20 Bài tập Hàm số lượng giác và đồ thị (sách mới) có đáp án – Toán 11

Bài tập Toán 11 Hàm số lượng giác và đồ thị

A. Bài tập Hàm số lượng giác và đồ thị

Bài 1. Xét tính chẵn lẻ của các hàm số sau:

a) $f\left(x\right)=\frac{x^2}{\sin x+\tan x}.$

b) f(x) = |x|.sin x.

Hướng dẫn giải

⇔ sin 2x ≠ 0 ⇔ 2x ≠ kπ ⇔ $x\ne \frac{k\pi }{2}$, k ∈ ℤ.

Vậy hàm số f(x) xác định trên  là tập đối xứng.

Ta có: $f\left(-x\right)=\frac{{\left(-x\right)}^2}{\sin \left(-x\right)+\tan \left(-x\right)}=-\frac{x^2}{\sin x+\tan x}=-f\left(x\right)$

Vậy hàm số $f\left(x\right)=\frac{x^2}{\sin x+\tan x}$ là hàm số lẻ.

b) Hàm số f(x) xác định trên D = ℝ là tập đối xứng

Ta có: f(−x) = |−x|.sin (−x) = |x|.sin x = −f(x).

Vậy hàm số f(x) = |x|.sin x là hàm số lẻ.

Bài 2. Tìm tập xác định của hàm số: $y=\sqrt{\frac{1+\cos x}{1-\cos x}}.$

Hướng dẫn giải

Hàm số $y=\sqrt{\frac{1+\cos x}{1-\cos x}}$ xác định ⇔

Vì $-1\le \cos x\le 1,\forall x\in ℝ$ nên 

⇒ $\frac{1+\cos x}{1-\cos x}\ge 0,\left(1-\cos x\right)\ne 0.$

Do đó y xác định khi và chỉ khi $1-\cos x\ne 0$ ⇔ cos x ≠ 1 ⇔ x ≠ k2π.

Vậy tập xác định của hàm số là D = ℝ \ {k2π, k ∈ ℤ}.

Bài 3. Dựa vào đồ thị của hàm số y = sin x, vẽ đồ thị của hàm số y = |sin x|.

Hướng dẫn giải

Ta biết đồ thị hàm số y = sin x có dạng như sau:

Với hàm số y = |sin x| ta có:

Từ dồ thị hàm số y = sin x ta có thể suy ra đồ thị hàm số y = |sin x| bằng cách:

– Giữ nguyên phần đồ thị nằm phía trên trục Ox (sin x > 0).

– Lấy đối xứng phần đồ thị nằm phía dưới Ox qua Ox.

Như vậy, ta được đồ thị hàm số y = |sin x| có dạng như sau (nét liền).

Bài 4. Xác định tham số m để:

a) Hàm số f(x) = 5m.sin4x + cos2x là hàm số chẵn.

b) Hàm số g(x) = (m – 1).tanx.cotx là hàm số lẻ.

Hướng dẫn giải

a) Hàm số f(x) có tập xác định là D = ℝ.

Ta có ∀x ∈ ℝ thì –x ∈ ℝ.

Để hàm số f(x) là hàm số chẵn thì f(–x) = f(x), ∀x ∈ ℝ.

⇔ 5m.sin(–4x) + cos(–2x) = 5m.sin4x + cos2x, ∀x ∈ ℝ.

⇔ –5m.sin4x + cos2x = 5m.sin4x + cos2x, ∀x ∈ ℝ.

⇔ 10m.sin4x = 0, ∀x ∈ ℝ.

⇔ m = 0.

Vậy m = 0 thỏa mãn yêu cầu bài toán.

b) Hàm số g(x) có tập xác định là .

Ta có ∀x ∈ D thì –x ∈ D.

Để hàm số g(x) là hàm số lẻ thì f(–x) = –f(x), ∀x ∈ D.

⇔ (m – 1).tan(–x).cot(–x) = –(m – 1).tanx.cotx, ∀x ∈ D.

⇔ (m – 1).tanx.cotx = –(m – 1).tanx.cotx, ∀x ∈ D.

⇔ 2(m – 1).tanx.cotx = 0, ∀x ∈ D.

⇔ m – 1 = 0.

⇔ m = 1.

Vậy m = 1 thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Bài 5. Chứng minh các hàm số sau là hàm số tuần hoàn:

a) f(x) = tan2x, với $T=\frac{3\pi }{2}$;

b) , với T = 3π.

Hướng dẫn giải

a) Hàm số f(x) có tập xác định là .

⦁ Ta có ∀x ∈ D thì $x+T=x+\frac{3\pi }{2}\in D$ và $x-T=x-\frac{3\pi }{2}\in D$.

⦁ Lại có 

Vậy hàm số f(x) = tan2x là hàm số tuần hoàn.

b) Hàm số g(x) có tập xác định là E = ℝ \ {kπ | k ∈ ℤ}.

⦁ Ta có ∀x ∈ E thì x + T = x + 3π ∈ E và x – T = x – 3π ∈ E.

Bài 6. Số giờ có ánh sáng mặt trời của một thành phố A trong ngày thứ t của năm 2017 (có 365 ngày) được cho bởi một hàm số , với t ∈ ℤ và 0 < t ≤ 365. Vào ngày nào trong năm thì thành phố A có nhiều giờ có ánh sáng mặt trời nhất?

Hướng dẫn giải

Ta có tập giá trị của hàm số y = sinx là [–1; 1].

Tức là, sinx ≤ 1.

⇔ y ≤ 14 (*)

Yêu cầu bài toán ⇔ Tìm t để y = 14, với 0 < t ≤ 365.

Ta có dấu “=” của (*) xảy ra khi và chỉ khi  (**)

Quan sát hình vẽ, ta thấy đồ thị hàm số y = sinx cắt đường thẳng y = 1 tại $x=\frac{\pi }{2}+k2\pi$, với k ∈ ℤ.

Do đó (**) tương đương với: .

⇔ t – 60 = 89 + 356k (k ∈ ℤ).

⇔ t = 149 + 356k (k ∈ ℤ).

Vì 0 < t ≤ 365 nên 0 < 149 + 356k ≤ 365.

⇔ –149 < 356k ≤ 216.

$\iff -\frac{149}{356}<k\le \frac{54}{89}$.

Mà k ∈ ℤ nên k = 0.

Với k = 0, ta có: t = 149.

Vậy ngày 29 tháng 5 năm 2017 là ngày thành phố A có nhiều giờ có ánh sáng mặt trời nhất.

Bài 7. Tìm tập xác định của các hàm số sau:

a) $y=\frac{1+\sin x}{\cos x}$;

b) $y=\sqrt{\frac{1+\cos x}{1-\cos x}}$.

Hướng dẫn giải

a) Biểu thức $\frac{1+\sin x}{\cos x}$ có nghĩa khi cos x ≠ 0, tức là x ≠ $\frac{\pi }{2}+k\pi$(k ∈ ℤ).

Vậy tập xác định của hàm số $y=\frac{1+\sin x}{\cos x}$ là D = R\.

b) Biểu thức $\sqrt{\frac{1+\cos x}{1-\cos x}}$ có nghĩa khi  (1)

Mặt khác, vì –1 ≤ cosx ≤ 1 ∀x ∈ ℝ nên 1 + cosx ≥ 0 và 1 – cosx ≥ 0

⇒ $\frac{1+\cos x}{1-\cos x}\ge 0$ khi 1 – cosx ≠ 0

Do đó (1) ⇔ 1 – cosx ≠ 0 ⇔ cosx ≠ 1 ⇔ x ≠ k2ℼ (k ∈ ℤ).

Vậy tập xác định của hàm số $y=\sqrt{\frac{1+\cos x}{1-\cos x}}$ là D = ℝ \ {k2ℼ | k ∈ ℤ}.

Bài 8. Xét tính chẵn, lẻ của các hàm số sau:

a) f(x) = sinx cosx;

b) g(x) = sin²x + cos2x.

Hướng dẫn giải

a) Tập xác định của hàm số f(x) là D = ℝ.

Do đó, nếu x ∈ D thì –x ∈ D.

Ta có f(–x) = sin(–x) cos(–x) = –sinx . cosx = – f(x).

Vậy hàm số f(x) = sinx cosx là hàm số lẻ.

b) Tập xác định của hàm số g(x) là D = ℝ.

Do đó, nếu x ∈ D thì –x ∈ D.

Ta có g(–x) = sin²(–x) + cos2(–x) = [–sinx]² + cos(–2x) = sin²x + cos2x = f(x).

Vậy hàm số g(x) = sin²x + cos2x là hàm số chẵn.

Bài 9. Tìm tập giá trị của hàm số sau:

a) y = 1+ $\sqrt{\sin x}$;

b) y = 3cos – 1.

Hướng dẫn giải

a) Điều kiện xác định của hàm số là sin x ≥ 0;

Vì –1 ≤ sin x ≤ 1 nên kết hợp với điều kiện xác định, ta có 0 ≤ sin x ≤ 1

Suy ra $0\le \sqrt{s\text{inx}}\le 1$ ⇒ 1+0 $\le$1 + $\sqrt{\sin x}$ $\le$ 1 + 1 ⇒ 1$\le$1+$\sqrt{\sin x}$$\le$2

⇒ 1 ≤ y ≤ 2

Vậy tập giá trị của hàm số y=1+$\sqrt{\sin x}$ là [1; 2].

b) Ta có $-1\le \cos$$\le$1, $\forall$x$\in$R ⇔ -3$\le$3cos $\le$3, $\forall$x$\in$R

⇔ -4$\le$3cos – 1$\le$2, $\forall$x$\in$R

⇔ –4 ≤ y ≤ 2, ∀x ∈ ℝ.

Vậy tập giá trị của hàm số y = 3cos – 1 là [–4; 2].

B. Lý thuyết Hàm số lượng giác và đồ thị

1. Hàm số lượng giác

– Hàm số sin là quy tắc đặt tương ứng mỗi số thực x với số thực sin x, kí hiệu y = sin x.

– Hàm số côsin là quy tắc đặt tương ứng mỗi số thực x với số thực cos x, kí hiệu          y = cos x.

– Hàm số tang là hàm số được xác định bởi công thức

$y=\frac{\sin x}{\cos x}$ với $x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi \text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}(}\left(k\in \mathbb{Z}\right)),$ kí hiệu y = tan x.

– Hàm số côtang là hàm số được xác định bởi công thức

$y=\frac{\cos x}{\sin x}$ với x ≠ kπ (k ∈ ℤ), kí hiệu y = cot x.

Chú ý:

• Tập xác định của hàm số y = sin x và y = cos x là ℝ.

2. Hàm số chẵn, hàm số lẻ, hàm số tuần hoàn

2.1. Hàm số chẵn, hàm số lẻ

– Hàm số y = f(x) với tập xác định D được gọi là hàm số chẵn nếu với mọi x ∈ D ta có    – x ∈ D và f(−x) = f(x).

– Hàm số y = f(x) với tập xác định D được gọi là hàm số lẻ nếu với mọi x ∈ D ta có              – x ∈ D và f(−x) = −f(x).

Chú ý:

• Đồ thị của hàm số chẵn nhận trục tung làm trục đối xứng.

• Đồ thị của hàm số lẻ nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng.

Ví dụ: Xét tính chẵn lẻ của hàm số y = f(x) = sin(2x + 1).

Ta có hàm số y = f(x) = sin(2x + 1) có tập xác định là ℝ. Với mọi x ∈ ℝ ta có –x ∈ ℝ và f(–x) = sin[2(–x) + 1] = sin(–2x + 1) = –sin(2x – 1).

Nhận thấy f(–x) ≠ f(x) và f(–x) ≠ –f(x).

Vậy hàm số y = sin(2x + 1) không phải hàm số chẵn, không phải hàm số lẻ.

2.2. Hàm số tuần hoàn

– Hàm số y = f(x) với tập xác định D được gọi là hàm số tuần hoàn nếu tồn tại một số T khác 0 sao cho với mọi x ∈ D ta có x ± T ∈ D và f(x + T) = f(x).

– Số T dương nhỏ nhất thỏa mãn các điều kiện trên (nếu có) được gọi là chu kì của hàm số tuần hoàn y = f(x).

Chú ý:

• Đồ thị của hàm số tuần hoàn chu kì T được lặp lại trên từng đoạn giá trị của x có độ dài T.

• Các hàm số y = sin x và y = cos x là các hàm số tuần hoàn với chu kì 2π.

• Các hàm số y = tan x và y = cot x là các hàm số tuần hoàn với chu kì π.

3. Đồ thị của các hàm số lượng giác

3.1. Hàm số y = sin x

Hàm số y = sin x có tập xác định là ℝ, tập giá trị là [−1; 1] và có các tính chất sau:

– Hàm số tuần hoàn với chu kì 2π.

– Hàm số lẻ, có đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ O.

– Hàm số đồng biến trên các khoảng ($\left(-\frac{\pi }{2}+2k\pi ;\frac{\pi }{2}+2k\pi \right)\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em})(}\left(k\in \mathbb{Z}\right)$) và nghịch biến trên các khoảng ($\left(\frac{\pi }{2}+2k\pi ;\frac{3\pi }{2}+2k\pi \right)\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em})(}\left(k\in \mathbb{Z}\right).$)

Đồ thị của hàm số y = sin x trên ℝ như sau:

Chú ý:

• Vì y = sin x là hàm số lẻ nên để vẽ đồ thị của nó trên đoạn [−π; π], ta có thể vẽ trên đoạn [0; π], sau đó lấy đối xứng qua gốc tọa độ.

3.2. Hàm số y = cos x

Hàm số y = cos x có tập xác định là ℝ, tập giá trị là [−1; 1] và có các tính chất sau:

– Hàm số tuần hoàn với chu kì 2π.

– Hàm số chẵn, có đồ thị đối xứng qua trục Oy.

– Hàm số đồng biến trên các khoảng ($\left(-\pi +2k\pi ;2k\pi \right)\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em})(}\left(k\in \mathbb{Z}\right)$) và nghịch biến trên các khoảng ($\left(2k\pi ;\pi +2k\pi \right)\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em})(}\left(k\in \mathbb{Z}\right).$)

Đồ thị của hàm số y = cos x trên ℝ như sau:

Chú ý:

• Vì y = cos x là hàm số chẵn nên để vẽ đồ thị của nó trên đoạn [−π; π], ta có thể vẽ trên đoạn [0; π], sau đó lấy đối xứng qua trục tung.

3.3. Hàm số y = tan x

Hàm số y = tan x có tập xác định là  và có các tính chất sau:

– Hàm số tuần hoàn với chu kì π.

– Hàm số lẻn, có đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ O.

– Hàm số đồng biến trên các khoảng ($\left(-\frac{\pi }{2}+k\pi ;\frac{\pi }{2}+k\pi \right)\left(k\in \mathbb{Z}\right).$)

Đồ thị của hàm số y = tan x trên  như sau:

Chú ý:

• Vì y = tan x là hàm số lẻ nên để vẽ đồ thị của nó trên khoảng ($\left(-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}\right),$) ta có thể vẽ trên nửa khoảng [$\left[0;\frac{\pi }{2}\right),$) sau đó lấy đối xứng qua gốc tọa độ.

3.4. Hàm số y = cot x

Hàm số y = cot x có tập xác định là  và có các tính chất sau:

– Hàm số tuần hoàn với chu kì π.

– Hàm số lẻn, có đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ O.

– Hàm số nghịch biến trên các khoảng ($\left(k\pi ;\pi +k\pi \right)\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em})(}\left(k\in \mathbb{Z}\right).$)

Đồ thị của hàm số y = cot x trên  như sau:

Video bài giảng Toán 11 Bài 3: Hàm số lượng giác – Kết nối tri thức