Sách bài tập Toán 12 Bài 1 (Cánh diều): Nguyên hàm

Giải SBT Toán 12 Bài 1: Nguyên hàm

Bài 1 trang 8 SBT Toán 12 Tập 2: Hàm số y = x²⁰ là nguyên hàm của hàm số:

A. y = x¹⁹.

B. y = 20x²¹.

C. y = 20x¹⁹.

D. y = $\frac{x^{21}}{21}$

Lời giải:

Đáp án đúng là: C

Ta có: y’ = (x²⁰)’ = 20x^{20 – 1} = 20x¹⁹.

Vậy y = x²⁰ là một nguyên hàm của hàm số y = 20x¹⁹.

Bài 2 trang 8 SBT Toán 12 Tập 2: Hàm số y = sin2x là nguyên hàm của hàm số:

A. y = cos2x.

B. y = 2cos2x.

C. y = −cos2x.

D. y = $\frac{-\cos 2x}{2}$

Lời giải:

Đáp án đúng là: B

Ta có: y’ = (sin2x)’ = 2cos2x.

Vậy y = sin2x là một nguyên hàm của hàm số y = 2cos2x.

Bài 3 trang 8 SBT Toán 12 Tập 2: Hàm số y = ln(x² + 1) là nguyên hàm của hàm số:

A. y = $\frac{1}{x^2+1}$

B. y = $\frac{1}{2x(x^2+1)}$.

C. y = $\frac{2x}{x^2+1}$.

D. y = $\frac{2}{x^2+1}$.

Lời giải:

Đáp án đúng là: C

Ta có: y’ = [ln(x² + 1)]’ = $\frac{(x^2+1{)}^{‘}}{x^2+1}=\frac{2x}{x^2+1}$.

Vậy y = ln(x² + 1) là nguyên hàm của hàm số y = $\frac{2x}{x^2+1}$.

Bài 4 trang 8 SBT Toán 12 Tập 2: Hàm số y = e^{−5x + 4} là nguyên hàm của hàm số:

A. y = $\frac{1}{e^{-5x+4}}$.

B. y = e^{−5x + 4}.

C. y = $\frac{e^{-5x+4}}{-5}$.

D. y = −5e^{−5x + 4}.

Lời giải:

Đáp án đúng là: D

Ta có: y’ = (e^{−5x + 4})’ = (−5x + 4)’.e^{−5x + 4} =−5.e^{−5x + 4}.

Vậy y = e^{−5x + 4} là nguyên hàm của hàm số y = −5e^{−5x + 4}.

Bài 5 trang 8 SBT Toán 12 Tập 2: Hàm số y = logx là nguyên hàm của hàm số:

A. y = $\frac{1}{x}$.

B. y = $\frac{1}{x\ln 10}$.

C. y = $\frac{\ln 10}{x}$.

D. y = $\frac{1}{x\log 10}$.

Lời giải:

Đáp án đúng là: B

Ta có: y’ = (logx)’ = $\frac{1}{x\ln 10}$.

Vậy y = logx là nguyên hàm của hàm số y = $\frac{1}{x\ln 10}$.

Bài 6 trang 8 SBT Toán 12 Tập 2: Cho hàm số f(x) = 4x³ – 3x².

a) $\int f\left(x\right)dx=\int 4x^{3}dx-\int 3x^{2}dx$	Đ	S
b) f'(x) = 12x2 – 6x.	Đ	S
c) f'(x) = x4 – x3.	Đ	S
d) $\int f\left(x\right)dx$ = x4 + x3 + C.	Đ	S

Lời giải:

a) Đ

b) Đ

c) S

d) S

Ta có: f(x) = 4x³ – 3x².

Suy ra f'(x) = (4x³ – 3x²)’ = 12x² – 6x.

Ta có: $\int f\left(x\right)dx=\int (4x^3-3x^2)dx=\int 4x^{3}dx-\int 3x^{2}dx=x^4-x^3+C$

Bài 7 trang 8 SBT Toán 12 Tập 2: Cho hàm số f(x) = sinx + cosx.

a) $\int f\left(x\right)dx=\int \sin xdx+\int \cos xdx$	Đ	S
b) f'(x) = cosx – sinx.	Đ	S
c) f'(x) + f(x) = cosx.	Đ	S
d) $\int f\left(x\right)dx$ = −cosx + sinx + C.	Đ	S

Lời giải:

a) Đ

b) Đ

c) S

d) Đ

Ta có: f(x) = sinx + cosx

Suy ra f'(x) = (sinx + cosx)’ = cosx – sinx.

f'(x) + f(x) = cosx – sinx + sinx + cosx = 2cosx.

Ta có: $\int f\left(x\right)dx=\int (\sin x+\cos x)dx=\int \sin xdx+\int \cos xdx=-\cos x+\sin x+C.$

Bài 8 trang 9 SBT Toán 12 Tập 2: Cho hàm số f(x) = (x + 2)(x + 1).

a) f(x) = x2 + 3x + 2.	Đ	S
b) f'(x) = 2x + 3.	Đ	S
c) $\int f\left(x\right)dx=\int (x+2)dx.\int (x+1)dx.$	Đ	S
c) $\int f\left(x\right)dx=\frac{1}{3}{x}^3+\frac{3}{2}{x}^2+2x+C.$	Đ	S

Lời giải:

a) Đ

b) Đ

c) S

d) Đ

Ta có: f(x) = (x + 2)(x + 1) = x² + 3x + 2.

           f'(x) = (x² + 3x + 2)’ = 2x + 3.

Ta có: $\int f\left(x\right)dx=\int (x+2)(x+1)dx=\int (x^2+3x+2)dx=\frac{1}{3}{x}^3+\frac{3}{2}{x}^2+2x+C.$

Bài 9 trang 9 SBT Toán 12 Tập 2: Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:

a) f(x) = 2x² – 4x⁵ + 6;

b) f(x) = (x + 3)(−2 – x);

c) f(x) = $\frac{x^6-7x^3}{x}$ (x > 0).

Lời giải:

a) $\int f\left(x\right)dx=\int (2x^2-4x^5+6)dx$

$=\int 2x^{2}dx-\int 4x^{5}dx+\int 6dx$

$=\frac{2}{3}{x}^3-\frac{2}{3}{x}^6+6x+C.$

b) $\int f\left(x\right)dx=\int (x+3)(-2-x)dx$

$=\int (-x^2-5x-6)dx$

$=-\int x^{2}dx-\int 5xdx-\int 6dx$

$=-\frac{x^3}{3}-\frac{5x^2}{2}-6x+C$

c) $\int f\left(x\right)dx=\int \frac{x^6-7x^3}{x}dx=\int (x^5-7x^2)dx$

$=\int x^{5}dx-\int 7x^{2}dx$

$=\frac{x^6}{6}-\frac{7x^3}{3}+C.$

Bài 10 trang 9 SBT Toán 12 Tập 2: Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:

a) f(x) = 2sinx;

b) f(x) = cosx + x³;

c) f(x) = $\frac{-x^4}{2}-3\cos x$

Lời giải:

a) $\int f\left(x\right)dx=\int 2\sin xdx=2\int \sin xdx=-2\cos x+C.$

b) $\int f\left(x\right)dx=\int (\cos x+x^3)dx=\int \cos xdx+\int x^{3}dx=\sin x+\frac{x^4}{4}+C.$

c) $\int f\left(x\right)dx=\int \left(\frac{-x^4}{2}-3\cos x\right)dx=-\frac{1}{2}\int x^{4}dx-3\int \cos xdx=-\frac{x^5}{10}-3\sin x+C.$

Bài 11 trang 9 SBT Toán 12 Tập 2: Tìm:

a) $\int 2^x\ln 2dx$

b) $\int 2x\cos \left(x^2\right)dx$;

c) $\int {\cos }^2\left(\frac{x}{2}\right)dx$.

Gợi ý:

a) (2^x)’ = 2^xln2;

b) [sin(x²)]’ = 2xcos(x²);

c) cos²$\left(\frac{x}{2}\right)$= $\frac{1+\cos x}{2}$.

Lời giải:

a) $\int 2^x\ln 2dx$ = $\int (2^x{)}^{‘}dx$ = 2^x + C.

b) $\int 2x\cos \left(x^2\right)dx\int \left[\sin \right(x^2){]}^{‘}dx=\sin (x^2)+C$

c) $\int {\cos }^2\left(\frac{x}{2}\right)dx$=$\int \frac{1+\cos x}{2}dx=\int \left(\frac{1}{2}+\frac{\cos x}{2}\right)dx$

= $\frac{1}{2}\int dx+\frac{1}{2}\int \cos xdx=\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}\sin x+C$

Bài 12 trang 9 SBT Toán 12 Tập 2: Tìm $\int \frac{x^2+7x+12}{x+3}dx$ trên (0; +∞).

Lời giải:

Ta có: $\int \frac{x^2+7x+12}{x+3}dx$=$\int \frac{(x+3)(x+4)}{x+3}dx=\int (x+4)dx$

$=\int xdx+4\int dx=\frac{x^2}{2}+4x+C.$

Bài 13 trang 9 SBT Toán 12 Tập 2: Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) = 3x² – 2x, biết F(1) = 5.

Lời giải:

Ta có: $\int f\left(x\right)dx=\int (3x^2-2x)dx=\int 3x^{2}dx-\int 2xdx=$x³ – x² + C.

Vì F(1) = 5 nên 1³ – 1² + C = 5, suy ra C = 5.

Vậy F(x) = x³ – x² + 5.

Bài 14 trang 9 SBT Toán 12 Tập 2: Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số biết f(x) = 4x³ + 3x², biết F(1) − f'(1) = −16.

Lời giải:

Ta có: $\int f\left(x\right)dx=\int (4x^3+3x^2)dx$ $=\int 4x^{3}dx+\int 3x^{2}dx$ = x⁴ + x³ + C và f'(x) = 12x² + 6x.

Vì F(1) − f'(1) = −16 nên 1⁴ + 1³ + C – 12.1² – 6.1 = −16, suy ra C = 0.

Vậy F(x) = x⁴ + x³.

Bài 15 trang 9 SBT Toán 12 Tập 2: Xét dao động điều hòa của một chất điểm có vận tốc tức thời tại thời điểm t là: v(t) = −0,2πsin(πt), trong đó, t tính bằng giây, v(t) tính bằng m/s. Tìm phương trình li độ x(t), biết v(t) là đạo hàm của x(t) và x(0) = 0,2 m.

Lời giải:

Ta có: $\int v\left(t\right)dt=\int \left[-\mathrm{0,2}\pi \sin \left(\pi t\right)\right]dt=-\mathrm{0,2}\pi \int \cos \left(\pi t\right)dt$= 0,2cos(πt) + C.

Do v(t) là đạo hàm của x(t) nên x(t) là một nguyên hàm của v(t).

Vì x(0) = 0,2 suy ra 0,2cos(π.0) + C = 0,2 nên C = 0.

Vậy x(t) = 0,2cos(πt).

Lý thuyết Nguyên hàm

1. Khái niệm nguyên hàm

● Định nghĩa: Với K là một khoảng, đoạn hoặc nửa khoảng của tập số thực ℝ, ta có:

Cho hàm số f(x) xác định trên K. Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu F'(x) = f(x) với mọi x thuộc K.

Ví dụ 1. Hàm số F(x) = $\frac{x^4}{4}$ là nguyên hàm của hàm số nào? Vì sao?

Hướng dẫn giải

Hàm số F(x) = $\frac{x^4}{4}$ là nguyên hàm của hàm số f(x) = x³ trên ℝ vì ${\left(\frac{x^4}{4}\right)}^{‘}=x^3$  với mọi x ∈ ℝ.

● Định lí:

Cho K là một khoảng, đoạn hoặc nửa khoảng của tập số thực ℝ.

Giả sử hàm số F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K. Khi đó:

a) Với mỗi hằng số C, hàm số G(x) = F(x) + C cũng là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K.

b) Ngược lại, với mỗi nguyên hàm H(x) của hàm số f(x) trên K thì tồn tại hằng số C sao cho H(x) = F(x) + C với mọi x thuộc K.

Ví dụ 2. Tìm tất cả các nguyên hàm của hàm số f(x) = cos x trên ℝ.

Hướng dẫn giải

Do (sin x)’ = cos x nên sin x là một nguyên hàm của hàm số f(x) = cos x trên ℝ.

Vậy mọi nguyên hàm của hàm số f(x) = cos x đều có dạng sin x + C, với C là một hằng số.

● Họ (hay tập hợp) tất cả các nguyên hàm của hàm số f(x) trên K được kí hiệu là

$\int f\left(x\right)dx$.

Nhận xét:

+ Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì mọi nguyên hàm của hàm số f(x) trên K đều có dạng F(x) + C với C là một hằng số. Vì vậy,

$\int f\left(x\right)dx=F\left(x\right)+C$.

+ Mọi hàm số liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K.

Ta có: $\int F^{‘}\left(x\right)dx=F\left(x\right)+C$ .

Chú ý: Biểu thức f(x)dx gọi là vi phân của nguyên hàm F(x), kí hiệu là dF(x). Vậy dF(x) = F'(x)dx = f(x)dx.

Nhận xét: $\int 0dx=C$ và nếu ta quy ước $\int 1dx=\int dx$ thì $\int dx=x+C$ .

Ví dụ 3. Chứng tỏ rằng $\int k{x}^{3}dx=\frac{k}{4}{x}^4+C\left(k\ne 0\right)$ .

Hướng dẫn giải

Do ${\left(\frac{k}{4}{x}^4\right)}^{‘}=k{x}^3$ nên $\frac{k}{4}{x}^4$ là một nguyên hàm của hàm số f(x) = kx³ trên ℝ.

Vậy $\int k{x}^{3}dx=\frac{k}{4}{x}^4+C\left(k\ne 0\right)$ .

2. Tính chất của nguyên hàm

Cho K là một khoảng, đoạn hoặc nửa khoảng của tập số thực ℝ.

Cho các hàm số f(x), g(x) liên tục trên K.

● Tính chất 1: $\int kf\left(x\right)dx=k\int f\left(x\right)dx$ với k là hằng số khác 0.

● Tính chất 2:

$\int \left[f\left(x\right)+g\left(x\right)\right]dx=\int f\left(x\right)dx+\int g\left(x\right)dx$

$\int \left[f\left(x\right)-g\left(x\right)\right]dx=\int f\left(x\right)dx-\int g\left(x\right)dx$

Ví dụ 4. Tìm $\int \left(3x^3-4x+7\right)dx$ .

Hướng dẫn giải

Ta có: $\int \left(3x^3-4x+7\right)dx$$=\frac{3}{4}\int \left(4x^3\right)dx-2\int \left(2x\right)dx+7\int dx$

$=\frac{3}{4}\int {\left(x^4\right)}^{‘}dx-2\int {\left(x^2\right)}^{‘}dx+7\int dx$$=\frac{3}{4}{x}^4-2x^2+7x+C$

Xem thêm các bài giải SBT Toán lớp 12 Cánh diều hay, chi tiết khác:

Bài tập cuối chương 3

Bài 1: Nguyên hàm

Bài 2: Nguyên hàm của một số hàm số sơ cấp

Bài 3: Tích phân

Bài 4: Ứng dụng hình học của tích phân

Bài tập cuối chương 4