Giải Toán 12 Bài 1: Nguyên hàm

Bài giảng Toán học 12 Bài 1 : Nguyên hàm

Giải bài tập Toán lớp 12 Bài 1: Nguyên hàm

Trả lời câu hỏi giữa bài

Trả lời câu hỏi 1 trang 93 SGK Giải tích 12: Tìm hàm số $F(x)$ sao cho $F^{\prime }(x)=f(x)$ nếu:

a) $f(x)=3x^2$ với $x\in (-\infty ;+\infty )$;

b) $f(x)=\frac{1}{{\cos }^{2}x};x\in (\frac{-\pi }{2};\frac{\pi }{2})$

Phương pháp giải:

Dựa vào hàm $f(x)$, suy đoán dạng của nguyên hàm (đa thức, phân thức, lượng giác,…) từ đó tìm hàm $F(x)$ phù hợp.

Lời giải:

a)

$F\left(x\right)=x^3$ vì $(x^3{)}^{\prime }=3x^2$

b)

$F\left(x\right)=\tan x$ vì ${\left(\tan x\right)}^{\prime }=\frac{1}{{\cos }^{2}x}$

Trả lời câu hỏi 2 trang 93 SGK Giải tích 12: Hãy tìm thêm những nguyên hàm khác của các hàm số nêu trong Ví dụ 1.

Phương pháp giải:

Nếu $F\left(x\right)$ là một nguyên hàm của $f\left(x\right)$ thì mọi hàm số $F\left(x\right)+C,$ với $C$ là hằng số, $(C\in \mathbb{R})$ đều là nguyên hàm của $f\left(x\right)$.

Lời giải:

a. Vì $F\left(x\right)=x^2$ là một nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right)=2x$ trên $\mathbb{R}$ nên ta cũng có một số nguyên hàm khác của $f\left(x\right)=2x$ là $x^2+1,x^2-2,x^2+\sqrt{2},...$

Tổng quát: $F\left(x\right)=x^2+C,C\in \mathbb{R}$ là họ nguyên hàm của $f\left(x\right)=2x$.

b. Vì $F\left(x\right)=\ln x$ là một nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right)=\frac{1}{x}$ trên $\left(0;+\mathrm{\infty }\right)$ nên ta cũng có một số nguyên hàm khác của $f\left(x\right)=\frac{1}{x}$ là $\ln x+1,\ln x-3,\ln x+\frac{1}{2},...$

Tổng quát: $F\left(x\right)=\ln x+C,C\in \mathbb{R}$ là họ nguyên hàm của $f\left(x\right)=\frac{1}{x}$.

Trả lời câu hỏi 3 trang 93 SGK Giải tích 12: Hãy chứng minh Định lý 1.

Phương pháp giải:

Tính đạo hàm hàm số $G(x)$ và sử dụng định nghĩa nguyên hàm để nhận xét.

Lời giải:

Vì $F(x)$ là nguyên hàm của $f(x)$ trên K nên $(F(x){)}^{\prime }=f(x)$. Vì $C$ là hằng số nên $(C{)}^{\prime }=0$.

Ta có:

$(G(x){)}^{\prime }=(F(x)+C{)}^{\prime }=(F(x){)}^{\prime }+(C{)}^{\prime }=f(x)+0=f(x)$

Vậy $G(x)$ là một nguyên hàm của $f(x)$.

Trả lời câu hỏi 4 trang 95 SGK Giải tích 12: Hãy chứng minh Tính chất 3.

Phương pháp giải:

– Gọi $F\left(x\right)$ là một nguyên hàm của $f\left(x\right)$, $G\left(x\right)$ là một nguyên hàm của $g\left(x\right)$.

– Tìm nguyên hàm hai vế và kết luận.

Lời giải:

Gọi $F\left(x\right)$ là một nguyên hàm của $f\left(x\right)$;

      $G\left(x\right)$ là một nguyên hàm của $g\left(x\right)$.

Ta có $f\left(x\right)=F^{\prime }\left(x\right),g\left(x\right)=G^{\prime }\left(x\right)$.

Suy ra $\int \left[f\left(x\right)\pm g\left(x\right)\right]dx$ $=\int \left[F^{\prime }\left(x\right)\pm G^{\prime }\left(x\right)\right]dx$ $=\int {\left[F\left(x\right)\pm G\left(x\right)\right]}^{\prime }dx$ $=F\left(x\right)\pm G\left(x\right)+C$

Lại có $\int f\left(x\right)dx\pm \int g\left(x\right)dx$ $=\int F^{\prime }\left(x\right)dx\pm \int G^{\prime }\left(x\right)dx$ $=F\left(x\right)\pm G\left(x\right)+C$.

Vậy $\int \left[f\left(x\right)\pm g\left(x\right)\right]dx=\int f\left(x\right)dx\pm \int g\left(x\right)dx$ (đpcm)

Trả lời câu hỏi 5 trang 96 SGK Giải tích 12: Lập bảng theo mẫu dưới đây rồi dùng bảng đạo hàm trang 77 và trong SGK Đại số và Giải tích 11 để điền vào các hàm số thích hợp vào cột bên phải.

$f^{\prime }\left(x\right)$	$f\left(x\right)+C$
$0$
$\alpha x^{\alpha -1}$
$\frac{1}{x}$
$e^x$
$a^x\ln a\left(a>0,a\ne 1\right)$
$\cos x$
$-\sin x$
$\frac{1}{{\cos }^{2}x}$
$-\frac{1}{{\sin }^{2}x}$

Lời giải:

$f^{\prime }\left(x\right)$	$f\left(x\right)+C$
$0$	$C$
$\alpha x^{\alpha -1}$	$x^{\alpha }+C$
$\frac{1}{x}$	$\ln \left|x\right|+C$
$e^x$	$e^x+C$
$a^x\ln a\left(a>0,a\ne 1\right)$	$a^x+C$
$\cos x$	$\sin x+C$
$-\sin x$	$\cos x+C$
$\frac{1}{{\cos }^{2}x}$	$\tan x+C$
$-\frac{1}{{\sin }^{2}x}$	$\cot x+C$

Trả lời câu hỏi 6 trang 98 SGK Giải tích 12: a) Cho $\int {\left(x-1\right)}^{10}dx$. Đặt $u=x–1$, hãy viết ${\left(x-1\right)}^{10}dx$ theo $u$ và $du$.

b) $\int \frac{\ln x}{x}dx$. Đặt $x=e^t$,  hãy viết $\int \frac{\ln x}{x}dx$ theo $t$ và $dt$

Phương pháp giải:

a) Bước 1: Tính vi phân $du=u^{\prime }dx\Rightarrow dx=\frac{du}{u^{\prime }}$

Bước 2: Thay $x,dx$ thành $u+1,\frac{du}{u^{\prime }}$ vào nguyên hàm

b) Bước 1: Từ $x=e^t\Rightarrow t=\ln x$ Tính vi phân $dt=t^{\prime }dx\Rightarrow dx=\frac{dt}{t^{\prime }}$

Bước 2: Thay $x,dx$ thành $e^t,\frac{dt}{t^{\prime }}$ vào nguyên hàm

Lời giải:

a)

Ta có: $u=x-1\Rightarrow x=u+1$ $\Rightarrow dx=(u+1{)}^{\prime }du=du$

$\Rightarrow {\left(x-1\right)}^{10}dx=u^{10}du$

b)

Ta có: $x=e^t$ $\Rightarrow dx={\left(e^t\right)}^{\prime }dt=e^{t}dt$

Do đó: $\frac{\ln x}{x}dx=\frac{\ln (e^t)}{e^t}{e}^{t}dt=tdt$

Trả lời câu hỏi 7 trang 99 SGK Giải tích 12: Ta có: ${\left(x\cos x\right)}^{\prime }=\cos x-x\sin x$ hay $-x\sin x={\left(x\cos x\right)}^{\prime }-\cos x.$

Hãy tính: $\int {\left(x\cos x\right)}^{\prime }dx$ và $\int \cos xdx$

Từ đó tính $\int x\sin xdx.$

Phương pháp giải:

Tính các nguyên hàm, sử dụng công thức: $\int f^{\prime }\left(x\right)dx=f\left(x\right)+C$ và các tính chất của nguyên hàm.

Lời giải:

Ta có: $\int {\left(x\cos x\right)}^{\prime }dx=x\cos x+C_1$ và $\int \cos xdx=\sin x+C_2$

Do đó $\int x\sin xdx=-\int (-x\sin x)dx$ $=-\int \left[{\left(x\cos x\right)}^{\prime }-\cos x\right]dx$ $=-\int {\left(x\cos x\right)}^{\prime }dx+\int \cos xdx$ 

Trả lời câu hỏi 8 trang 100 SGK Giải tích 12: Cho $P(x)$ là đa thức của $x$. Từ Ví dụ 9, hãy lập bảng theo mẫu dưới đây rồi điền $u$ và $dv$ thích hợp vào chỗ trống theo phương pháp nguyên phân hàm từng phần.

	$\int P\left(x\right)e^{x}dx$	$\int P\left(x\right)\cos xdx$	$\int P\left(x\right)\ln xdx$
$u$	$P\left(x\right)$
$dv$	$e^{x}dx$

  Lời giải:

	$\int P\left(x\right)e^{x}dx$	$\int P\left(x\right)\cos xdx$	$\int P\left(x\right)\ln xdx$
$u$	$P\left(x\right)$	$P\left(x\right)$	$\ln x$
$dv$	$e^{x}dx$	$\cos xdx$	$P\left(x\right)dx$

Câu hỏi và bài tập (trang 100, 101 SGK Giải tích 12)
Bài 1 trang 100 SGK Giải tích 12:Trong các hàm số dưới đây, hàm số nào là một nguyên hàm của hàm số còn lại?

a)  $e^{-x}$ và $-e^{-x}$;        b) $\sin 2x$ và ${\sin }^{2}x$ 

c) ${\left(1-\frac{2}{x}\right)}^2{e}^x$ và $\left(1-\frac{4}{x}\right)e^x$

Phương pháp giải:

+) Sử dụng định nghĩa: Hàm số $F(x)$ được gọi là nguyên hàm của hàm số $f(x)$ nếu $F^{\prime }(x)=f(x)$ với mọi $x$ thuộc tập xác định.

+) Sử dụng các công thức tính đạo hàm của các hàm cơ bản: ${\left(e^u\right)}^{\prime }=u^{\prime }{e}^u;{\left(\sin u\right)}^{\prime }=u^{\prime }\cos u....$

Lời giải:

a) $e^{-x}$ và $-e^{-x}$ là nguyên hàm của nhau, vì:

$(e^{-x}{)}^{\prime }=e^{-x}\left(-1\right)=-e^{-x}$  và $(-e^{-x}{)}^{\prime }=\left(-1\right)(-e^{-x})=e^{-x}$

b)  $si{n}^{2}x$   là nguyên hàm của $sin2x$, vì:

${\left(si{n}^{2}x\right)}^{\prime }=2sinx.{\left(sinx\right)}^{\prime }=2sinxcosx=sin2x$

c) $\left(1-\frac{4}{x}\right)e^x$ là một nguyên hàm của ${\left(1-\frac{2}{x}\right)}^2{e}^x$ vì:

${\left(\left(1-\frac{4}{x}\right)e^x\right)}^{\mathrm{\prime }}=\frac{4}{x^2}{e}^x+\left(1-\frac{4}{x}\right)e^x=\left(1-\frac{4}{x}+\frac{4}{x^2}\right)e^x={\left(1-\frac{2}{x}\right)}^2{e}^x.$

Bài 2 trang 100,101 SGK Giải tích 12: Tìm nguyên hàm của các hàm số sau?

a) $f(x)=\frac{x+\sqrt{x}+1}{{}^{\sqrt[3]{x}}}$;

b) $f(x)=\frac{2^x-1}{e^x}$

c) $f(x)=\frac{1}{si{n}^{2}x.co{s}^{2}x}$;

d) $f(x)=sin5x.cos3x$

e) $f(x)=ta{n}^{2}x$   

g) $f(x)=e^{3-2x}$

h) $f(x)=\frac{1}{(1+x)(1-2x)}$ ;

Phương pháp giải:

a) +) Biến đổi biểu thức cần tính nguyên hàm về dạng cơ bản (chẳng hạn: đa thức)

+) Sau đó sử dụng các công thức nguyên hàm cơ bản để làm bài toán: 

$\int x^{n}dx=\frac{1}{n+1}{x}^{n+1}+C$

b) Sử dụng công thức nguyên hàm:

$$\int a^{x}dx=\frac{a^x}{\ln a}+C$$

$$\int e^{ax+b}dx=\frac{e^{ax+b}}{a}+C$$

d) Công thức phân tích tích thành tổng:

$\sin a\cos b$$=\frac{1}{2}\left(\sin \left(a+b\right)+\sin \left(a-b\right)\right)$

e) Áp dụng công thức:

$\frac{1}{{\cos }^{2}x}={\tan }^{2}x+1$$\Rightarrow {\tan }^{2}x=\frac{1}{{\cos }^{2}x}-1$

Nguyên hàm: $\int \frac{1}{{\cos }^{2}x}dx=\tan x+C$

Lời giải:

a)

Điều kiện $x>0$. Thực hiện chia tử cho mẫu ta được:

$f(x)=\frac{x+x^{\frac{1}{2}}+1}{x^{\frac{1}{3}}}=x^{1-\frac{1}{3}}+x^{\frac{1}{2}-\frac{1}{3}}+x^{-\frac{1}{3}}=x^{\frac{2}{3}}+x^{\frac{1}{6}}+x^{-\frac{1}{3}}.$

$\Rightarrow \int f(x)dx=\int (x^{\frac{2}{3}}+x^{\frac{1}{6}}+x^{-\frac{1}{3}})dx=\frac{x^{\frac{2}{3}+1}}{\frac{2}{3}+1}+\frac{x^{\frac{1}{6}+1}}{\frac{1}{6}+1}+\frac{x^{-\frac{1}{3}+1}}{-\frac{1}{3}+1}+C=\frac{3}{5}{x}^{\frac{5}{3}}+\frac{6}{7}{x}^{\frac{7}{6}}+\frac{3}{2}{x}^{\frac{2}{3}}+C.$

b)

$\begin{array}{l}f\left(x\right)=\frac{2^x-1}{e^x}={\left(\frac{2}{e}\right)}^x-e^{-x}.\\ \Rightarrow F\left(x\right)=\int f\left(x\right)dx\\ =\int \left({\left(\frac{2}{e}\right)}^x-e^{-x}\right)dx\\ =\frac{{\left(\frac{2}{e}\right)}^x}{\ln \left(\frac{2}{e}\right)}-\frac{e^{-x}}{-1}+C\\ =\frac{2^x}{e^x\left(\ln 2-1\right)}+e^{-x}+C\\ =\frac{2^x+\ln 2-1}{e^x\left(\ln 2-1\right)}+C.\end{array}$

c)

$\begin{array}{l}f\left(x\right)=\frac{1}{{\sin }^{2}x.{\cos }^{2}x}\\ =\frac{{\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x}{{\sin }^{2}x{\cos }^{2}x}\\ =\frac{{\sin }^{2}x}{{\sin }^{2}x{\cos }^{2}x}+\frac{{\cos }^{2}x}{{\sin }^{2}x{\cos }^{2}x}\\ =\frac{1}{{\sin }^{2}x}+\frac{1}{{\cos }^{2}x}.\\ \Rightarrow F\left(x\right)=\int f\left(x\right)dx\\ =\int \left(\frac{1}{{\sin }^{2}x}+\frac{1}{{\cos }^{2}x}\right)dx\\ =-\cot x+\tan x+C\\ =\frac{\sin x}{\cos x}-\frac{\cos x}{\sin x}+C\\ =\frac{{\sin }^{2}x-{\cos }^{2}x}{\sin x.\cos x}+C\\ =\frac{-\cos 2x}{\frac{1}{2}\sin 2x}+C\\ =-2\cot 2x+C.\end{array}$

Cách khác:

$\begin{array}{l}{\sin }^{2}x{\cos }^{2}x\\ =\frac{1}{4}.4{\sin }^{2}x{\cos }^{2}x\\ =\frac{1}{4}{\sin }^{2}2x\\ \Rightarrow \int \frac{1}{{\sin }^{2}x{\cos }^{2}x}dx\\ =\int \frac{1}{\frac{1}{4}{\sin }^{2}2x}dx=\int \frac{4}{{\sin }^{2}2x}dx\\ =4.\left(-\frac{\cot 2x}{2}\right)+C\\ =-2\cot 2x+C\end{array}$

Ở đó sử dụng công thức

$\int \frac{1}{{\sin }^2\left(ax+b\right)}dx=-\frac{\cot \left(ax+b\right)}{a}+C$

d)

Áp dụng công thức biến đổi tích thành tổng ta có:

$\begin{array}{l}f\left(x\right)=\sin 5x.\cos 3x\\ =\frac{1}{2}\left(\sin 8x+\sin 2x\right).\\ \Rightarrow F\left(x\right)=\int f\left(x\right)dx\\ =\int \frac{1}{2}\left(\sin 8x+\sin 2x\right)dx\\ =\frac{1}{2}\left(-\frac{1}{8}\cos 8x-\frac{1}{2}\cos 2x\right)+C\\ =-\frac{1}{4}\left(\frac{1}{4}\cos 8x+\cos 2x\right)+C.\end{array}$

e)

$\begin{array}{l}f\left(x\right)={\tan }^{2}x=\frac{1}{{\cos }^{2}x}-1\\ \Rightarrow F\left(x\right)=\int f\left(x\right)dx\\ =\int \left(\frac{1}{{\cos }^{2}x}-1\right)dx\\ =\int \frac{1}{{\cos }^{2}x}dx-\int dx\\ =\tan x-x+C.\end{array}$

g)

$\begin{array}{l}f\left(x\right)=e^{3-2x}.\\ \Rightarrow F\left(x\right)=\int f\left(x\right)dx=\int e^{3-2x}dx\\ =-\frac{1}{2}\int e^{3-2x}{\left(3-2x\right)}^{\prime }dx\\ =-\frac{1}{2}{e}^{3-2x}+C.\end{array}$

h)

Ta có : $f\left(x\right)=\frac{1}{\left(1+x\right)\left(1-2x\right)}$ $=\frac{1-2x+2\left(1+x\right)}{3\left(1+x\right)\left(1-2x\right)}$ $=\frac{1-2x}{3\left(1+x\right)\left(1-2x\right)}+\frac{2\left(1+x\right)}{3\left(1+x\right)\left(1-2x\right)}$ $=\frac{1}{3\left(x+1\right)}+\frac{2}{3\left(1-2x\right)}.$

$\Rightarrow \int \frac{dx}{(1+x)(1-2x)}$$=\frac{1}{3}\int (\frac{1}{1+x}+\frac{2}{1-2x})dx$

$=\frac{1}{3}\left(\int \frac{1}{1+x}dx+\int \frac{2}{1-2x}dx\right)$

Đặt $1+x=t\Rightarrow dx=dt$

$\Rightarrow \int \frac{1}{1+x}dx=\int \frac{1}{t}dt$ $=\ln \left|t\right|+C_1=\ln \left|1+x\right|+C_1$

Đặt $1-2x=t\Rightarrow -2dx=dt$

$\Rightarrow \int \frac{2}{1-2x}dx=\int \frac{-dt}{t}$ $=-\ln \left|t\right|+C_2=-\ln \left|1-2x\right|+C_2$

$\begin{array}{l}\Rightarrow \frac{1}{3}\left(\int \frac{1}{1+x}dx+\int \frac{2}{1-2x}dx\right)\\ =\frac{1}{3}\left(\ln \left|1+x\right|-\ln \left|1-2x\right|\right)+C\\ =\frac{1}{3}\ln \left|\frac{1+x}{1-2x}\right|+C\end{array}$

Vậy $\int f\left(x\right)dx=\frac{1}{3}\ln \left|\frac{1+x}{1-2x}\right|+C$

Bài 3 trang 101 SGK Giải tích 12: Sử dụng phương pháp biến số, hãy tính:

a)  $\int {(1-x)}^{9}dx$   (đặt $u=1-x$ ) ;

b)  $\int x(1+x^2{)}^{\frac{3}{2}}dx$ (đặt $u=1+x^2$ )

c)  $\int co{s}^{3}xsinxdx$   (đặt $t=cosx$)

d)  $\int \frac{dx}{e^x+e^{-x}+2}$    (đặt $u=e^x+1$)

Phương pháp giải:

+) Đặt  $u=u\left(x\right)\Rightarrow du=u^{\prime }\left(x\right)dx.$

+) Khi đó:  $\Rightarrow I=\int f\left(x\right)dx=\int g\left(u\right)du.$

+) Sau đó sử dụng các công thức nguyên hàm cơ bản để tìm nguyên hàm của hàm ẩn $u$.

+) Suy ra nguyên hàm của hàm số ẩn $x$.

Lời giải:

a)

Cách 1: Đặt $u=1-x\Rightarrow du=-dx$. Khi đó ta được  $-\int u^{9}du=-\frac{1}{10}{u}^{10}+C$

Suy ra $\int (1-x{)}^{9}dx=-\frac{(1-x{)}^{10}}{10}+C$

Cách 2: $\int {\left(1-x\right)}^{9}dx=-\int {\left(1-x\right)}^{9}d\left(1-x\right)=$  $-\frac{(1-x{)}^{10}}{10}+C$

b)

Cách 1: Đặt$u=1+x^2\Rightarrow du=2xdx\Rightarrow xdx=\frac{1}{2}du.$

$\begin{array}{l}\Rightarrow \int \frac{1}{2}{u}^{\frac{3}{2}}du=\frac{1}{2}.\frac{u^{\frac{3}{2}+1}}{\frac{3}{2}+1}+C\\ =\frac{u^{\frac{5}{2}}}{5}+C=\frac{{\left(1+x^2\right)}^{\frac{5}{2}}}{5}+C.\end{array}$

Cách 2:  $\int x(1+x^2{)}^{\frac{3}{2}}dx=\frac{1}{2}\int (1+x^2{)}^{\frac{3}{2}}d(1+x^2)=\frac{1}{2}.\frac{2}{5}(1+x^2{)}^{\frac{5}{2}}+C=\frac{1}{5}.(1+x^2{)}^{\frac{5}{2}}+C$

c)

Cách 1: Đặt:  $t=\mathrm{cosx}\Rightarrow dt=-sinxdx.$

 $\begin{array}{l}\Rightarrow \int {\cos }^{3}x.\mathrm{sinxdx}=\int -t^{3}du\\ =-\frac{1}{4}{t}^4+C=-\frac{1}{4}{\cos }^{4}x+C.\end{array}$

Cách 2:$\int co{s}^{3}xsinxdx=-\int co{s}^{3}xd(cosx)=-\frac{1}{4}.co{s}^{4}x+C.$

d)

Cách 1:

Ta có:  $e^x+e^{-x}+2=e^x+\frac{1}{e^x}+2=\frac{e^{2x}+2e^x+1}{e^x}=\frac{{\left(e^x+1\right)}^2}{e^x}.$

 $\Rightarrow \frac{1}{e^x+e^{-x}+2}=\frac{e^x}{{\left(e^x+1\right)}^2}.$

Đặt  $u=e^x+1\Rightarrow du=e^{x}dx.$

$\int \frac{dx}{e^x+e^{-x}+2}=\int \frac{e^x}{{\left(e^x+1\right)}^2}dx$ $=\int \frac{du}{u^2}=-\frac{1}{u}+C=-\frac{1}{e^x+1}+C$

Cách 2:

$\int \frac{dx}{e^x+e^{-x}+2}=\int \frac{e^x}{e^{2x}+2e^x+1}dx=\int \frac{d(e^x+1)}{(e^x+1{)}^2}dx=\frac{-1}{e^x+1}+C.$

Bài 4 trang 101 SGK Giải tích 12: Sử dụng phương pháp tính nguyên hàm từng phần, hãy tính:

a) $\int x\ln (1+x)dx$;

b) $\int (x^2+2x-1)e^{x}dx$

c) $\int x\sin (2x+1)dx$;

d) $\int (1-x)\cos xdx$

Phương pháp giải:

Sử dụng phương pháp nguyên hàm từng phần:

Đặt  $\{\begin{array}{l}u=u\left(x\right)\\ dv=v^{\prime }\left(x\right)dx\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}du=u^{\prime }\left(x\right)dx\\ v=v\left(x\right)\end{array}.$

Khi đó ta có: $\int f\left(x\right)dx=u\left(x\right)v\left(x\right)-\int u^{\prime }\left(x\right)v\left(x\right)dx.$

Lời giải:

a)

$\int x\ln \left(1+x\right)dx.$

Đặt:  $\{\begin{array}{l}u=\ln \left(1+x\right)\\ dv=xdx\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}du=\frac{1}{x+1}dx\\ v=\frac{x^2}{2}\end{array}.$

$\begin{array}{l}\Rightarrow \int x\ln \left(1+x\right)dx=\frac{x^2}{2}\ln \left(1+x\right)-\int \frac{x^2}{2\left(x+1\right)}dx\\ =\frac{x^2}{2}\ln \left(1+x\right)-\frac{1}{2}\int \left(\frac{x^2-1}{x+1}+\frac{1}{x+1}\right)dx\\ =\frac{x^2}{2}\ln \left(1+x\right)-\frac{1}{2}\int \left(x-1+\frac{1}{x+1}\right)dx\\ =\frac{x^2}{2}\ln \left(1+x\right)-\frac{1}{2}\left(\frac{x^2}{2}-x+\ln \left(1+x\right)\right)+C\\ =\frac{x^2}{2}\ln \left(1+x\right)-\frac{x^2}{4}+\frac{x}{2}-\frac{1}{2}\ln \left(1+x\right)+C\\ =\frac{1}{2}\left(x^2-1\right)\ln \left(1+x\right)-\frac{x^2}{4}+\frac{x}{2}+C.\end{array}$

b)

$\int \left(x^2+2x-1\right)e^{x}dx.$

Đặt:  $\{\begin{array}{l}u=x^2+2x-1\\ dv=e^{x}dx\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}du=\left(2x+2\right)dx\\ v=e^x\end{array}.$

$\begin{array}{l}\Rightarrow \int \left(x^2+2x-1\right)e^{x}dx=\left(x^2+2x-1\right)e^x-\int \left(2x+2\right)e^{x}dx\\ =\left(x^2+2x-1\right)e^x-2\int \left(x+1\right)e^{x}dx.\end{array}$

Xét $\int \left(x+1\right)e^{x}dx:$

Đặt: $\{\begin{array}{l}u=x+1\\ dv=e^{x}dx\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}du=dx\\ v=e^x\end{array}.$

$\begin{array}{l}\Rightarrow \int \left(x+1\right)e^{x}dx\\ =\left(x+1\right)e^x-\int e^{x}dx\\ =\left(x+1\right)e^x-e^x+C=x{e}^x+C.\\ \Rightarrow \int \left(x^2+2x-1\right)e^{x}dx\\ =\left(x^2+2x-1\right)e^x-2x{e}^x+C\\ =\left(x^2-1\right)e^x+C.\end{array}$

c)

$\int x\sin \left(2x+1\right)dx.$

Đặt:  $\{\begin{array}{l}u=x\\ dv=\sin \left(2x+1\right)dx\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}du=dx\\ v=-\frac{1}{2}\cos \left(2x+1\right)\end{array}.$

$\begin{array}{l}\Rightarrow \int x\sin \left(2x+1\right)dx\\ =-\frac{1}{2}x\cos \left(2x+1\right)+\frac{1}{2}\int \cos \left(2x+1\right)dx\\ =-\frac{1}{2}x\cos \left(2x+1\right)+\frac{1}{4}\sin \left(2x+1\right)+C.\end{array}$

d)

$\int \left(1-x\right)\cos xdx$

Đặt:  $\{\begin{array}{l}u=1-x\\ dv=\cos xdx\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}du=-dx\\ v=\sin x\end{array}.$

$\begin{array}{l}\Rightarrow \int \left(1-x\right)\cos xdx\\ =\left(1-x\right)\sin x+\int \sin xdx\\ =\left(1-x\right)\sin x-\cos x+C.\end{array}$

Lí thuyết Bài 1: Nguyên hàm

1. Nguyên hàm và tính chất

a. Định nghĩa

Kí hiệu $K$ là khoảng, đoạn hoặc nửa khoảng của $R$.

Cho hàm số $f(x)$ xác định trên $K$.

Hàm số $F(x)$ được gọi là nguyên hàm của hàm số $f(x)$ trên $K$ nếu $F^{\prime }(x)=f(x)$ với mọi $x\in K$.

b. Định lý

1) Nếu $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)$ trên K thì với mỗi hằng số $C$, hàm số $G(x)=F(x)+C$ cũng là một nguyên hàm của hàm số $f(x)$ trên $K$.

2) Ngược lại, nếu $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)$ trên $K$ thì mọi nguyên hàm của $f(x)$ trên $K$ đều có dạng $F(x)+C$ với $C$ là một hằng số tùy ý.

Kí hiệu họ nguyên hàm của hàm số $f(x)$ là $\int f(x)dx$

Khi đó : $\int f(x)dx=F(x)+C,C\in R.$

c. Tính chất của nguyên hàm

$\int f(x)dx=F(x)+C,C\in R.$

$\int kf(x)dx=k\int f(x)dx$(với k là hằng số khác 0)

$\int (f(x)\pm g(x))=\int f(x)dx\pm \int g(x)dx$

d. Sự tồn tại nguyên hàm

Định lí: Mọi hàm số $f(x)$ liên tục trên $K$ đều có nguyên hàm trên $K$.

Bảng nguyên hàm của các hàm số thường gặp

Nguyên hàm của hàm số sơ cấp

Nguyên hàm của hàm hợp

$\int 0dx=C$ $\int dx=x+C$ $\int x^{\alpha }dx$ = $\frac{x^{\alpha +1}}{\alpha +1}+C$    ($\alpha \ne -1)$ $\int \frac{1}{x}dx=ln\left|x\right|+C$ $\int e^{x}dx=e^x+C$ $\int a^{x}dx=\frac{a^x}{lna}+C(a>0,a\ne 1)$ $\int cosxdx=sinx+C$ $\int sinxdx=-cosx+C$ $\int \frac{1}{(co{s}^{2}x)}dx=tanx+C$ $\int \frac{1}{(si{n}^{2}x)}dx=-cotx+C$

$\int u^{\alpha }dx=\frac{u^{\alpha +1}}{u^{\prime }.(\alpha +1)}+C$ $\int \frac{1}{u}dx=\frac{ln|u|}{u^{\prime }}+C$ $\int e^{u}dx=\frac{e^u}{u^{\prime }}+C$ $\int a^{u}dx=\frac{a^u}{u^{\prime }.lna}+C$ $\int cosudx=\frac{sinu}{u^{\prime }}+C$ $\int sinudx=\frac{-cosu}{u^{\prime }}+C$ $\int \frac{1}{(co{s}^{2}u)}du=\frac{tanu}{u^{\prime }}+C$ $\int \frac{1}{(si{n}^{2}u)}du=\frac{-cotu}{u^{\prime }}+C$

2. Phương pháp tìm nguyên hàm

a) Phương pháp đổi biến số

Định lý 1: Nếu $\int f\left(u\right)du=F\left(u\right)+C$ và $u=u\left(x\right)$ là hàm số có đạo hàm liên tục thì $\int f\left(u\left(x\right)\right)u^{\prime }\left(x\right)dx=F\left(u\left(x\right)\right)+C$

Hệ quả: $\int f\left(ax+b\right)dx=\frac{1}{a}F\left(ax+b\right)+C\left(a\ne 0\right)$

b. Phương pháp tính nguyên hàm từng phần

Định lý 2: Nếu hai hàm số $u=u\left(x\right)$ và $y=v\left(x\right)$ có đạo hàm liên tục trên $K$ thì $\int u\left(x\right)v^{\prime }\left(x\right)dx=u\left(x\right)v\left(x\right)-\int u^{\prime }\left(x\right)v\left(x\right)dx$.

Chú ý: Viết gọn $\int udv=uv-\int vdu$.

Phương pháp đổi biến số

1. Kiến thức cần nhớ

– Vi phân:

$\begin{array}{l}t=u\left(x\right)\Rightarrow dt=u^{\prime }\left(x\right)dx\\ u\left(t\right)=v\left(x\right)\Rightarrow u^{\prime }\left(t\right)dt=v^{\prime }\left(x\right)dx\end{array}$

– Công thức đổi biến:

$\int f\left[u\left(x\right)\right]u^{\prime }\left(x\right)dx=\int f\left(t\right)dt$ $=F\left(t\right)+C=F\left(t\left(x\right)\right)+C$

2. Một số dạng toán thường gặp

Dạng 1: Tính nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến $t=u\left(x\right)$.

– Bước 1: Đặt $t=u\left(x\right)$, trong đó $u\left(x\right)$ là hàm được chọn thích hợp.

– Bước 2: Tính vi phân $dt=u^{\prime }\left(x\right)dx$.

– Bước 3: Biến đổi $f\left(x\right)dx$ thành $g\left(t\right)dt$.

– Bước 4: Tính nguyên hàm: $\int f\left(x\right)dx=\int g\left(t\right)dt$ $=G\left(t\right)+C=G\left(u\left(x\right)\right)+C$.

Ví dụ: Tính nguyên hàm $\int 2x\sqrt{x^2+1}dx$.

Giải:

Đặt $t=\sqrt{x^2+1}\Rightarrow t^2=x^2+1$ $\Rightarrow 2tdt=2xdx$.

Do đó: $\int 2x\sqrt{x^2+1}dx=\int \sqrt{x^2+1}.2xdx$ $=\int t.2tdt=\int 2t^{2}dt=\frac{2}{3}{t}^3+C$ $=\frac{2}{3}\sqrt{{\left(x^2+1\right)}^3}+C$.

Dạng 2: Tính nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến $x=u\left(t\right)$.

– Bước 1: Đặt $x=u\left(t\right)$, trong đó $u\left(t\right)$ là hàm số ta chọn thích hợp.

– Bước 2: Lấy vi phân 2 vế $dx=u^{\prime }\left(t\right)dt$.

– Bước 3: Biến đổi $f\left(x\right)dx=f\left(u\left(t\right)\right).u^{\prime }\left(t\right)dt=g\left(t\right)dt$.

– Bước 4: Tính nguyên hàm theo công thức $\int f\left(x\right)dx=\int g\left(t\right)dt=G\left(t\right)+C$

Ví dụ: Cho nguyên hàm $I=\int \sqrt{1-x^2}\mathrm{d}x,x\in \left[0;\frac{\pi }{2}\right]$, nếu đặt $x=\sin t$ thì nguyên hàm $I$ tính theo biến $t$ trở thành:

A. $I=t+\sin 2t+C.$

B. $I=\frac{t}{2}+\cos 2t+C.$

C. $I=\frac{t}{2}+\frac{\sin 2t}{4}+C.$

D. $I=\frac{t}{2}-\frac{\cos 2t}{4}+C.$

Giải:

Đặt $x=\sin t\iff dx=\cos tdt$ và $1-x^2=1-{\sin }^{2}t={\cos }^{2}t$

Suy ra

$\begin{array}{l}\int \sqrt{1-x^2}\mathrm{d}x=\int \sqrt{{\cos }^{2}t}\cos t\mathrm{d}t=\int {\cos }^{2}t\mathrm{d}t=\int \frac{1+\cos 2t}{2}\mathrm{d}t\\ =\int \left(\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cos 2t\right)\mathrm{d}t=\frac{t}{2}+\frac{\sin 2t}{4}+C.\end{array}$

(Vì $x\in \left[0;\frac{\pi }{2}\right]\Rightarrow \cos x>0$ $\Rightarrow \sqrt{{\cos }^{2}x}=\cos x$)

Vậy $I=\frac{t}{2}+\frac{\sin 2t}{4}+C.$

Chọn C.

Các dấu hiệu thường dùng phương pháp đổi biến trên là:

Phương pháp từng phần

1. Kiến thức cần nhớ

– Công thức nguyên hàm từng phần: $\int udv=uv-\int vdu$

2. Bài toán

Tính nguyên hàm $\int f\left(x\right)dx=\int g\left(x\right).h\left(x\right)dx$

Phương pháp:

– Bước 1: Đặt $\{\begin{array}{l}u=g\left(x\right)\\ dv=h\left(x\right)dx\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}du=g^{\prime }\left(x\right)dx\\ v=\int h\left(x\right)dx\end{array}$ ($v\left(x\right)$ là một nguyên hàm của $h\left(x\right)$)

– Bước 2: Tính nguyên hàm theo công thức $\int f\left(x\right)dx=uv-\int vdu$

Ví dụ: Tìm nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right)=\ln x$.

Giải:

Đặt $\{\begin{array}{l}u=\ln x\\ dv=dx\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}du=\frac{1}{x}dx\\ v=x\end{array}$

Do đó $\int \ln xdx=uv-\int vdu=x.\ln x-\int x.\frac{1}{x}dx=x\ln x-\int dx=x\ln x-x+C$

3. Một số dạng toán thường gặp

Dạng 1: Hàm số logarit.

Tính nguyên hàm $\int f\left(x\right)\ln \left(ax+b\right)dx$ với $f(x)$ là một hàm đa thức.

Phương pháp:

– Bước 1: Đặt $\{\begin{array}{l}u=\ln \left(ax+b\right)\\ dv=f\left(x\right)dx\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}du=\frac{a}{ax+b}dx\\ v=\int f\left(x\right)dx\end{array}$

– Bước 2: Tính nguyên hàm theo công thức $\int f\left(x\right)\ln \left(ax+b\right)dx=uv-\int vdu$

Ví dụ: Tìm nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right)=x\ln x$

Giải: Ta có $F\left(x\right)=\int f\left(x\right)dx=\int x\ln xdx$.

Đặt $\{\begin{array}{l}u=\ln x\\ dv=xdx\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}du=\frac{dx}{x}\\ v=\frac{x^2}{2}\end{array}$

Theo công thức tính nguyên hàm từng phần, ta có:

$F\left(x\right)=\frac{1}{2}{x}^2\ln x-\frac{1}{2}\int xdx=\frac{1}{2}{x}^2\ln x-\frac{1}{4}{x}^2+C$

Dạng 2: Hàm số mũ.

Tính nguyên hàm $\int f\left(x\right)e^{ax+b}dx$ với $f(x)$ là một hàm đa thức.

Phương pháp:

– Bước 1: Đặt $\{\begin{array}{l}u=f\left(x\right)\\ dv=e^{ax+b}dx\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}du=f^{\prime }\left(x\right)dx\\ v=\frac{1}{a}{e}^{ax+b}\end{array}$

– Bước 2: Tính nguyên hàm theo công thức $\int f\left(x\right)e^{ax+b}dx=uv-\int vdu$

Ví dụ: Tính $I=\int x{e}^x\mathrm{d}x$

Giải:

Đặt $\{\begin{array}{l}u=x\\ dv=e^{x}dx\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}du=dx\\ v=e^x\end{array}$

Theo công thức tính nguyên hàm từng phần, ta có

$I=\int x{e}^{x}dx=x{e}^x-\int e^{x}dx$$=x{e}^x-\int d\left(e^x\right)=x{e}^x-e^x+C$

Dạng 3: Hàm số lượng giác và hàm đa thức.

Tính nguyên hàm $\int f\left(x\right)\sin \left(ax+b\right)dx$ hoặc $\int f\left(x\right)\cos \left(ax+b\right)dx$.

Phương pháp:

– Bước 1: Đặt $\{\begin{array}{l}u=f\left(x\right)\\ dv=\sin \left(ax+b\right)dx\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}du=f^{\prime }\left(x\right)dx\\ v=-\frac{1}{a}\cos \left(ax+b\right)\end{array}$ hoặc $\{\begin{array}{l}u=f\left(x\right)\\ dv=\cos \left(ax+b\right)dx\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}du=f^{\prime }\left(x\right)dx\\ v=\frac{1}{a}\sin \left(ax+b\right)\end{array}$

– Bước 2: Tính nguyên hàm theo công thức $\int f\left(x\right)\sin \left(ax+b\right)dx=uv-\int vdu$ hoặc $\int f\left(x\right)\cos \left(ax+b\right)dx=uv-\int vdu$

Ví dụ: Tính $I=\int x\sin xdx$

Giải:

Đặt $\{\begin{array}{l}u=x\\ dv=\sin xdx\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}du=dx\\ v=-\cos x\end{array}$

Theo công thức nguyên hàm từng phần ta có:

$I=-x\cos x+\int \cos xdx=-x\cos x+\sin x+C$

Dạng 4: Hàm số lượng giác và hàm số mũ.

Tính nguyên hàm $\int e^{ax+b}\sin \left(cx+d\right)dx$ hoặc $\int e^{ax+b}\cos \left(cx+d\right)dx$.

– Bước 1: Đặt $\{\begin{array}{l}u=\sin \left(cx+d\right)\\ dv=e^{ax+b}dx\end{array}$  hoặc $\{\begin{array}{l}u=\cos \left(cx+d\right)\\ dv=e^{ax+b}dx\end{array}$

– Bước 2: Tính nguyên hàm theo công thức $uv-\int vdu$.

Lưu ý:

– Đối với dạng toán này, ta cần thực hiện hai lần nguyên hàm từng phần.

– Ở bước 1 ta cũng có thể đổi lại đặt $\{\begin{array}{l}u=e^{ax+b}\\ dv=\sin \left(cx+d\right)dx\end{array}$ hoặc $\{\begin{array}{l}u=e^{ax+b}\\ dv=\cos \left(cx+d\right)dx\end{array}$

Ví dụ: Tính nguyên hàm $I=\int \sin x.e^x\mathrm{d}x$

Giải:

Đặt $\{\begin{array}{l}u=\sin x\\ dv=e^{x}dx\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}du=\cos xdx\\ v=e^x\end{array}$.

Khi đó $I=e^x\sin x-\int \cos x{e}^{x}dx=e^x\sin x-J$

Tính $J=\int \cos x{e}^{x}dx$. Đặt $\{\begin{array}{l}u=\cos x\\ dv=e^{x}dx\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}du=-\sin xdx\\ v=e^x\end{array}$

Suy ra $J=e^x\cos x+\int \sin x{e}^{x}dx=e^x\cos x+I.$

Do đó $I=e^x\sin x-J=e^x\sin x-\left(e^x\cos x+I\right)\iff 2I=e^x\sin x-e^x\cos x$

Vậy $I=\frac{1}{2}\left(e^x\sin x-e^x\cos x\right)+C$

Nếu biểu thức dưới dấu tích phân có các hàm số sau thì thứ tự ưu tiên để đặt u là:

Lôgarit >> Hàm đa thức >> Hàm mũ >> Hàm lượng giác

Bài giảng Toán học 12 Bài 1 : Nguyên hàm