Phương pháp giải về Phương pháp quy nạp toán học 2023 (lý thuyết và bài tập)

Tài liệu Lý thuyết, bài tập về Phương pháp quy nạp toán học gồm các nội dung sau:

A. LÝ THUYẾT CƠ BẢN

Bài toán

Gọi $P\left(n\right)$ là một mệnh đề chứa biến $n\left(n\in N^{\ast }\right)$. Chứng minh $P\left(n\right)$ đúng với mọi số tự nhiên $n\in N^{\ast }$.

Phương pháp quy nạp toán học

– Bước 1: Chứng minh $P\left(n\right)$ đúng với $n=1$.

– Bước 2: Với $k$ là một số nguyên dương tùy ý, giả sử $P\left(n\right)$ đúng với $n=k\ge 1$, chứng minh $P\left(n\right)$ cũng đúng khi $n=k+1$.

Chú ý:

Đối với bài toán chứng minh $P\left(n\right)$ đúng với mọi $n\ge p$ với $p$ là số tự nhiên cho trước thì:

– Bước 1: Chứng minh $P\left(n\right)$ đúng với $n=p$.

– Bước 2: Với $k\ge p$ là một số nguyên dương tùy ý, giả sử $P\left(n\right)$ đúng với $n=k$, chứng minh $P\left(n\right)$ cũng đúng khi $n=k+1$.

Ví dụ: Chứng minh $n^7-n$ chia hết cho $7$ với mọi $n\in N^{\ast }$.

Giải:

Đặt $P\left(n\right)=n^7-n$.

– Với $n=1$ thì $P\left(1\right)=1^7-1=0⋮7$ nên $P\left(1\right)$ đúng.

– Giả sử mệnh đề đúng với $n=k\in N^{\ast }$, tức là $P\left(k\right)=\left(k^7-k\right)⋮7$.

Ta phải chứng minh mệnh đề đúng với $n=k+1$, tức là: $P\left(k+1\right)={\left(k+1\right)}^7-\left(k+1\right)⋮7$

Ta có: ${\left(k+1\right)}^7-\left(k+1\right)$ $=C_7^0.k^7+C_7^1.k^6+C_7^2.k^5+C_7^3.k^4$ $+C_7^4.k^3+C_7^5.k^2+C_7^6.k+C_7^7-\left(k+1\right)$

$=k^7+7k^6+21k^5+35k^4+35k^3$ $+21k^2+7k+1-k-1$ $=\left(k^7-k\right)+7\left(k^6+3k^5+5k^4+5k^3+3k^2+k\right)$

 

Do $(k^7-k)⋮7$ và $7\left(k^6+3k^5+5k^4+5k^3+3k^2+k\right)⋮7$ nên $P\left(k+1\right)={\left(k+1\right)}^7-\left(k+1\right)⋮7$.

Vậy mệnh đề đã cho đúng.

B. BÀI TẬP

Bài tập trắc nghiệm

Câu 1. Một học sinh chứng minh mệnh đề “8ⁿ + 1 chia hết cho 7, với mọi số tự nhiên n khác 0” (*) như sau:

– Giả sử (1) đúng với n = k, tức là 8^k + 1 chia hết cho 7.

– Ta có: 8^{k + 1} + 1 = 8(8^k + 1) – 7, kết hợp với giả thiết 8^k + 1 chia hết cho 7 nên suy ra được 8^{k + 1} + 1 chia hết cho 7. Vậy đẳng thức (1) đúng với mọi $n\in {\mathbb{N}}^{*}.$

Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Học sinh trên chứng minh đúng.

B. Học sinh chứng minh sai vì không có giả thiết qui nạp.

C. Học sinh chứng minh sai vì không dùng giả thiết qui nạp.

D. Học sinh không kiểm tra bước 1 (bước cơ sở) của phương pháp qui nạp.

Câu 2. Cho $S_n=\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+\mathrm{\dots }+\frac{1}{n.\left(n+1\right)}$ với $n\in {\mathbb{N}}^{*}.$ Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. $S_n=\frac{n-1}{n}.$

B. $S_n=\frac{n}{n+1}.$

C. $S_n=\frac{n+1}{n+2}.$

D. $S_n=\frac{n+2}{n+3}.$

Câu 3. Cho $S_n=\frac{1}{1.3}+\frac{1}{3.5}+\mathrm{\dots }+\frac{1}{\left(2n-1\right).\left(2n+1\right)}$ với $n\in {\mathbb{N}}^{*}.$Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. $S_n=\frac{n-1}{2n-1}.$

B. $S_n=\frac{n}{2n+1}.$

C. $S_n=\frac{n}{3n-2}.$

D. $S_n=\frac{n+2}{2n+5}.$

Câu 4. Với mọi $n\in {\mathbb{N}}^{*}.$, hệ thức nào sau đây là sai?

A. $1+2+\mathrm{\dots }+n=\frac{n\left(n+1\right)}{2}$

B. $1+3+5+\mathrm{\dots }+\left(2n-1\right)=n^2$

C. $1^2+2^2+\mathrm{\dots }+n^2=\frac{n\left(n+1\right)\left(2n+1\right)}{6}$

D. $2^2+4^2+6^2+\cdots +{\left(2n\right)}^2=\frac{2n\left(n+1\right)\left(2n+1\right)}{6}$

Câu 5. Cho $P_n=\left(1-\frac{1}{2^2}\right)\left(1-\frac{1}{3^2}\right)\mathrm{\dots }\left(1-\frac{1}{n^2}\right)$ với $n\ge 2$ và $n\in \mathbb{N}.$ Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. $P=\frac{n+1}{n+2}.$

B. $P=\frac{n-1}{2n}.$

C. $P=\frac{n+1}{n}.$

D. $P=\frac{n+1}{2n}.$

Đáp án

1	2	3	4	5
D	B	B	D	D

Bài tập tự luận

Câu 6. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, ta có:

$1.2+2.3+3.4+\cdot \cdot \cdot +n(n+1)=\frac{n(n+1)(n+2)}{3}$

Câu 7. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, ta có:

1.2 + 2.5 + 3.8 + …+ n(3n – 1) = n²(n+1).

Câu 8. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, ta có:

$2^2+4^2+6^2+\cdot \cdot \cdot +{\left(2n\right)}^2=\frac{2n\left(n+1\right)\left(2n+1\right)}{3}$

Câu 9. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương $n\ge 2$, ta có:

$\left(1-\frac{1}{4}\right)\left(1-\frac{1}{9}\right)\left(1-\frac{1}{16}\right)\mathrm{\dots }\left(1-\frac{1}{n^2}\right)=\frac{n+1}{2n}$

Câu 10. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, ta có:

$1^3+2^3+3^3+\cdot \cdot \cdot +n^3=\frac{n^2{\left(n+1\right)}^2}{4}$.

Câu 11. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương $n\ge 5$, ta có: 2ⁿ > n²_.

Câu 12. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương $n\ge 3$, ta có: 2ⁿ > 2n +1.

Câu 13. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương $n\ge 4$, ta có: 3^n-1 > n(n +2).

Câu 14. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n thì n³ + 11n chia hết cho 6.

Câu 15. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n thì 4ⁿ + 15n – 1 chia hết cho 9.

Xem thêm