[Năm 2022] Bộ 10 Đề thi Giữa kì 1 Toán lớp 11 có đáp án

[Năm 2022] Đề thi Giữa kì 1 Toán lớp 11 có đáp án (10 đề) – Đề 1

Phòng Giáo dục và Đào tạo …..

Đề thi Giữa Học kì 1

Năm học 2022 – 2023

Bài thi môn: Toán lớp 11

Thời gian làm bài: 60 phút

(không kể thời gian phát đề)

(Đề số 1)

Câu 1. (1 điểm). Tìm tập xác định của hàm số .

Câu 2. (3 điểm). Giải các phương trình sau:

Câu 3. (3 điểm). Cho đường thẳng d: 2x+y-4=0 và A(1;-4).

a)     Viết phương trình đường thẳng d’ là ảnh của đường thẳng d qua phép tịnh tiến theo véctơ .

b)    Tìm tọa độ của điểm A’ là ảnh của điểm A qua phép vị tự  tâm O tỉ số -2

Câu 4. (2 điểm). Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4.

a)     Có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau?

b)    Có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm 3 chữ số khác nhau từ các số trên?

Câu 5.(1 điểm). Cho đường tròn (C) :  .

Viết phương trình đường tròn (C’) là ảnh của (C) qua phép quay tâm O góc quay .

 

 

—————————–Hết————————-.

HƯỚNG DẪN CHẤM

ĐỀ KIỂM TRA GIỮA KỲ I

 

Câu		Nội dung	Điểm
1 (1đ)		Điều kiện  Vậy TXĐ :	0.5 0.5
2 (3đ)	a 1đ	Điều kiện  Ta có  Vậy phương trình có nghiêm:	0.25         0.5   0.25
	b 1đ	Ta có  Vậy phương trình có nghiệm	0.25       0.5     0.25
	c 1đ	Vậy phương trình có nghiệm là	0.25     0.5   0.25
3	a 1.5đ	Ta có . Do đó phương trình của d’ có dạng : 2x+3y+c=0 + Lấy  + Gọi  Vì  Vậy phương trình đường thẳng d’ là : 2x+3y-5=0	0.25     0.5         0.25
	b	Ta có  Vậy ảnh của A qua là	0.5   0.25   0.25
4	a 1đ	Giả sử số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau cần lập là . Do  nên a có 4 cách chọn. Bộ bốn số b, c, d, e được thành lập bằng cách hoán vị 4 chữ số còn lại sau khi đã chọn a. Theo quy tắc nhân, số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau cần lập là: 4.4! = 96 (số)	0.25 0.5   0.25
	b   1đ	Giả sử số tự nhiên chẵn gồm 3 chữ số khác nhau cần lập là . Các trường hợp xảy ra là: + Nếu c = 0 mỗi cách chọn cặp số a, b là chỉnh hợp chập 2 của tập {1, 2, 3, 4}. Vậy có  (số) + Nếu  thì c có 2 cách chọn ( c = 2 hoặc c = 4 ) Vì  nên a có 3 cách chọn sau khi đã chọn c. Chọn b có 3 cách chọn sau khi đã chọn a và c. Ta sẽ có : 2.3.3 = 18 (số) Theo quy tắc cộng, số tự nhiên chẵn gồm 3 chữ số khác nhau cần lập là : 12 + 18 = 30 (số)	0.25   0.25     0.25 0.25
5	1đ	Đường tròn (C) có tâm là  Gọi  Đường tròn (C’) có tâm nên có phương trình là  Vậy phương trình đường tròn (C’) là	0.25 0.25   0.25   0.25

[Năm 2022] Đề thi Giữa kì 1 Toán lớp 11 có đáp án (10 đề) – Đề 2

Phòng Giáo dục và Đào tạo …..

Đề thi Giữa Học kì 1

Năm học 2022 – 2023

Bài thi môn: Toán lớp 11

Thời gian làm bài: 60 phút

(không kể thời gian phát đề)

(Đề số 2)

I. PHẦN TRẮC NGHIỆM

Câu 1. Tập xác định của hàm số $y=\frac{1-3\sin x}{\cos x}$ là

A. $x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi$. 

B. $x\ne k2\pi$.   

C. $x\ne \frac{k\pi }{2}$.

D. $x\ne k\pi$

Câu 2. Mệnh đề nào sau đây sai?

A. Hàm số $y=\sin x$ có chu kỳ $2\pi$. 

B. Hàm số $y=\cos x$ có chu kỳ $2\pi$.

C. Hàm số $y=\cot x$ có chu kỳ $2\pi$.  

D. Hàm số $y=\tan x$ có chu kỳ $2\pi$.

Câu 3. Cho hình bình hành ABCD. Phép tịnh tiến $T_{\overrightarrow{DA}}$ biến:

A. B thành C.           B. C thành A. 

C. C thành B.         D. A thành D

Câu 4. Nghiệm của phương trình $\cos x=\frac{\sqrt{3}}{2}$ là

A. $x=\pm \frac{\pi }{6}+k2\pi$  

B. $x=\pm \frac{\pi }{3}+k2\pi$   

C. $x=\frac{\pi }{6}+k2\pi$    

D. $x=\frac{\pi }{3}+k2\pi$

Câu 5. Phương trình $\sin 2x=m$ có nghiệm nếu

A. $-1\le m\le 1$   

B. $-2\le m\le 2$  

C. $0\le m\le 1$    

D. $-1<m<1$

Câu 6. Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm $M\left(4;2\right)$. Tọa độ ảnh của M qua phép quay tâm O góc quay ${90}^0$ là

A. $\left(2;-4\right)$.  

B. $\left(-2;-4\right)$. 

C. $\left(-2;4\right)$.    

D. $\left(2;4\right)$

Câu 7. Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm $M\left(-4;2\right)$. Tìm tọa độ ảnh của M qua phép tịnh tiến theo vectơ $\overrightarrow{v}=\left(1;2\right)$.

A. $\left(-5;0\right)$.    

B. $\left(5;0\right)$.     

C. $\left(-3;4\right)$.  

D. $\left(-3;-4\right)$

Câu 8. Tìm chu kì T của hàm số $y=\sin \left(5x-\frac{\pi }{4}\right).$

A. $T=\frac{2\pi }{5}$   

 B. $T=\frac{\pi }{5}$     

C. $T=10\pi$     

D. $T=5\pi$

Câu 9. Nghiệm của phương trình $\cot (2x-\frac{\pi }{6})-\sqrt{3}=0$ là:

A. $x=-\frac{\pi }{12}+k\frac{\pi }{2},k\in Z$.       

B. $x=-\frac{\pi }{3}+k\pi ,k\in Z$.

C. $x=\frac{\pi }{6}+k\pi ,k\in Z$.        

D. $x=\frac{\pi }{6}+k\frac{\pi }{2},k\in Z$

Câu 10. Nghiệm của phương trình $2\sin x-\sqrt{3}=0$ là:

A. $x=\frac{\pi }{3}+k2\pi$ và $x=\frac{2\pi }{3}+k2\pi$.    

B. $x=\frac{\pi }{3}+k\pi$ và $x=\frac{\pi }{3}+k2\pi$.

C. $x=\frac{\pi }{6}+k2\pi$ và $x=\frac{5\pi }{6}+k2\pi$.  

D. $x=\frac{\pi }{6}+k\pi$ và $x=\frac{5\pi }{6}+k\pi$.

Câu 11. Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn $\left(C\right):{\left(x-1\right)}^2+{\left(y-4\right)}^2=9$. Viết phương trình đường tròn là ảnh của đường tròn $\left(C\right)$ qua phép tịnh tiến theo vectơ $\overrightarrow{v}=\left(-3;-1\right)$.

A. ${\left(x-4\right)}^2+{\left(y-5\right)}^2=9$.    

B. ${\left(x+2\right)}^2+{\left(y-3\right)}^2=9$.

C. ${\left(x+4\right)}^2+{\left(y+5\right)}^2=9$.    

D. ${\left(x-2\right)}^2+{\left(y-3\right)}^2=9$

Câu 12. Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số $y=3\sin 2x-5$ lần lượt là:

A. $-8v\text{à\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}-2$.   

B. $2v\text{à\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}8$. 

C. $-5v\text{à\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}2$.     

D. $-5v\text{à\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}3$.

Câu 13. Điều kiện để phương trình $m.\sin x-3\cos x=5$ có nghiệm là:

A. $\left[\begin{array}{l}m\le -4\\ m\ge 4\end{array}\right.$.    

B. $-4\le m\le 4$. 

C. $m\ge \sqrt{34}$.    

D. $m\ge 4$

Câu 15. Nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình $\left(2\sin x-\cos x\right)\left(1+\cos x\right)={\sin }^{2}x$ là

A. $x=\frac{5\pi }{6}$.    

B. $x=\frac{\pi }{6}$.   

C. $x=\pi$.  

D. $x=\frac{\pi }{12}$.

Câu 16. Hàm số nào sau đây là hàm số chẵn?

A. $y=\tan 3x.\cos x$.      

B. $y={\sin }^{2}x+\sin x$.

C. $y={\sin }^{2}x+\cos x$.   

D. $y=\sin x$

II. PHẦN TỰ LUẬN

Bài 1.

a. Tìm tập xác định của hàm số $y=\frac{2+5\cos x}{\sin x}$

b. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=\sin x+\cos x$

Bài 2. Giải các phương trình lượng giác sau

a. $2\sin x-\sqrt{3}=0$

b. $2{\sin }^{2}x+3\sin x\cos x-3{\cos }^{2}x=1$

Bài 3. Cho vec-tơ $\overrightarrow{v}=\left(3;-1\right)$.

a. Tìm ảnh của điểm $M\left(4;5\right)$ qua phép tịnh tiến vec-tơ $\overrightarrow{v}$.

b. Tìm ảnh của đường thẳng $d:2x-3y+7=0$ qua phép tịnh tiến vec-tơ $\overrightarrow{v}$.

Bài 4. Giải phương trình lượng giác

$\frac{\left(1-2\sin x\right)\cos x}{\left(1+2\sin x\right)\left(1-\sin x\right)}=\sqrt{3}$ 

 

HƯỚNG DẪN ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM

A. Phần trắc nghiệm

Mỗi câu trả lời đúng được 0,2 điểm

1A	2C	3C	4A	5A
6C	7C	8A	9D	10A
11B	12A	13A	14B	15C

B. Phần tự luận

Câu 1	a) $y=\frac{2+5\cos x}{\sin x}$ TXĐ: $x\ne k\pi$	0,75đ
	b) $y=\sin x+\cos x$ $=\sqrt{2}\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)$ $\Rightarrow -\sqrt{2}\le y\le \sqrt{2}$ Vậy $\max y=\sqrt{2}$ khi $\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)=1$  $\min y=-\sqrt{2}$ khi $\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)=-1$	0,25đ     0,25đ     0,25đ
Câu 2	a) $\begin{array}{l}2\sin x-\sqrt{3}=0\\ \iff \sin x=\frac{\sqrt{3}}{2}=\sin \frac{\pi }{3}\\ \iff \left[\begin{array}{c}x=\frac{\pi }{3}+k2\pi \\ x=\frac{2\pi }{3}+k2\pi \end{array}\right.\end{array}$	0,5đ     0,5đ
	b) $2{\sin }^{2}x+3\sin x\cos x-3{\cos }^{2}x=1$ (1) TH1:$\cos x=0$ : $\left(1\right)\iff 2=1$: vô lí TH2:$\cos x\ne 0$ : $\begin{array}{l}\left(1\right)\iff 2{\tan }^{2}x+3\tan x-3=1+{\tan }^{2}x\\ \iff {\tan }^{2}x+3\tan x-4=0\end{array}$ $\iff \left[\begin{array}{c}\tan x=1\\ \tan x=-4\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{c}x=\frac{\pi }{4}+k\pi \\ x=\text{arctan(}-4)+k\pi \end{array}\right.$	0,25đ     0,25đ 0,25đ   0,25đ
Câu 3	a) $\begin{array}{l}{M}^{‘}\left(x^{‘};y^{‘}\right)=T_{\overrightarrow{v}}\left(M\right)\\ \iff \overrightarrow{M{M}^{‘}}=\overrightarrow{v}\\ \iff \left[\begin{array}{c}{x}^{‘}-4=3\\ y^{‘}-5=-1\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{c}{x}^{‘}=7\\ y^{‘}=4\end{array}\right.\\ \Rightarrow M^{‘}\left(7;4\right)\end{array}$	0,25đ     0,5đ 0,25đ
	b) $d:2x-3y+7=0$ Chọn $A\left(-2;1\right)\in d$ và $A^{‘}\left(x^{‘};y^{‘}\right)=T_{\overrightarrow{v}}\left(A\right)$ $\begin{array}{l}\iff \overrightarrow{A{A}^{‘}}=\overrightarrow{v}\\ \iff \left[\begin{array}{c}{x}^{‘}+2=3\\ y^{‘}-1=-1\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{c}{x}^{‘}=1\\ y^{‘}=0\end{array}\right.\iff A^{‘}\left(1;0\right)\end{array}$ Gọi $d^{‘}:2x-3y+c=0$ song song với d Vì $A^{‘}\left(1;0\right)\in d^{‘}$ nên $c=-2$ Vậy $d^{‘}:2x-3y-2=0$	0,25đ   0,5đ   0,25đ     0,5đ
Câu 4	$\frac{\left(1-2\sin x\right)\cos x}{\left(1+2\sin x\right)\left(1-\sin x\right)}=\sqrt{3}$ ĐK: $\left\{\begin{array}{l}\sin x\ne -\frac{1}{2}\\ \sin \ne 1\end{array}\right.$ PT $\iff \left(1-2\sin x\right)\cos x=\sqrt{3}\left(1+2\sin x\right)\left(1-\sin x\right)$ $\iff \cos x-\sqrt{3}\sin x=\sin 2x+\sqrt{3}\cos 2x$ $\iff \cos \left(x+\frac{\pi }{3}\right)=\cos \left(2x-\frac{\pi }{6}\right)$ $x=\frac{\pi }{2}+k2\pi$ hoặc $x=-\frac{\pi }{18}+k\frac{2\pi }{3}$ So sánh điều kiện ta được nghiệm $x=-\frac{\pi }{18}+k\frac{2\pi }{3}$	0,25đ   0,25đ     0,25đ         0,25đ

[Năm 2022] Đề thi Giữa kì 1 Toán lớp 11 có đáp án (10 đề) – Đề 3

Phòng Giáo dục và Đào tạo …..

Đề thi Giữa Học kì 1

Năm học 2022 – 2023

Bài thi môn: Toán lớp 11

Thời gian làm bài: 60 phút

(không kể thời gian phát đề)

(Đề số 3)

Câu 1: Điều kiện xác định của hàm số y = cotx là

Câu 2: Tập xác định của hàm số  là

Câu 3: Số nghiệm thuộc khoảng  của phương trình (2sinx + 1)(cos2x + 2sin2x – 10) = 0 là 

A. 2.                      B. 4.                     

C. 3.                      D. 5.

Câu 4: Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau:

Câu 5: Trên đường tròn lượng giác, tập nghiệm của phương trình cos2x + 3sinx – 2 = 0 được biểu diễn bởi bao nhiêu điểm ? 

A. 1.                       B. 4.                     

C.  2.                      D. 3.

Câu 6: Phương trình 2 cos²x + sinx = 2 có bao nhiêu nghiệm trên 

A. 9.                        B. 8.                     

C. 7.                        D. 6.

Câu 7: Tập xác định của hàm số   là

Câu 8: Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số y = 3sin2x – 5 lần lượt là 

A. -5 và 2                 B. -8 và -2           

C. 2 và 8                  D. -5 và 3

Câu 9: Tập giá trị T của hàm số y = sin2x là

A. T = [ -1;1]              B. T = [ 0;1]         

C. T = ( -1;1)              D. T = [ -2;2] 

Câu 10: Giải phương trình 

Câu 11: Phương trình cos2x = 1 có nghiệm là

Câu 12: Có bao nhiêu điểm phân biệt biểu diễn các nghiệm của phương trình  trên đường tròn lượng giác?

A. 2.                        B. 1.                      

C. 3.                        D. 4.

Câu 13: Số giờ có ánh sáng mặt trời của một thành phố A ở vĩ độ 40⁰ bắc trong ngày thứ t của một năm không nhuận được cho bởi hàm số  Vào ngày nào trong năm thì thành phố A có ít giờ có ánh sáng mặt trời nhất?

A. 365.                      B. 353.                     

 C. 235.                     D. 153.

Câu 14: Mực nước của con kênh lên xuống theo thủy triều. Độ cao h (mét) của mực nước trong kênh tính theo thời gian t (giờ) trong một ngày (0 ≤ t < 24) được cho bởi công thức  Vào buổi sáng, mực nước của kênh đạt cao nhất lúc mấy giờ?

A. t = 6(giờ).              B. t = 8 (giờ). 

C. t = 10(giờ).            D. t = 11(giờ).

Câu 15: Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = 3sinx + 4cosx + 5 lần lượt là

A. 5 và -5.                   B. 10 và 0.                     

C. 1 và -1.                   D. 2 và -1.

Câu 16:Giải phương trình ( 2cosx-1)(2sinx + cosx) = sin2x -sinx.

Câu 17: Điểm M(-2;4) là ảnh của điểm nào sau đây qua phép tịnh tiến theo véctơ .

A. P(-3;11)                    B. F(-1;-3)                     

C. E(3;1).                      D. Q(1;3)

Câu 18: Phép quay  biến điểm (M khác O) thành M’ . Chọn khẳng định đúng.

Câu 19: Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn (C): (x + 1)² + (y – 3)² = 4… Phép tịnh tiến theo vectơ  biến đường tròn (C) thành đường tròn có phương trình nào sau đây?

Câu 20: Cho hình chóp như hình vẽ bên dưới Chọn khẳng định sai.

A. 

B. 

C. 

D. 

B. TỰ LUẬN ( 5 điểm) :

1. Tìm Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số y = 2 – 4sinxcosx      ( 1,5 điểm )  

2. Giải phương trình: Sin2x + cos2x + 7sinx – cosx – 4 = 0 (1 điểm)

3. tanx.tan 2x =1 (1đ)

4. Cho hình chóp S.ABC trên cạnh SA, SC lần lượt lấy 2 điểm M, N sao cho SM = 2MA; 2SN = NC. Trong tam giác ABC lấy điểm O. tìm giao điểm của SB với mp(MNO) (1,5 điểm)

ĐÁP ÁN

A. TRẮC NGHIỆM: 

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
C	C	A	A	D	A	A	B	A	C
11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
D	A	B	C	B	A	B	A	C	B

B. TỰ LUẬN ( 5 điểm) :

1. Tìm Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số y = 2 – 4sinx.cosx

Giải

2. Giải phương trình: sin2x + cos2x + 7sinx – cosx – 4 = 0

Giải

3. tanx.tan 2x =1 (1đ)

Giải

Đối chiếu với điều kiện ta được nghiệm của phương trình là: 

 4. Cho hình chóp S.ABC trên cạnh SA, SC lần lượt lấy 2 điểm M, N sao cho SM = 2MA; 2SN = NC. Trong tam giác ABC lấy điểm O. tìm giao điểm của SB với mp(MNO) (1,5 điểm)

Giải

Khi đó K chính là giao điểm cần tìm

[Năm 2022] Đề thi Giữa kì 1 Toán lớp 11 có đáp án (10 đề) – Đề 4

Phòng Giáo dục và Đào tạo …..

Đề thi Giữa Học kì 1

Năm học 2022 – 2023

Bài thi môn: Toán lớp 11

Thời gian làm bài: 60 phút

(không kể thời gian phát đề)

(Đề số 4)

Câu 1: (2 điểm)

a. Tìm tập xác định của hàm số: 

b. Xét tính chẵn lẻ của hàm số: y = 5sin²x + 2cos x

c. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số: y = 2sin2x.cos2x – 3

Câu 2: (2 điểm) Giải các phương trình lượng giác: 

a. 

b. 2sin²x + sinx.cosx – cos²x = 0

c. 2cos²x – 5cosx + 2 = 0

Câu 3: (2 điểm)

a. Một đoàn sinh viên gồm 40 người, trong đó có 25 nam, 15 nữ. Cần chọn ra 3 người để tham gia tổ chức sự kiện trường, biết rằng 3 người được chọn có cả nam và nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn?

b. Từ các số 0, 1, 2, 3, 4, 5 có bao nhiêu cách để lập được số tự nhiên có 4 chữ số chẵn, đôi một khác nhau.

Câu 4: (1,5 điểm) Viết phương trình đường thẳng d’ là ẢNH của d qua phép tịnh tiến theo vectơ  . Biết đường thẳng d có phương trình d: 2x + 3y – 3 = 0

Câu 5: (2,5 điểm) Cho hình chóp S.ABCD. Gọi M, N là hai điểm trên AD và SB, AD cắt BC tại điểm O và ON cắt SC tại P.

a. Xác định giao điểm H của MN và mặt phẳng (SAC)

b. Xác định giao điểm T của DN và mặt phẳng (SAC)

c. Chứng minh A, H, T, P thẳng hàng

HƯỚNG DẪN ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM

Bài 1: 

a. 

Điều kiện xác định của hàm số:

Tập xác định của hàm số: 

b. y = 5sin²x + 2cosx = f(x)

TXĐ: D = R

Lấy  ta có:

Vậy hàm số là hàm số chẵn

c. y = 2sin2x.cos2x – 3 = sin4x – 3

Ta có: 

Câu 2: 

a. 

Kết luận: Vậy phương trình có nghiệm 

b. 2sin²x + sinx.cosx – cos²x = 0

Chia cả hai vế của phương trình cho cos²x

Phương trình trở thành:

Kết luận: Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm

c. 

Kết luận: Vậy phương trình có nghiệm 

Câu 3: 

a. Số cách chọn 3 người từ đoàn sinh viên là:  cách

Số cách chọn 3 người từ đoàn sinh viên nhưng không có nữ là:  cách

Số cách chọn 3 người từ đoàn sinh viên nhưng không có nam là:  cách

Vậy số cách chọn 3 người từ đoàn sinh viên mà có cả nam và nữ là:

 cách

b. Gọi số tự nhiên có 4 chữ số là: 

Do số tự nhiên là số chẵn nên hoặc d = 0 hoặc 

TH1: d = 0

Do các chữ số đôi một khác nhau nên 

d có 1 cách chọn

a có 5 cách chọn

b có 4 cách chọn

c có 3 cách chọn

Vậy với d = 0 thì có 5.4.3.1 = 60 số tự nhiên

TH2: 

b có 4 cách chọn

c có 3 cách chọn

Vậy với  ta có 2.4.4.3 = 96 số tự nhiên

Số tự nhiên lập được là: 96 + 60 = 156 số

Vậy từ dãy số ban đầu ta có thể lập được 156 số tự nhiên có 4 chữ số chẵn dôi một khác nhau

Câu 4: 

Phương trình đường thẳng d’ đi qua A’, B’ là: 2x + 3y = 11

Câu 5:

a. Tìm giao điểm H của mặt phẳng (SAC) và MN

Mặt phẳng (SMN) chứa MN

Tìm giao tuyến của (SMB) và (SAC)

S là điểm chung của 2 mặt phẳng

Trên mặt phẳng (ABCD) gọi 

Trong (SBI) gọi H là giao điểm của MN và SE

b. Giao điểm T của DN và mặt phẳng (SAC)

Mặt phẳng (SBD) chứa DN

Tìm giao tuyến của (SBD) và(SAC)

S là điểmchung của (SBD) và (SAC)

Trên mặt phẳng ABCD gọi 

Trong (SBD) gọi T là giao điểm của DN và SF

c. Chứng minh 4 điểm A, H, T, P thẳng hàng

Gọi O là giao điểm cuat AD và BC

Ta có: A là điểm chung của (SAC) và (ANO)

Vậy H là điểm chung của (SAC) và (ANO)

Ta có: 

Vậy T là điểm chung của (SAC) và (ANO)

Ta lại có: 

Vậy p là điểm chung của (SAC) và (ANO)

Vậy A, H, T, P thẳng hàng