Giải SGK Toán 7 Bài 15 (Kết nối tri thức): Các trường hợp bằng nhau của tam giác vuông

Giải bài tập Toán lớp Bài 15: Các trường hợp bằng nhau của tam giác vuông

Video bài giảng Các trường hợp bằng nhau của tam giác vuông – Kết nối tri thức

Giải Toán 7 trang 75 Tập 1

1. Ba trường hợp bằng nhau của tam giác vuông

HĐ 1 trang 75 Toán lớp 7: Hai tam giác vuông ABC (vuông tại đỉnh A) và A’B’C’ (vuông tại đỉnh A’) có các cặp cạnh góc vuông bằng nhau: AB = A’B’, AC = A’C’ (H.4.45). Dựa vào trường hợp bằng nhau cạnh – góc – cạnh của hai tam giác, hãy giải thích vì sao hai tam giác vuông ABC và ABC bằng nhau.

Phương pháp giải:

Chứng minh hai cạnh và góc xen giữa của hai tam giác trên bằng nhau.

Lời giải:

Xét 2 tam giác ABC và A’B’C có:

AB=A’B’

$\hat{A}=\widehat{A^{\prime }}$

AC=A’C’

$\Rightarrow \mathrm{\Delta }ABC=\mathrm{\Delta }{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$(c.g.c)

Giải Toán 7 trang 76 Tập 1

HĐ 2 trang 76 Toán lớp 7: Hai tam giác vuông ABC (vuông tại đỉnh A) và ABC vuông tại đỉnh A) có tương ứng một cạnh góc vuông và một góc nhọn kề với cạnh ấy bằng nhau: AB = A’B’, $\hat{B}=\widehat{B^{\prime }}$ (H.4.46). Dựa vào trường hợp bằng nhau góc cạnh – góc của hai tam giác, hãy giải thích vì sao hai tam giác vuông ABC và ABC bằng nhau.

Phương pháp giải:

Chứng minh 2 tam giác bằng nhau theo trường hợp góc – cạnh – góc.

Lời giải:

Xét 2 tam giác ABC và A’B’C’ có:

$\hat{B}=\widehat{B^{\prime }}$

AB=A’B’

$\hat{A}=\widehat{A^{\prime }}$

$\Rightarrow \mathrm{\Delta }ABC=\mathrm{\Delta }{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$(g.c.g)

Luyện tập 1 trang 76 Toán lớp 7: Quay lại tình huống mở đầu, ta thấy mỗi chiếc cột với bóng của nó tạo thành hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông. Hai tam giác vuông này có hai cặp cạnh tương ứng bằng nhau và hai góc ở đỉnh chiếc cột của hai tam giác vuông này cũng bằng nhau. Vậy lí do mà bạn Tròn đưa ra có đúng không?

Phương pháp giải:

Áp dụng trường hợp bằng nhau của tam giác vuông.

Lời giải:

Lí do mà bạn Tròn đưa ra là đúng. Vì hai tam giác vuông này bằng nhau ( g-c-g)

HĐ 3 trang 76 Toán lớp 7: Hình 4.47 mô phỏng chiều dài và độ dốc của hai con dốc bởi các đường thẳng BC, B’C’ và các góc B, B’. Khi đó AC, A’C’ mô tả độ cao của hai con dốc.

a) Dựa vào trường hợp bằng nhau góc – cạnh – góc của hai tam giác, hãy giải thích vì sao hai tam giác vuông ABC và A’B’C’ bằng nhau.

b) So sánh độ cao của hai con dốc.

Phương pháp giải:

a)      Chứng minh hai tam giác bằng nhau theo trường hợp cạnh huyền – góc nhọn

b)      Chứng minh AC=A’C’

Lời giải:

a)Xét hai tam giác vuông ABC và A’B’C’ có:

BC=B’C’

$\widehat{ABC}=\widehat{A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }}$

$\Rightarrow \mathrm{\Delta }ABC=\mathrm{\Delta }{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$(cạnh huyền – góc nhọn)

b)Do $\mathrm{\Delta }ABC=\mathrm{\Delta }{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ nên AC=A’C’ ( 2 cạnh tương ứng)

Vậy độ cao hai con dốc bằng nhau.

Giải Toán 7 trang 77 Tập 1

Câu hỏi trang 77 Toán lớp 7: Trong Hình 4.48, hãy tìm các cặp tam giác vuông bằng nhau và giải thích vì sao chúng bằng nhau.

Phương pháp giải:

Chứng minh ba cặp tam giác vuông bằng nhau theo các trường hợp bằng nhau đã học.

Lời giải:

+)Xét hai tam giác vuông ABC và XYZ có:

$\hat{A}=\hat{X}(={90}^{\circ })$

AC=XZ

$\hat{C}=\hat{Z}$

$\Rightarrow \mathrm{\Delta }ABC=\mathrm{\Delta }XYZ$ (cạnh góc vuông và góc nhọn kề nó)

+)Xét hai tam giác vuông DEF và GHK có:

$EF=HK$

$\widehat{EFD}=\widehat{GKH}$

$\Rightarrow \mathrm{\Delta }DEF=\mathrm{\Delta }GHK$ (cạnh huyền – góc nhọn)

+)Xét hai tam giác vuông MNP và RTS có:

$MN=TR$

$\hat{R}=\hat{M}(={90}^{\circ })$$\hat{R}=\hat{M}(={90}^{\circ })$

$PM=SR$

$\Rightarrow \mathrm{\Delta }MNP=\mathrm{\Delta }RTS$ (c.g.c)

Luyện tập 2 trang 77 Toán lớp 7: Cho Oz là tia phân giác của góc xOy. Lấy điểm M trên tia Oz và hai điểm A, B lần lượt trên các tia Ox, Oy sao cho MA vuông góc với Ox, MB vuông góc với Oy(H.4.50). Chứng minh rằng MA = MB.

Phương pháp giải:

Chứng minh hai tam giác OBM và OAM bằng nhau.

Lời giải:

Xét hai tam giác vuông OBM và OAM có:

OM chung

$\widehat{BOM}=\widehat{AOM}$

$\Rightarrow \mathrm{\Delta }AOM=\mathrm{\Delta }BOM$(cạnh huyền – góc nhọn)

Suy ra MA=MB ( 2 cạnh tương ứng)

Giải Toán 7 trang 78 Tập 1

2. Trường hợp bằng nhau đặc biệt của tam giác vuông

HĐ 4 trang 78 Toán lớp 7: Vẽ tam giác vuông ABC có A = 90°, AB = 3 cm, BC = 5 cm theo các bước sau:

• Dùng thước thẳng có vạch chia vẽ đoạn thẳng AB = 3 cm.

• Vẽ tia Ax vuông góc với AB và cung tròn tâm B bán kính 5 cm như Hình 4.51.

Cung tròn cắt tia Ax tại điểm C.

•Vẽ đoạn thẳng BC ta được tam giác ABC.

Phương pháp giải:

Vẽ tam giác theo các bước hướng dẫn.

Lời giải:

HĐ 5 trang 78 Toán lớp 7: Tương tự, vẽ thêm tam giác A’B’C’ có A’ = 90°, A’B’ = 3 cm, B’C’ = 5 cm.

a) Dùng thước thẳng có vạch chia hoặc compa kiểm tra xem AC có bằng A’C’ không?

b) Hai tam giác ABC và A’B’C’ có bằng nhau không?

Phương pháp giải:

Dùng thước thẳng hoặc compa kiểm tra.

Lời giải:

a) Dùng thước thẳng có vạch chia hoặc compa kiểm tra được AC = A’C’

b) Hai tam giác ABC và A’B’C’ có bằng nhau vì 3 cặp cạnh đều bằng nhau

Câu hỏi trang 78 Toán lớp 7: Hãy chỉ ra các cặp tam giác vuông bằng nhau dưới đây.

Phương pháp giải:

Nếu cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông này bằng cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau.

Lời giải:

Các cặp tam giác vuông bằng nhau là:

+ Tam giác ABC và tam giác GHK

+ Tam giác DEF và tam giác MNP

Giải Toán 7 trang 79 Tập 1

Luyện tập 3 trang 79 Toán lớp 7: Cho ba điểm A, B, C nằm trên đường tròn tâm O và các điểm M, N, P như Hình 4.54. Hãy chỉ ra ba cặp tam giác vuông bằng nhau trong hình.

Phương pháp giải:

Quan sát hình vẽ và chỉ ra 3 cặp tam giác vuông bằng nhau

Lời giải:

Ba cặp tam giác vuông bằng nhau có trong hình vẽ là:

+ Tam giác OMB và tam giác OMC

+ Tam giác ONA và tam giác ONC

+ Tam giác OPA và tam giác OPB

Thử thách nhỏ trang 79 Toán lớp 7: Có hai chiếc thang dài như nhau được dựa vào một bức tường với cùng độ cao BH = B’H’ như Hình 4.55. Các góc BAH và B’A’H có bằng nhau không? Vì sao?

Phương pháp giải:

Chứng minh hai tam giác BAH và B’A’H’ bằng nhau, từ đó suy ra 2 góc bằng nhau.

Lời giải:

Xét hai tam giác BAH và B’A’H’ có:

AB=A’B’

BH=B’H’

Suy ra $\mathrm{\Delta }BAH=\mathrm{\Delta }{B}^{\prime }{A}^{\prime }{H}^{\prime }$ ( cạnh huyền – cạnh góc vuông)

=>$\widehat{BAH}=\widehat{B^{\prime }{A}^{\prime }H}$(hai góc tương ứng).

Bài tập

Bài 4.20 trang 79 Toán lớp 7: Mỗi hình sau có các cặp tam giác vuông nào bằng nhau? Vì sao?

Phương pháp giải:

Áp dụng các trường hợp bằng nhau của 2 tam giác vuông để chứng minh các cặp tam giác trên bằng nhau.

Lời giải:

a)      Xét 2 tam giác vuông ABC và ADC có:

$\widehat{ACB}=\widehat{ACD}(={90}^{\circ })$

AC chung

$\widehat{BAC}=\widehat{DAC}$(gt)

=>$\mathrm{\Delta }ABC=\mathrm{\Delta }ADC$(g.c.g)

b) Xét 2 tam giác vuông HEG và GFH có:

HE=GF(gt)

HG chung

=>$\mathrm{\Delta }HEG=\mathrm{\Delta }GFH$(c.h-c.g.v)

c) Xét 2 tam giác vuông QMK và NMP có:

QK=NP

$\hat{K}=\hat{P}$

=>$\mathrm{\Delta }QMK=\mathrm{\Delta }NMP$(cạnh huyền – góc nhọn)

d) Xét 2 tam giác vuông VST và UTS có:

VS=UT

ST chung

=>$\mathrm{\Delta }VST=\mathrm{\Delta }UTS$(c.g.c)

Bài 4.21 trang 79 Toán lớp 7: Cho hình 4.56, biết AB=CD, $\widehat{BAC}=\widehat{BDC}={90}^o$. Chứng minh rằng $\mathrm{\Delta }ABE=\mathrm{\Delta }DCE$.

Phương pháp giải:

Chứng minh 2 tam giác vuông AEB và DEC bằng nhau theo trường hợp góc – cạnh – góc

Lời giải:

Vì tổng 3 góc trong 1 tam giác luôn bằng 180 độ.

Xét hai tam giác AED và DEC có:

$\widehat{AEB}=\widehat{DEC}$(đối đỉnh) và $\widehat{BAC}=\widehat{BDC}={90}^o$.

Suy ra: $\widehat{AEB}=\widehat{DEC}$

Xét 2 tam giác vuông AEB và DEC có:

AB=DC

$\widehat{AEB}=\widehat{DEC}$

=>$\mathrm{\Delta }AEB=\mathrm{\Delta }DEC$(g.c.g)

Bài 4.22 trang 79 Toán lớp 7: Cho hình chữ nhật ABCD, M là trung điểm của cạnh BC. Chứng minh rằng $\mathrm{\Delta }ABM=\mathrm{\Delta }DCM$.

Phương pháp giải:

Chứng minh 2 tam giác bằng nhau theo trường hợp cạnh – góc – cạnh.
 

Lời giải:

Xét 2 tam giác vuông ABM và DCM có:

AB=DC (tính chất hình chữ nhật)

BM=CM (gt)

=>$\mathrm{\Delta }ABM=\mathrm{\Delta }DCM$(c.g.c)

Xem thêm các bài giải SGK Toán lớp 7 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Luyện tập chung trang 74

Bài 16: Tam giác cân. Đường trung trực của đoạn thẳng

Luyện tập chung trang 85

Bài tập cuối chương 4