Phương pháp giải về Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số 2023 (lý thuyết và bài tập)

Tài liệu Lý thuyết, bài tập về Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số có đáp án gồm các nội dung sau:

Bài giảng Toán học 12 Bài 3: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

A. LÝ THUYẾT VỀ GIÁ TRỊ LỚN NHẤT – GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ

Định nghĩa:

    Cho hàm số y = f(x) xác định trên miền D

    – Số M gọi là giá trị lớn nhất của hàm số y = f(x) trên D nếu: .

    Kí hiệu:  hoặc .

    – Số m gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(x) trên D nếu: .

    Kí hiệu:  hoặc 

B. KĨ NĂNG GIẢI BÀI TẬP

    Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số liên tục trên K (K có thể là khoảng, đoạn, nửa khoảng, …)

1. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sử dụng bảng biến thiên

    – Bước 1. Tính đạo hàm f'(x).

    – Bước 2. Tìm các nghiệm của f'(x) và các điểm f'(x) trên K.

    – Bước 3. Lập bảng biến thiên của f(x) trên K.

    – Bước 4. Căn cứ vào bảng biến thiên kết luận 

2. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số không sử dụng bảng biến thiên

    * Trường hợp 1. Tập K là đoạn [a; b]

    – Bước 1. Tính đạo hàm f'(x) .

    – Bước 2. Tìm tất cả các nghiệm x_i ∈ [a; b] của phương trình f'(x) = 0 và tất cả các điểm α ∈ [a; b] làm cho f'(x)                            không xác định.

    – Bước 3. Tính f(a), f(b), f(x_i), f(α_i).

    – Bước 4. So sánh các giá trị tính được và kết luận .

    * Trường hợp 2. Tập K là khoảng (a; b)

    – Bước 1. Tính đạo hàm f'(x) .

    – Bước 2. Tìm tất cả các nghiệm x_i ∈ (a; b) của phương trình f'(x) = 0 và tất cả các điểm α_i ∈ (a; b) làm cho f'(x)                          không xác định.

    – Bước 3. Tính .

    – Bước 4. So sánh các giá trị tính được và kết luận .

    ** Chú ý: Nếu giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) là A hoặc B thì ta kết luận không có giá trị lớn nhất (nhỏ nhất).

     Lưu ý: Đạo hàm của hàm số mũ và lôgarit

                              $\left(a^u\right)‘=u‘a^u\ln a \left(e^u\right)‘=u‘e^u \left(e^x\right)‘=e^x$

                              $\left({\log }_{a}u\right)‘=\frac{u‘}{u\ln a} \left({\log }_{a}x\right)‘=\frac{1}{x\ln a} \left(\ln u\right)‘=\frac{u‘}{u}\Rightarrow \left(\ln \left|x\right|\right)‘=\frac{1}{x}$

C. BÀI TẬP VỀ GIÁ TRỊ LỚN NHẤT – GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ

Câu 1. Giá trị lớn nhất của hàm số f (x) = -x⁴ +12x² +1 trên đoạn [-1; 2]bằng:

A. 1.          B. 37 .                   C. 33 .                     D. 12

Câu 2. Giá trị nhỏ nhất của hàm số f ( x) = x⁴ -10x² + 2 trên đoạn [-1; 2] bằng

A. 2 .                             B. -23 .                       C. -22 .                       D. -7 .

Câu 3.  Gọi M là giá trị lớn nhất và m là giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x⁴ – 8x² – 5 trên đoạn [-3;1] .

Khi đó, giá trị của biểu thức M – 2m bằng

A. 46 .                           B. 25 .                         C. -25 .                       D. -46 .

Bài 4. Giá trị lớn nhất của hàm số  bằng

Bài 5. Gọi M là giá trị lớn nhất và m là giá trị nhỏ nhất của hàm số y = 2sin⁸x + cos⁴2x. Khi đó  bằng

Bài 6: Xét hàm số f(x) = x³ + x- cosx – 4 trên nửa khoảng [0; + ∞]. Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A. Hàm số có giá trị lớn nhất là -5 nhưng không có giá trị nhỏ nhất.

B. Hàm số không có giá trị lớn nhất nhưng có giá trị nhỏ nhất là -5.

C. Hàm số có giá trị lớn nhất là 5 và có giá trị nhỏ nhất là -5.

D. Hàm số không có giá trị lớn nhất và không có giá trị nhỏ nhất.

Bài 7: Tìm giá trị lớn nhất M của hàm số f(x) = |x² – 3x + 2|- x trên đoạn [-4; 4].

A. M = 2                             B. M = 17                            C. M = 34                             D. M = 68

Bài 8: Cho hàm số y = f(x) xác định, liên tục trên R và có bảng biến thiên sau:

Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Giá trị lớn nhất của hàm số bằng 2.

B. Giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng -1

C. Giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng 1.

D. Giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng -1 và 1.

Bài 9: Cho hàm số y = f(x) xác định, liên tục trên R và có bảng biến thiên như sau:

Khẳng định nào sau đây là đúng ?

A. Hàm số có đúng một cực trị.

B. Hàm số có giá trị cực tiểu bằng 1.

C. Hàm số có giá trị lớn nhất bằng 0 và giá trị nhỏ nhất bằng -1.

D. Hàm số đạt cực đại tại x = 0 và đạt cực tiểu tại x = 1.

Bài 10: Cho hàm số y = f(x) và có bảng biến thiên trên [-5; 7) như sau:

Mệnh đề nào sau đây là đúng?

 và hàm số không đạt giá trị lớn nhất trên [-5; 7).

Xem thêm