Tìm số chữ số của một lũy thừa bằng máy tính môn Toán lớp 12

Mời các quý thầy cô và các em học sinh cùng tham khảo và tải về chi tiết tài liệu dưới đây:

Bài giảng Toán học 12 Bài 2: Hàm số lũy thừa

1) BÀI TOÁN MỞ ĐẦU
Hôm nay tôi lại nhận được 3 bài toán của thầy BìnhKami, 3 bài toán này liên quan đến so sánh 2 lũy thừa cùng cơ số.
Bài toán 1 : So sánh 2 lũy thừa ${32}^{10} \mathrm{và} {16}^{15}$
Bài toán 2 : So sánh 2 lũy thừa $2^{100} \mathrm{và} 3^{70}$
Bài toán 3 : So sánh 2 lũy thừa $2^{2017}–5^{999}$

Đối với bài toán số 1 thì tôi đã biết cách làm rồi, cơ số 32 và cơ số 16 đều có thể đưa về cơ số 2, vậy ${32}^{10}=2^{5.10}=2^{50} \mathrm{và} {16}^{15}=2^{4.5}=2^{60}. \mathrm{Vậy} {32}^{10}<{16}^{15}$

Đối với bài số 2 không thể đưa về cùng cơ số 2 hay 3 vì vậy tôi dùng sự trợ giúp của máy tính Casio, tôi sẽ thiết lập$2^{100}–3^{70} \mathrm{nếu} \mathrm{kết} \mathrm{quả} \mathrm{ra} \mathrm{một} \mathrm{giá} \mathrm{trị} \mathrm{dương} \mathrm{thì} 2^{100}>3^{70} , \mathrm{thật} \mathrm{đơn} \mathrm{giản} \mathrm{phải} \mathrm{không} !!\mathrm{Hay} \mathrm{quá} \mathrm{ra} \mathrm{một} \mathrm{giá} \mathrm{trị} \mathrm{âm}, \mathrm{vậy} \mathrm{có} \mathrm{nghĩa} \mathrm{là} 2^{100} <3^{70} \mathrm{Tương} \mathrm{tự} \mathrm{như} \mathrm{vậy} \mathrm{tôi} \mathrm{sẽ} \mathrm{làm} \mathrm{bài} \mathrm{toán} \mathrm{số} 3 \mathrm{bằng} \mathrm{cách} \mathrm{nhập} \mathrm{hiệu} 2^{2017}–3^{70} \mathrm{vào} \mathrm{máy} \mathrm{tính} \mathrm{Casio}$

Để so sánh 2 lũy thừa có giá trị quá lớn mà máy tính Casio không tính được thì chúng ta phải sử dụng một thủ thuật, tôi gọi tắt là BSS. Thủ thuật BSS dựa trên một nguyên tắc so sánh như sau : Nếu số A có n +1 chữ số thì luôn lớn hơn số B có nchữ số .
Ví dụ như số 1000 có 4 chữ số sẽ luôn lớn hơn số 999 có 3 chữ số.
Vậy tôi sẽ xem 2107 2 và 999 5 thì lũy thừa nào có số chữ số nhiều hơn là xong.
Để làm được việc này tôi sẽ sử dụng máy tính Casio nhưng với tính năng cao cấp hơn, các bạn quan sát 

2)VÍ DỤ MINH HỌA
VD1-[Bài toán số nguyên tố Mersenne] Đầu năm 2016, Curtis Cooper và các cộng sự nhóm nghiên cứu Đại học Central Mis-souri, Mỹ vừa công bố số nguyên tố lớn nhất tại thời điểm đó. Số nguyên tố này là một số có giá trị bằng M=$2^{74207281}–1$ . Hỏi số M có bao nhiêu chữ số.
 A. 2233862 B. 22338618 C. 22338617 D. 2233863

GIẢI
$\mathrm{Ta} \mathrm{có}: \mathrm{M}=2^{742007281}–1 \iff \mathrm{M}+1=2^{742007821}\iff \mathrm{M}+1={10}^{\mathrm{k} }\iff \mathrm{k}=\log 2^{74207281} \mathrm{và} \mathrm{chữ} \mathrm{số} \mathrm{là} \mathrm{k}+1$

Vậy M +1 có số chữ số là 22338618
 Ta nhận thấy M +1 có 22338618 chữ số, vậy M có bao nhiêu chữ số ? Liệu vẫn là 22338618 chữ số hay suy biến còn 22338617 chữ số.
 Câu trả lời là không suy biến vì M là lũy thừa bậc của 2 nên tận cùng chỉ cóthể là 2, 4, 8, 6 nên khi trừ đi 1 đơn vị vẫn không bị suy biến
Vậy ta chọn B là đáp án chính xác.

Xem thêm