Giải SGK Toán 7 Bài 3 (Chân trời sáng tạo): Tam giác cân

Giải bài tập Toán lớp 7 Bài 3: Tam giác cân

Hoạt động khởi động

Giải Toán 7 trang 59 Tập 2

Khởi động trang 59 Toán lớp 7 Tập 2: Em hãy đo rồi so sánh độ dài hai cạnh AB và AC của tam giác ABC có trong hình di tích ga xe lửa Đà Lạt dưới đây.

Em hãy đo rồi so sánh độ dài hai cạnh AB và AC của tam giác ABC

Lời giải:

Thực hiện đo ta thu được AB = 1 cm, AC = 1 cm nên AB = AC.

1. Tam giác cân

Khám phá 1 trang 59 Toán lớp 7 Tập 2: Gấp đôi một tờ giấy hình chữ nhật ABCD theo đường gấp MS. Cắt hình gấp được theo đường chéo AS rồi trải phẳng hình cắt được ra ta có tam giác SAB (Hình 1). Em hãy so sánh hai cạnh SA và SB của tam giác này.

Gấp đôi một tờ giấy hình chữ nhật ABCD theo đường gấp MS

Lời giải:

Thực hiện theo hướng dẫn và đo, ta thu được SA = SB.

Giải Toán 7 trang 60 Tập 2

Thực hành 1 trang 60 Toán lớp 7 Tập 2: Tìm các tam giác cân trong Hình 4. Kể tên các cạnh bên, cạnh đáy, góc ở đỉnh, góc ở đáy của mỗi tam giác cân đó.

Tìm các tam giác cân trong Hình 4. Kể tên các cạnh bên, cạnh đáy, góc ở đỉnh

Lời giải:

Ta có MN = ME + EN = 1 + 1 = 2 cm; MP = MF + FP = 1 + 1 = 2 cm.

Tam giác MEF có ME = MF = 1 cm nên tam giác MEF cân tại M.

Tam giác MEF cân tại M nên ME và MF là cạnh bên, EF là cạnh đáy, $\hat{E M F}$ là góc ở đỉnh, $\hat{M E F}$ >và $\hat{M F E}$ là góc ở đáy.

Tam giác MNP có MN = MP = 2 cm nên tam giác MNP cân tại M.

Tam giác MNP cân tại M nên MN và MP là cạnh bên, NP là cạnh đáy, $\hat{N M P}$ là góc ở đỉnh, $\hat{M N P}$ và $\hat{M P N}$ là góc ở đáy.

Tam giác MPH có MP = MH = 2 cm nên tam giác MPH cân tại M.

Tam giác MPH cân tại M nên MP và MH là cạnh bên, PH là cạnh đáy, $\hat{P M H}$ là góc ở đỉnh, $\hat{M P H}$ và $\hat{M H P}$ là góc ở đáy.

2. Tính chất của tam giác cân

Khám phá 2 trang 60 Toán lớp 7 Tập 2: Cho tam giác ABC cân tại A (Hình 5). Gọi M là trung điểm cạnh BC. Nối A với M.

Em hãy làm theo gợi ý sau để chứng minh $\hat{A B C} = \hat{A C B}$ .

Xét $Δ A M B$ và $Δ A M C$ có:

AB = ? (?)

MB = MC (?)

AM là cạnh ?

Vậy $△$ AMB = $△$ AMC (c.c.c).

Suy ra $\hat{A B C} = \hat{A C B}$ .

Cho tam giác ABC cân tại A (Hình 5). Gọi M là trung điểm cạnh BC

Lời giải:

Xét $△$ AMB và $△$ AMC có:

AB = AC (do $△$ ABC cân tại A)

MB = MC (do M là trung điểm của BC)

AM là cạnh chung

Vậy $△$ AMB = $△$ AMC (c.c.c).

Suy ra $\hat{A B C} = \hat{A C B}$ .

Giải Toán 7 trang 61 Tập 2

Thực hành 2 trang 61 Toán lớp 7 Tập 2: Tìm số đo các góc chưa biết của mỗi tam giác trong Hình 7.

Tìm số đo các góc chưa biết của mỗi tam giác trong Hình 7

Lời giải:

Tam giác MNP có MN = MP nên tam giác MNP cân tại M.

Do đó $\hat{M N P} = \hat{M P N} = 70 °$ .

Trong tam giác MNP: $\hat{N M P} = 180 ° - \hat{M N P} - \hat{M P N} = 180 ° - 70 ° - 70 ° = 40 °$ .

Tam giác EFH có EF = EH nên tam giác EFH cân tại E.

Do đó $\hat{E F H} = \hat{E H F}$ .

Trong tam giác EFH: $\hat{F E H} + \hat{E F H} + \hat{E H F} = 180 °$ .

Suy ra $2 \hat{E F H} = 180 ° - \hat{F E H} = 180 ° - 70 ° = 110 °$ .

Do đó $\hat{E F H} = \hat{E H F} = 55 °$ .

Vậy $\hat{M}$ = 40°; $\hat{P}$ = 70°; $\hat{F} = \hat{H}$ = 55°.

Vận dụng 1 trang 61 Toán lớp 7 Tập 2: Trong hình mái nhà ở Hình 8, tính góc B và góc C, biết $\hat{A} = 110 °$ .

Trong hình mái nhà ở Hình 8, tính góc B và góc C, biết góc A = 110 độ

Lời giải:

Tam giác ABC có AB = AC nên tam giác ABC cân tại A.

Do đó $\hat{B} = \hat{C}$ .

Trong tam giác ABC: $\hat{A} + \hat{B} + \hat{C} = 180 °$ .

Suy ra $2 \hat{B} = 180 ° - \hat{A} = 180 ° - 110 ° = 70 °$ .

Do đó $\hat{B} = \hat{C} = 35 °$ .

Khám phá 3 trang 61 Toán lớp 7 Tập 2: Cho tam giác ABC có $\hat{A} = \hat{C}$ . Vẽ đường thẳng đi qua điểm B, vuông góc với AC và cắt AC tại điểm H (Hình 9). Em hãy làm theo gợi ý sau để chứng minh BA = BC.

Xét $Δ A H B$ và $Δ C H B$ cùng vuông tại H, ta có:

BH là cạnh góc vuông ?;

$\hat{H A B} = \hat{H C B}$ suy ra $\hat{A B H} = \hat{C B H}$ (?).

Vậy $△$ AHB = $△$ CHB. Suy ra BA = BC.

Toán 7 Bài 3: Tam giác cân (ảnh 7)

Lời giải:

Xét $Δ A H B$ và $Δ C H B$ cùng vuông tại H, ta có:

BH là cạnh góc vuông chung;

$\hat{H A B} = \hat{H C B}$ suy ra $\hat{A B H} = \hat{C B H}$ (do $\hat{A B H} = 90 ° - \hat{H A B}$ và $\hat{C B H} = 90 ° - \hat{H C B}$ ).

Vậy $Δ A H B = Δ C H B$ . Suy ra BA = BC.

Giải Toán 7 trang 62 Tập 2

Thực hành 3 trang 62 Toán lớp 7 Tập 2: Tìm các tam giác cân trong Hình 11 và đánh dấu các cạnh bằng nhau.

Tìm các tam giác cân trong Hình 11 và đánh dấu các cạnh bằng nhau

Lời giải:

Tam giác ABC có $\hat{A B C} = \hat{A C B} = 68 °$ nên tam giác ABC cân tại A.

Do đó AB = AC.

Tam giác MNP vuông tại N nên $\hat{N P M} = 90 ° - \hat{N M P} = 90 ° - 45 ° = 45 °$ (trong tam giác vuông, tổng hai góc nhọn bằng $90 °$ ).

Tam giác MNP có $\hat{N M P} = \hat{N P M} = 45 °$ nên tam giác MNP cân tại N.

Do đó NM = NP.

Tam giác EFG có $\hat{E} = 35 °$ , $\hat{G} = 27 °$ , $\hat{F}$ là góc tù nên tam giác EFG không có hai góc nào bằng nhau.

Do đó tam giác EFG không phải tam giác cân.

Ta có hình vẽ sau:

Tìm các tam giác cân trong Hình 11 và đánh dấu các cạnh bằng nhau

Vận dụng 2 trang 62 Toán lớp 7 Tập 2: Cho tam giác ABC cân tại A có góc B bằng 60°.

Chứng minh rằng tam giác ABC đều.

Cho tam giác ABC cân tại A có góc B bằng 60 độ.

Lời giải:

Tam giác ABC cân tại A nên AB = AC và $\hat{B} = \hat{C} = 60 °$ .

Tam giác ABC có: $\hat{A} = 180 ° - \hat{B} - \hat{C} = 180 ° - 60 ° - 60 ° = 60 °$ .

Tam giác ABC có $\hat{B} = \hat{A}$ nên tam giác ABC cân tại C.

Do đó CA = CB.

Mà AB = AC nên AB = AC = BC.

Vậy tam giác ABC là tam giác đều.

Bài tập (trang 62, 63)

Bài 1 trang 62 Toán lớp 7 Tập 2: Tìm các tam giác cân và tam giác đều trong mỗi hình sau (Hình 13). Giải thích.

Tìm các tam giác cân và tam giác đều trong mỗi hình sau (Hình 13)

Lời giải:

+) Xét Hình 13a:

$Δ A M C$ có AM = MC nên $Δ A M C$ cân tại M.

$Δ A B M$ có AB = AM = BM nên $Δ A B M$ đều.

+) Xét Hình 13b:

$Δ D E H$ có DE = DH nên $Δ D E H$ cân tại D.

$Δ G E F$ có GE = GF nên $Δ G E F$ cân tại G.

$Δ E H F$ có EH = EF nên $Δ E H F$ cân tại E.

Do đó các tam giác cân: $Δ D E H$ , $Δ G E F$ , $Δ E H F$ .

$Δ E D G$ có DE = EG = DG nên $Δ E D G$ đều.

+) Xét Hình 13c:

$Δ E G H$ có EG = EH nên $Δ E G H$ cân tại E.

$Δ I G H$ có IG = IH nên $Δ I G H$ cân tại I.

$Δ I G H$ cân có $\hat{G I H} = 60 °$ nên $Δ I G H$ đều.

+) Xét Hình 13d:

Trong tam giác MBC có: $\hat{B} = 180 ° - \hat{M} - \hat{C} = 180 ° - 71 ° - 38 ° = 71 °$ .

Tam giác MBC có $\hat{M} = \hat{B}$ nên tam giác MBC cân tại C.

Bài 2 trang 62 Toán lớp 7 Tập 2: Cho Hình 14, biết ED = EF và EI là tia phân giác của $\hat{D E F}$ .

Cho Hình 14, biết ED = EF và EI là tia phân giác của góc DEF

Chứng minh rằng:

a) $Δ E I D = Δ E IF$ .

b) Tam giác DIF cân.

Lời giải:

a) Do EI là tia phân giác của $\hat{D E F}$ nên $\hat{D E I} = \hat{F E I}$ .

Xét $Δ E I D$ và $Δ E I F$ có:

ED = EF (theo giả thiết).

$\hat{D E I} = \hat{F E I}$ (chứng minh trên).

EI chung.

Do đó $Δ E I D = Δ E I F$ (c.g.c).

b) Do $Δ E I D = Δ E I F$ (c.g.c) nên ID = IF (2 cạnh tương ứng).

Tam giác DIF có ID = IF nên tam giác DIF cân tại I.

Giải Toán 7 trang 63 Tập 2

Bài 3 trang 63 Toán lớp 7 Tập 2: Cho tam giác ABC cân tại A có $\hat{A} = 56 °$ (Hình 15).

Cho tam giác ABC cân tại A có góc A = 56 độ

a) Tính $\hat{B}, \hat{C}$ .

b) Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, AC. Chứng minh rằng tam giác AMN cân.

c) Chứng minh rằng MN // BC.

Lời giải:

a) Tam giác ABC cân tại A nên $\hat{A B C} = \hat{A C B}$ .

Trong tam giác ABC có: $\hat{A B C} + \hat{A C B} = 180 ° - \hat{B A C}$ .

Do đó $2 \hat{A B C} = 180 ° - 56 ° = 124 °$ .

Suy ra $\hat{A B C} = \hat{A C B} = 62 °$ .

b) Do M là trung điểm của AB nên AM = $\frac{1}{2}$ AB.

Do N là trung điểm của AC nên AN = $\frac{1}{2}$ AC.

Do tam giác ABC cân tại A nên AB = AC.

Do đó AM = AN.

Tam giác AMN có AM = AN nên tam giác AMN cân tại A.

c) Do tam giác AMN cân tại A nên $\hat{A M N} = \hat{A N M}$ .

Trong tam giác AMN có: $\hat{A M N} + \hat{A N M} = 180 ° - \hat{N A M}$ .

Do đó $2 \hat{A M N} = 180 ° - 56 ° = 124 °$ .

Suy ra $\hat{A M N} = \hat{A N M} = 62 °$ .

Khi đó $\hat{A B C} = \hat{A M N} = 62 °$ .

Mà hai góc này ở vị trí đồng vị nên MN // BC.

Bài 4 trang 63 Toán lớp 7 Tập 2: Cho tam giác ABC cân tại A (Hình 16). Tia phân giác của góc B cắt AC tại F, tia phân giác của góc C cắt AB tại E.

Cho tam giác ABC cân tại A (Hình 16). Tia phân giác của góc B cắt AC tại F

a) Chứng minh rằng $\hat{A B F} = \hat{A C E}$ .

b) Chứng minh rằng tam giác AEF cân.

c) Gọi I là giao điểm của BF và CE. Chứng minh rằng tam giác IBC và tam giác IEF là những tam giác cân.

Lời giải:

a) Do tam giác ABC cân tại A nên AB = AC và $\hat{A B C} = \hat{A C B}$ .

Do BF là tia phân giác của $\hat{A B C}$ nên $\hat{A B F} = \hat{F B C} = \frac{1}{2} \hat{A B C}$ .

Do CE là tia phân giác của $\hat{A C B}$ nên $\hat{A C E} = \hat{E C B} = \frac{1}{2} \hat{A C B}$ .

Do đó $\hat{A B F} = \hat{A C E}$ .

b) Xét $Δ A B F$ và $Δ A C E$ có:

$\hat{A B F} = \hat{A C E}$ (chứng minh trên).

AB = AC (chứng minh trên).

$\hat{A}$ chung.

Do đó $Δ A B F = Δ A C E$ (g.c.g).

Suy ra AF = AE (2 cạnh tương ứng).

Tam giác AEF có AF = AE nên tam giác AEF cân tại A.

c) Ta có $\hat{F B C} = \hat{E C B}$ nên $\hat{I B C} = \hat{I C B}$ .

Tam giác IBC có $\hat{I B C} = \hat{I C B}$ nên tam giác IBC cân tại I.

Do đó IB = IC.

Xét $Δ E I B$ và $Δ F I C$ có:

$\hat{E I B} = \hat{F I C}$ (đối đỉnh).

IB = IC (chứng minh trên).

$\hat{E B I} = \hat{F C I}$ (chứng minh trên).

Do đó $Δ E I B = Δ F I C$ (g.c.g).

Suy ra IE = IF (2 cạnh tương ứng).

Tam giác IEF có IE = IF nên tam giác IEF cân tại I.

Bài 5 trang 63 Toán lớp 7 Tập 2: Phần thân của một móc treo quần áo có dạng hình tam giác cân (Hình 17a) được vẽ lại như Hình 17b. Cho biết AB = 20 cm; BC = 28 cm và $\hat{B} = 35 °$ . Tìm số đo các góc còn lại và chu vi của tam giác ABC.

Phần thân của một móc treo quần áo có dạng hình tam giác cân

Lời giải:

Dựa vào Hình 17b và tam giác ABC cân nên tam giác ABC cân tại A.

Do đó AB = AC và $\hat{B} = \hat{C}$ .

Khi đó AC = 20 cm và $\hat{C} = 35 °$ .

Chu vi của DABC bằng: 20 + 20 + 28 = 68 (cm).

Trong tam giác ABC có: $\hat{A} = 180 ° - \hat{B} - \hat{C} = 180 ° - 35 ° - 35 ° = 110 °$ .

Vậy $\hat{A} = 110 °$ ; $\hat{C} = 35 °$ ; chu vi của tam giác ABC bằng 68 cm.

Bài 6 trang 63 Toán lớp 7 Tập 2: Một khung cửa sổ hình tam giác có thiết kế như Hình 18a được vẽ lại như Hình 18b.

Một khung cửa sổ hình tam giác có thiết kế như Hình 18a được vẽ lại như Hình 18b

a) Cho biết ${\hat{A}}_{1} = 42 °$ . Tính số đo của ${\hat{M}}_{1}, {\hat{B}}_{1}, {\hat{M}}_{2}$ .

b) Chứng minh MN // BC, MP // AC.

c) Chứng minh bốn tam giác cân AMN, MBP, PMN, NPC bằng nhau.

Lời giải:

a) $Δ A M N$ có AM = AN nên $Δ A M N$ cân tại A.

Khi đó $\hat{A M N} = \hat{A N M}$ .

Trong tam giác AMN có: $\hat{A M N} + \hat{A N M} = 180 ° - \hat{M A N}$ .

Hay $2 {\hat{M}}_{1} = 180 ° - {\hat{A}}_{1} = 180 ° - 42 ° = 138 °$ .

Do đó ${\hat{M}}_{1} = 69 °$ .

Tam giác ABC có AB = AM + MB, AC = AN + NC.

Mà AM = AN, MB = NC nên AB = AC.

Do đó $Δ A B C$ cân tại A.

Khi đó $\hat{A B C} = \hat{A C B}$ .

Trong tam giác ABC có: $\hat{A B C} + \hat{A C B} = 180 ° - \hat{B A C}$ .

Hay $2 {\hat{B}}_{1} = 180 ° - {\hat{A}}_{1} = 180 ° - 42 ° = 138 °$ .

Do đó ${\hat{B}}_{1} = 69 °$ .

Tam giác MBP có MB = MP nên tam giác MBP cân tại M.

Do đó $\hat{M B P} = \hat{M P B}$ .

Trong tam giác MBP có: $\hat{B M P} = 180 ° - \hat{M B P} - \hat{M P B}$ .

Hay ${\hat{M}}_{2} = 180 ° - 2 {\hat{B}}_{1} = 180 ° - 2.69 ° = 42 °$ .

Vậy ${\hat{M}}_{1} = 69 °$ ; ${\hat{B}}_{1} = 69 °$ ; ${\hat{M}}_{2} = 42 °$ .

b) Ta có ${\hat{M}}_{1} = {\hat{B}}_{1} = 69 °$ , mà hai góc này ở vị trí đồng vị nên MN // BC.

${\hat{M}}_{2} = {\hat{A}}_{1} = 42 °$ , mà hai góc này ở vị trí đồng vị nên MP // AC.

c) Xét $Δ A M N$ và $Δ M B P$ có:

AM = MB (theo giả thiết).

$\hat{M A N} = \hat{B M P}$ (chứng minh trên).

AN = MP (theo giả thiết).

Do đó $Δ A M N = Δ M B P$ (c.g.c).

Suy ra MN = BP (2 cạnh tương ứng).

Xét $Δ M B P$ và $Δ P M N$ có:

MB = PM (theo giả thiết).

BP = MN (chứng minh trên).

MP = PN (theo giả thiết).

Do đó $Δ M B P = Δ P M N$ (c.c.c).

Do MP // AC nên $\hat{M P N} = \hat{P N C}$ (2 góc so le trong).

Xét $Δ P M N$ và $Δ N P C$ có:

PM = NP (theo giả thiết).

$\hat{M P N} = \hat{P N C}$ (chứng minh trên).

PN = NC (theo giả thiết).

Do đó $Δ P M N = Δ N P C$ (c.g.c).

Vậy bốn tam giác cân AMN, MBP, PMN, NPC bằng nhau.

Xem thêm các bài giải SGK Toán lớp 7 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết:

Giải SGK Toán 7 Bài 2 : Tam giác bằng nhau

Giải SGK Toán 7 Bài 3 : Tam giác cân

Giải SGK Toán 7 Bài 4 : Đường vuông góc và đường xiên

Giải SGK Toán 7 Bài 5 : Đường trung trực của một đoạn thẳng

Giải SGK Toán 7 Bài 6 : Tính chất ba đường trung trực của tam giác

Bài liên quan:

Leave a Comment Hủy