Mời các quý thầy cô và các em học sinh cùng tham khảo và tải về chi tiết tài liệu dưới đây
Vectơ trong không gian, quan hệ vuông góc – bản 2
CHỦ ĐỀ 8. VÉCTƠ TRONG KHÔNG GIAN QUAN HỆ VUÔNG GÓC
Vấn đề 1. Véctơ trong không gian
I. Véctơ trong không gian
1. Véctơ, giá và độ dài của véctơ.
Véctơ trong không gian là một đoạn thẳng có hướng. Kí hiệu \[\overrightarrow {AB} \] chỉ véctơ có điểm đầu A, điểm cuối B. Véctơ còn được kí hiệu \[\overrightarrow a ,\overrightarrow b ,\overrightarrow c \], …
Giá của véctơ là đường thẳng đi qua điểm đầu và điểm cuối của véctơ đó. Hai véctơ được gọi là cùng phương nếu giá của chúng song song hoặc trùng nhau. Ngược lại, hai véctơ có giá cắt nhau được gọi là hai véctơ không cùng phương. Hai véctơ cùng phương thì có thể cùng hướng hoặc ngược hướng.
Độ dài của véctơ là độ dài của đoạn thẳng có hai đầu mút là điểm đầu và điểm cuối của véctơ. Véctơ có độ dài bằng 1 gọi là véctơ đơn vị. Kí hiệu độ dài véctơ \[\overrightarrow {AB} \] là \[\left| {\overrightarrow {AB} } \right|\]
Như vậy: \[\left| {\overrightarrow {AB} } \right| = AB = BA\].
2. Hai véctơ bằng nhau, đối nhau. Cho hai véctơ \[\overrightarrow a ,\overrightarrow b \] \[( \ne \overrightarrow 0 )\]
Hai véctơ \[\overrightarrow a \] và \[\overrightarrow b \] được gọi là bằng nhau nếu chúng có cùng hướng và cùng độ dài.
Kí hiệu \[\overrightarrow a = \overrightarrow b \] và \[\overrightarrow a = \overrightarrow b \]\[ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\overrightarrow a cunghuong\overrightarrow b }\\{\left| {\overrightarrow a } \right| = \left| {\overrightarrow b } \right|}\end{array}} \right.\]
Hai véctơ \[\overrightarrow a \] và \[\overrightarrow b \] được gọi là đối nhau nếu chúng ngược hướng và cùng độ dài.
Kí hiệu \[\overrightarrow a = – \overrightarrow b \] và \[\overrightarrow a = \overrightarrow b \]\[ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\overrightarrow a cunghuong\overrightarrow b }\\{\left| {\overrightarrow a } \right| = \left| {\overrightarrow b } \right|}\end{array}} \right.\]
3. Véctơ – không.
Véctơ – không là véctơ có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau.
Kí hiệu: \[\overrightarrow 0 ,\overrightarrow {AA} = \overrightarrow {BB} = \overrightarrow {CC} = … = \overrightarrow 0 \].
Véctơ – không có phương, hướng tùy ý, có độ dài bằng không.
Véctơ – không cùng phương, cùng hướng với mọi véctơ.
II. Phép cộng và phép trừ véctơ
1. Định nghĩa 1.
Cho \[\overrightarrow a \] và \[\overrightarrow b \]. Trong không gian lấy một điểm A tùy ý, dựng \[\overrightarrow {AB} = \overrightarrow a ,\overrightarrow {BC} = \overrightarrow b \]. Véctơ \[\overrightarrow {AC} \] được gọi là tổng của hai véctơ \[\overrightarrow a \] và \[\overrightarrow b \] và được kí hiệu \[\overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} = \overrightarrow a + \overrightarrow b \]
2. Tính chất 1.
Tính chất giao hoán: \[\overrightarrow a + \overrightarrow b = \overrightarrow b + \overrightarrow a \]
Tính chất kết hợp: \[\left( {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right) + \overrightarrow c = \overrightarrow a + \left( {\overrightarrow b + \overrightarrow c } \right)\]
Cộng với 0 : \[\overrightarrow a + \overrightarrow 0 = \overrightarrow 0 + \overrightarrow a = \overrightarrow a \]
Cộng với véctơ đối: \[\overrightarrow a + ( – \overrightarrow a ) = – \overrightarrow a + \overrightarrow a = \overrightarrow 0 \]
3. Các qui tắc.
Qui tắc ba điểm: Với ba điểm A, B, C bất kì ta có: \[\overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} \]
Mở rộng: Qui tắc đa giác khép kín
Cho n điểm bất kì A1, A2, A3, …, An-1, An.
Ta có: \[\overrightarrow {{A_1}{A_2}} + \overrightarrow {{A_2}{A_3}} + … + \overrightarrow {{A_{n – 1}}{A_n}} = \overrightarrow {{A_1}{A_n}} \]
Qui tắc trừ (ba điểm cho phép trừ): Với ba điểm A, B, C bất kì ta có: \[\overrightarrow {AC} = \overrightarrow {BC} – \overrightarrow {BA} \]
Qui tắc hình bình hành: Với hình bình hành ABCD ta có: \[\overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} \] và \[\overrightarrow {DB} = \overrightarrow {AB} – \overrightarrow {AD} \]
Qui tắc hình hộp.
Cho hình hộp ABCD.A′B′C′D′ với AB, AD, AA′ là ba cạnh có chung đỉnh A và AC′ là đường chéo, ta có: \[\overrightarrow {AC’} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AA’} \]
III. Phép nhân một số với một véctơ
1. Định nghĩa 2.
Cho k ≠ 0 và véctơ \[\overrightarrow a \ne \overrightarrow 0 \]. Tích \[k\overrightarrow a \] là một véctơ:
Cùng hướng với \[\overrightarrow a \] nếu k > 0
Ngược hướng với \[\overrightarrow a \] nếu k < 0
2. Tính chất 2.
Với \[\overrightarrow a ,\overrightarrow b \] bất kì: m, n ∈ R, ta có:
\[m\left( {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right) = m\overrightarrow a + m\overrightarrow b \]
\[m(n\overrightarrow a ) = (mn)\overrightarrow a \]
\[(m + n)\overrightarrow a = m\overrightarrow a + n\overrightarrow a \]
\[1.\overrightarrow a = \overrightarrow a \], \[( – 1).\overrightarrow a = – \overrightarrow a \]
\[0.\overrightarrow a = \overrightarrow 0 \]; \[k.\overrightarrow 0 = \overrightarrow 0 \]
3. Điều kiện để hai véctơ cùng phương.
Cho hai véctơ \[\overrightarrow a \] và \[\overrightarrow b \] ( ≠ \[\overrightarrow 0 \]), k ≠ 0 : \[\overrightarrow a \] cùng phương \[\overrightarrow b \]⇔ \[\overrightarrow a = k.\overrightarrow b \]
Hệ quả: điều kiện để ba điểm A, B, C thẳng hàng là \[\overrightarrow {AB} = k.\overrightarrow {AC} \]
4. Một số tính chất.
Tính chất trung điểm
Cho đoạn thẳng AB có I là trung điểm, ta có:
\[\overrightarrow {IB} + \overrightarrow {IB} = \overrightarrow 0 \]; \[\overrightarrow {IA} = – \overrightarrow {IB} \]; \[\overrightarrow {AI} = \overrightarrow {IB} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} \];
\[\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} = 2\overrightarrow {MI} \]( M bất kì)
Tính chất trọng tâm.
Cho ∆ABC, G là trọng tâm, ta có:
\[\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = \overrightarrow 0 \];
\[\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} = 3\overrightarrow {MG} \] ( M bất kì)
Tính chất hình bình hành.
Cho hình bình hành ABCD tâm O, ta có:
\[\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OD} = \overrightarrow 0 \]
\[\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} + \overrightarrow {MD} = 4\overrightarrow {MO} \]
IV. Điều kiện để ba véctơ đồng phẳng
1. Khái niện về sự đồng phẳng của ba véctơ trong không gian.
Cho ba véctơ \[\overrightarrow a ,\overrightarrow b ,\overrightarrow c ( \ne \overrightarrow 0 )\]trong không gian. Từ một điểm O bất kì ta dựng \[\overrightarrow {OA} = \overrightarrow a \], \[\overrightarrow {OB} = \overrightarrow b \], \[\overrightarrow {OC} = \overrightarrow c \]. Khi đó xảy ra hai trường hợp:
Các đường thẳng OA, OB, OC không cùng nằm trong một mặt phẳng thì ta nói ba véctơ \[\overrightarrow a ,\overrightarrow b ,\overrightarrow c \] không đồng phẳng.
Các đường thẳng OA, OB, OC cùng nằm trong một mặt phẳng thì ta nói ba véctơ \[\overrightarrow a ,\overrightarrow b ,\overrightarrow c \] đồng phẳng.
2. Định nghĩa 3. Ba véctơ gọi là đồng phẳng nếu các giá của chúng cùng song song với một mặt phẳng.
Trên hình bên, giá của các véctơ \[\overrightarrow a ,\overrightarrow b ,\overrightarrow c \] cùng song song với mặt phẳng (α) nên ba véctơ \[\overrightarrow a ,\overrightarrow b ,\overrightarrow c \] đồng phẳng.
3. Điều kiện để ba véctơ đồng phẳng
Định lí 1. Cho ba véctơ \[\overrightarrow a ,\overrightarrow b ,\overrightarrow c \] trong đó \[\overrightarrow a \] và \[\overrightarrow b \] không cùng phương. Điều kiện cần và đủ để ba véctơ \[\overrightarrow a ,\overrightarrow b ,\overrightarrow c \] đồng phẳng là có duy nhất các số m, n sao cho \[\overrightarrow c = m\overrightarrow a + n\overrightarrow b \].
4. Phân tích một véctơ theo ba véctơ không đồng phẳng
Định lí 2. Nếu ba véctơ \[\overrightarrow a ,\overrightarrow b ,\overrightarrow c \] không đồng phẳng thì với mỗi véctơ \[\overrightarrow d \], ta tìm được duy nhất các số m, n, p sao cho \[\overrightarrow d = m\overrightarrow a + n\overrightarrow b + p\overrightarrow c \].
Dạng 1. Tính toán véctơ
A. Phương pháp giải
1. Quy tắc ba điểm:
\[\;\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CB} \;\] (quy tắc cộng)
\[\;\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {CB} – \overrightarrow {CA} \;\] (quy tắc trừ)
2. Quy tắc hình bình hành: Với hình bình hành ABCD ta luôn có:
\[\;\overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} \;\]
3. Quy tắc hình hộp: Cho hình hộp ABCD.A′B′C′D′, ta được:
\[\;\overrightarrow {AC’} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} \; + \overrightarrow {AA’} \]
4. Quy tắc trung điểm: Cho I là trung điểm AB, M là điểm bất kỳ:
\[\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} = \overrightarrow 0 \] và
\[\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} = 2\overrightarrow {MI} \]
5. Tính chất trọng tâm của tam giác: G là trọng tâm ∆ABC , ∀M ta có:
\[\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = \overrightarrow 0 \] và \[\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} = 3\overrightarrow {MG} \]
6. Tính chất trọng tâm của tứ diện: G là trọng tâm tứ diện ABCD :
\[\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GD} = \overrightarrow 0 \] và
∀M ta có: \[\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} + \overrightarrow {MD} = 4\overrightarrow {MG} \]
7. Ba véctơ gọi là đồng phẳng khi các giá của chúng cùng song song với một mặt phẳng.
8. Nếu ba véctơ \[\overrightarrow a ,\overrightarrow b ,\overrightarrow c \] không đồng phẳng thì với mỗi véctơ \[\overrightarrow d \] đều có thể viết dưới dạng \[\overrightarrow d = m\overrightarrow a + n\overrightarrow b + p\overrightarrow c \]với m, n, p duy nhất.
Chú ý:
Để biểu diễn một véctơ trong hệ cơ sở ta thường đưa về gốc để tính, chẳng hạn véctơ \[\overrightarrow {MN} \] và gốc O cho trước \[\overrightarrow {OM} ,\overrightarrow {ON} \] theo hệ cơ sở thuận lợi, từ đó ta có: \[\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {ON} – \overrightarrow {OM} \]
Để tính đoạn AB ta có thể bình phương vô hướng \[AB = {\overrightarrow {AB} ^2}\] trong hệ cơ sở gồm 3 véctơ đồng phẳng.
Để tính góc giữa hai véctơ \[\overrightarrow u \] và \[\overrightarrow v \] ta có thể tính \[\left| {\overrightarrow u } \right|,\left| {\overrightarrow v } \right|\] và \[\overrightarrow u .\overrightarrow v \]
\[ \Rightarrow \cos \left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right) = \frac{{\overrightarrow u .\overrightarrow v }}{{\left| {\overrightarrow u } \right|.\left| {\overrightarrow v } \right|}}\]
B. Bài tập mẫu
Ví dụ 1. Cho hình hộp ABCD. A′B′C′D′. Đặt \[\;\overrightarrow {AB} = \overrightarrow a ,\overrightarrow {AD} \; = \overrightarrow b ,\overrightarrow {AA’} = \overrightarrow c \]. Hãy phân tích các véctơ \[\overrightarrow {AC’} ,\overrightarrow {BD’} ,\overrightarrow {DB’} ,\overrightarrow {BC’} \]và \[\overrightarrow {AD’} \] theo ba véctơ \[\overrightarrow a ,\overrightarrow b ,\overrightarrow c \].
Ví dụ 2. Cho hình lăng trụ ABC. A′B′C′. Đặt \[\overrightarrow {AA’} = \overrightarrow a \], \[\overrightarrow {AB} = \overrightarrow b ,\overrightarrow {AC} \; = \overrightarrow c \]
a) Hãy phân tích các véctơ \[\overrightarrow {B’C} ,\overrightarrow {BC’} \] theo ba véctơ \[\overrightarrow a ,\overrightarrow b ,\overrightarrow c \].
b) Gọi G′ là trọng tâm tam giác A′B′C′. Biểu thị véctơ \[\overrightarrow {AG’} \] qua ba véctơ \[\overrightarrow a ,\overrightarrow b ,\overrightarrow c \]
Ví dụ 3. Cho hình tứ diện ABCD. Gọi A′, B′, C′, D′ lần lượt là trọng tâm của các tam giác BCD, CDA, DAB, ABC. Đặt \[\overrightarrow {AA’} = \overrightarrow a \], \[\overrightarrow {BB’} = \overrightarrow b ,\overrightarrow {CC’} \; = \overrightarrow c \]. Hãy phân tích các véctơ \[\overrightarrow {DD’} ,\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {CD} ,\overrightarrow {DA} \] theo ba véctơ \[\overrightarrow a ,\overrightarrow b ,\overrightarrow c \].
Ví dụ 4. Cho hình tứ diện ABCD có AB = c, CD = c′, AC = b, BD = b′ , BC = a, AD = a′. Tính cosin góc giữa các véctơ \[\overrightarrow {BC} \] và \[\overrightarrow {DA} \].
Ví dụ 5. Cho hình chóp tam giác S.ABC có cạnh \[BC = a\sqrt 2 \] và các cạnh còn lại đều bằng a . Tính cosin góc giữa các véctơ \[\overrightarrow {AB} \] và \[\overrightarrow {SC} \].
Xem thêm