Lý thuyết Đường thẳng và mặt phẳng song song (Cánh diều 2023) hay, chi tiết | Toán lớp 11

Lý thuyết Toán lớp 11 Bài 3: Đường thẳng và mặt phẳng song song

A. Lý thuyết Đường thẳng và mặt phẳng song song

I. Đường thẳng song song với mặt phẳng

 Đường thẳng được gọi là song song với mặt phẳng nếu chúng không có điểm chung.

 

*Nhận xét:

– Nếu d và $\left(P\right)$ có một điểm chung duy nhất thì ta nói d và $\left(P\right)$ cắt nhau tại A. Kí hiệu $d\cap \left(P\right)=A$hay $d\cap \left(P\right)=\left\{A\right\}$.

 

– Nếu d và $\left(P\right)$ có nhiều hơn 1 điểm chung thì ta nói d nằm trong $\left(P\right)$ hay $\left(P\right)$ chứa d. Kí hiệu $d\subset \left(P\right)$hay $\left(P\right)\supset d$.

 

II. Điều kiện và tính chất

• Nếu đường thẳng a không nằm trong mặt phẳng (P) và a song song với một đường thẳng a’ nằm trong (P) thì ta nói $a//\left(P\right)$.

 

• Cho đường thẳng a song song với mặt phẳng (P). Nếu mặt phẳng (Q) chứa a và cắt (P) theo giao tuyến b thì b//a.

 

• Nếu hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thì giao tuyến của chúng (nếu có) cũng song song với đường thẳng đó.

 

 

B. Bài tập Đường thẳng và mặt phẳng song song

Bài 1. Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trọng tâm của các tam giác ABC và BCD. Chứng minh rằng MN // (ABD) và MN // (ACD).

Hướng dẫn giải

Gọi E là trung điểm BC.

Tam giác ABC có M là trọng tâm nên $\frac{EM}{EA}=\frac{1}{3}$.

Tam giác BCD có N là trọng tâm nên $\frac{EN}{ED}=\frac{1}{3}$.

Khi đó $\frac{EM}{EA}=\frac{EN}{ED}=\frac{1}{3}$.

Áp dụng định lí Thales, ta được MN // AD.

Mà AD ⊂ (ABD) và AD ⊂ (ACD).

Vậy MN // (ABD) và MN // (ACD).

Bài 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi (α) là mặt phẳng đi qua trung điểm M của cạnh SB, song song với cạnh AB và cắt các cạnh SA, SD, SC lần lượt tại các điểm Q, P, N. Chứng minh tứ giác MNPQ là hình thang.

Hướng dẫn giải

Ta có AB // (α) và M ∈ (α).

Mà AB ⊂ (SAB).

Suy ra (α) ∩ (SAB) = MQ, với MQ // AB và Q ∈ SA.

Lại có CD // AB (do tứ giác ABCD là hình bình hành).

Suy ra CD // MQ   (1)

Mà MQ ⊂ (α).

Do đó CD // (α).

Mà (α) ∩ (SCD) = NP.

Vì vậy CD // NP   (2)

Từ (1), (2), suy ra MQ // NP.

Vậy tứ giác MNPQ là hình thang.

Bài 3. Cho hình chóp S.ABC. Gọi M, N, E lần lượt là trung điểm của AC, BC, SB. Gọi H, K lần lượt là trọng tâm của các tam giác SAC và SBC.

a) Xác định giao tuyến d của hai mặt phẳng (MNE) và (SAB).

b) Chứng minh HK // (SAB).

c) Chứng minh HK // d.

Hướng dẫn giải

a) Tam giác ABC có M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AC và BC.

Suy ra MN là đường trung bình của tam giác ABC.

Do đó MN // AB.

Ta có E đều thuộc hai mặt phẳng (MNE) và (SAB).

Mà MN // AB (chứng minh trên); MN ⊂ (MNE) và AB ⊂ (SAB).

Suy ra giao tuyến của hai mặt phẳng (MNE) và (SAB) là đường thẳng d đi qua E và d // MN // AB.

b) Tam giác SAC có H là trọng tâm và M là trung điểm AC.

Suy ra $\frac{SH}{SM}=\frac{2}{3}$.

Chứng minh tương tự, ta được $\frac{SK}{SN}=\frac{2}{3}$.

Do đó $\frac{SH}{SM}=\frac{SK}{SN}=\frac{2}{3}$.

Áp dụng định lí Thales, ta được HK // MN.

Mà MN ⊂ (SAB).

Vậy HK // (SAB)   (1)

c) Trong (SAB): gọi F = d ∩ SA.

Ta có HK // MN (chứng minh trên).

Mà MN ⊂ (MNEF).

Suy ra HK // (MNEF)    (2)

Ta lại có (SAB) ∩ (MNEF) = EF (theo kết quả câu a)   (3)

Từ (1), (2), (3), ta thu được HK // EF.

Xem thêm các bài tóm tắt lý thuyết Toán lớp 11 Cánh diều hay, chi tiết khác:

Lý thuyết Bài 1: Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian

Lý thuyết Bài 2: Hai đường thẳng song song trong không gian

Lý thuyết Bài 3: Đường thẳng và mặt phẳng song song

Lý thuyết Bài 4: Hai mặt phẳng song song

Lý thuyết Bài 5: Hình lăng trụ và hình hộp

Lý thuyết Bài 6: Phép chiếu song song. Hình biểu diễn của một hình không gian

Xem thêm các bài tóm tắt lý thuyết chương Toán lớp 11 Cánh diều hay, chi tiết khác:

Lý thuyết Chương 1: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác

Lý thuyết Chương 2: Dãy số. Cấp số cộng. Cấp số nhân

Lý thuyết Chương 3: Giới hạn. Hàm số liên tục

Lý thuyết Chương 4: Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian. Quan hệ song song