec{C C ‘} = \vec{0}$ .

Lời giải:

Ta có:

$\vec{AA ‘} + \vec{B B ‘} + \vec{C C ‘} = \vec{AG} + \vec{G A ‘} +$ $\vec{B G} + \vec{G B ‘} + \vec{C G} + \vec{G C ‘}$

Sách bài tập Toán 10 Bài 4: Tổng và hiệu của hai vectơ - Cánh diều (ảnh 1)

Bài 46 trang 93 SBT Toán 10 Tập 1: Cho tam giác nhọn ABC có các cạnh đôi một khác nhau. Gọi H, O lần lượt là trực tâm và tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác, D là điểm đối xứng với H qua O. Chứng minh rằng: $\vec{H A} + \vec{H B} + \vec{H C} = \vec{H D}$ .

Lời giải:

Sách bài tập Toán 10 Bài 4: Tổng và hiệu của hai vectơ - Cánh diều (ảnh 1)

Vẽ đường kính AE

Ta có: $\hat{A C E} = 90 °$ nên AC ⊥ EC

Mà BH ⊥ EC

⇒ BH // AC (1)

Ta lại có: $\hat{A B E} = 90 °$ và AB ⊥ BE

Mà CH ⊥ AB

⇒ BE // CH (2)

Từ (1) và (2) suy ra BHEC là hình bình hành

Xét tứ giác AHDE, có:

O là trung điểm của HD (gt)

O là trung điểm của AE

Do đó AHDE là hình bình hành

Khi đó, ta có:

$\vec{H A} + \vec{H B} + \vec{H C} = \vec{H A} + (\vec{H B} + \vec{H C}) = \vec{H A} + \vec{H E} = \vec{H D}$

Xem thêm các bài giải SBT Toán 10 Cánh diều hay, chi tiết khác:

====== ****&**** =====

Bài liên quan:

Leave a Comment Hủy