Giải SGK Toán 7 Bài 4 (Chân trời sáng tạo): Phép nhân và phép chia đa thức một biến

Giải bài tập Toán lớp 7 Bài 4: Phép nhân và phép chia đa thức một biến

1. Phép nhân đa thức một biến

Giải Toán 7 trang 37 Tập 2

Khám phá 1 trang 37 Toán lớp 7: Hãy dùng tính chất phân phối để thực hiện phép nhân x.(2x+3)

Phương pháp giải:

Sử dụng tính chất nhân phân phối

Lời giải:

$\begin{array}{l}x.(2x+3)\\ =x.2x+3.x\\ =2x^2+3x\end{array}$

Thực hành 1 trang 37 Toán lớp 7: Thực hiện phép nhân $(4x-3)(2x^2+5x-6)$

Phương pháp giải:

Ta dùng tính chất phân phối để thực hiện phép tính

Lời giải:

$\begin{array}{l}(4x-3)(2x^2+5x-6)\\ =4x.2x^2+4x.5x-6.4x-3.2x^2-3.5x+18\\ =8x^3+20x^2-6x^2-24x-15x+18\\ =8x^3+14x^2-39x+18\end{array}$

Vận dụng 1 trang 37 Toán lớp 7: Tìm đa thức theo biến x biểu thị thể tích của hình hộp chữ nhật có kích thước như Hình 2.

Phương pháp giải:

Thể tích hình hộp chữ nhật = chiều dài . chiều rộng . chiều cao

Lời giải:

Thể tích hình hộp chữ nhật là :

$\begin{array}{l}(x+3).(x-1).(x-2)\\ =\left[(x+3).(x-1)\right].(x-2)\\ =(x.x-1.x+3.x-3.1)(x-2)\\ =(x^2+2x-3)(x-2)\\ =x^2.x-2.x^2+2x.x-2x.2-3.x+3.2\\ =x^3-7x+6\end{array}$

2. Phép chia đa thức một biến

Giải Toán 7 trang 38 Tập 2

Khám phá 2 trang 38 Toán lớp 7: Thực hiện phép nhân $(3x+1)(x^2-2x+1)$, rồi đoán xem$(3x^3-5x^2+x+1):(3x+1)$ bằng đa thức nào.

Phương pháp giải:

• Nhân chia đa thức bằng phương pháp phân phối

Lời giải:

$\begin{array}{l}(3x+1)(x^2-2x+1)\\ =3x(x^2-2x+1)+1(x^2-2x+1)\\ =3x^3-6x^2+3x+x^2-2x+1\\ =3x^3-5x^2+x+1\end{array}$

Vì $(3x+1)(x^2-2x+1)=3x^3-5x^2+x+1$

$\Rightarrow (3x^3-5x^2+x+1):(3x+1)=x^2-2x+1$ 

Thực hành 2 trang 38 Toán lớp 7: Thực hiện phép chia P(x) = $(6x^2+4x)$ cho Q(x) = 2x

Phương pháp giải:

• Sử dụng công thức chia đa thức một biến

Lời giải:

$(6x^2+4x):2x=(6x^2:2x)+(4x:2x)$

$=3x+2$

Giải Toán 7 trang 39 Tập 2

Vận dụng 2 trang 39 Toán lớp 7: Thực hiện các phép chia sau $\frac{9x^2+5x+x}{3x}$ và $\frac{(2x^2-4x)+(x-2)}{2-x}$

Phương pháp giải:

• Ta chia lần lượt theo công thức đã cho, phải thu gọn các đa thức trong phép chia và xếp thứ tự lũy thừa giảm dần của biến

Lời giải:

$\frac{9x^2+5x+x}{3x}=\frac{9x^2+6x}{3x}=\frac{9x^2}{3x}+\frac{6x}{3x}=3x+2$

$\frac{2x^2-3x-2}{2-x}=\frac{2x^2-3x-2}{-x+2}=-2x-1$

Thực hành 3 trang 39 Toán lớp 7: Thực hiện phép chia $(x^2+5x+9):(x+2)$

Phương pháp giải:

Ta sử dụng qui tắc chia 2 đa thức

Lời giải:

$(x^2+2x+9):(x+2)=\frac{x^2+5x+9}{3x+6}=x+3+\frac{3}{x+2}$ ta có :

Vậy $=x+3+\frac{3}{x+2}$

Vận dụng 3 trang 39 Toán lớp 7: Tính diện tích đáy của một hình hộp chữ nhật (Hình 3) có chiều cao bằng (x + 3) cm và có thể tích bằng $(x^3+8x^2+19x+12)$$c{m}^3$

Phương pháp giải:

• Ta tính diện tích đáy của hình hộp chữ nhật có chiều cao là (x+3) cm
• Ta sử dụng công thức V = S.h để tìm ra diện tích đáy

Lời giải:

$\Rightarrow (x^3+8x^2+19x+12):(x+3)=$ diện tích đáy

 Ta có :

 

Vậy diện tích đáy là : $x^2+5x+4$ $c{m}^2$

3. Tính chất của phép nhân đa thức một biến

Giải Toán 7 trang 40 Tập 2

Thực hành 4 trang 40 Toán lớp 7: Thực hiện phép tính $\frac{1}{5}.(x^2+1).5$

Phương pháp giải:

Sử dụng tính chất phân phối và giao hoán của phép nhân đa thức.

Lời giải:

$\frac{1}{5}(x^2+1).5=\frac{1}{5}.5.(x^2+1)=(\frac{1}{5}.5).x^2+1=1.(x^2+1)=x^2+1$

Bài tập (trang 40)

Bài 1 trang 40 Toán lớp 7: Thực hiện phép nhân.

a) $(4x-3)(x+2)$

b) $(5x+2)(-x^2+3x+1)$

c) $(2x^2-7x+4)(-3x^2+6x+5)$

Phương pháp giải:

• Áp dụng các qui tắc nhân đa thức ( phân phối )

Lời giải:

a)      $\begin{array}{l}(4x-3)(x+2)=4x(x+2)-3(x+2)\\ =4x^2+8x-3x-6\end{array}$

$=4x^2+5x-6$

b)      $(5x+2)(-x^2+3x+1)$

$=5x(-x^2+3x+1)+2(-x^2+3x+1)$

$=-5x^3+15x^2+5x-2x^2+6x+2$

$=-5x^3+13x^2+11x+2$

c)      $(2x^2-7x+4)(-3x^2+6x+5)$

$=2x^2(-3x^2+6x+5)-7x(-3x^2+6x+5)+4(-3x^2+6x+5)$

$=2x^2(-3x^2)+2x^2.6x+2x^2.5+7x.3x^2-7x.6x-7x.5+4(-3x^2)+4.6x+4.5$

$=-6x^4+33x^3-44x^2-11x+20$

Bài 2 trang 40 Toán lớp 7: Cho hai hình chữ nhật như Hình 4. Tìm đa thức theo biến x biểu thị diện tích của phần được tô màu xanh

Phương pháp giải:

• Ta tính diện tích hình chữ nhật lớn
• Ta tính diện tích hình chữ nhật nhỏ
• Lấy diện tích hcn lớn trừ diện tích hcn nhỏ để ra diện tích cần tìm

Lời giải:

Ta có diện tích hình chữ nhật to là : $(2x+4)(3x+2)=2x+4(3x+2)=6x^2+4x+12x+8=6x^2+16x+8$

Diện tích hình chữ nhật nhỏ là : $x(x+1)=x^2+x$

Diện tích phần cần tìm là : $6x^2+16x+8-x^2-x$$=5x^2+15x+8$ 

Bài 3 trang 40 Toán lớp 7: Thực hiện phép chia.

a) $(8x^6-4x^5+12x^4-20x^3):4x^3$                                     

b) $(2x^2-5x+3):(2x-3)$

Phương pháp giải:

Thực hiện phép nhân chia đa thức bằng cách đặt tính.

Chú ý: Sắp xếp thứ tự đa thức theo giảm dần của lũy thừa

Lời giải:

a) $(8x^6-4x^5+12x^4-20x^3):4x^3$

$=(8x^6:4x^3)-(4x^5:4x^3)+(12x^4:4x^3)-(20x^3:4x^3)$

$=2x^2-x^2+3x-5$

b) 

Vậy $(2x^2-5x+3):(2x-3)=x-1$

Bài 4 trang 40 Toán lớp 7: Thực hiện phép chia.

a) $(4x^2-5):(x-2)$                                                                            

b) $(3x^3-7x+2):(2x^2-3)$

Phương pháp giải:

Sử dụng các qui tắc đã học để chia đa thức

Nên sắp xếp đa thức theo lũy thừa giảm dần để dễ thực hiện tính

Lời giải:

a)      $(4x^2-5):(x-2)=\frac{4x^2-5}{x-2}=4x+8+\frac{11}{x-2}$

 

Vậy $(4x^2-5):(x-2)=4x+8+\frac{11}{x-2}$

b)      $(3x^3-7x+2):(2x^2-3)=\frac{3x^3-7x+2}{2x^2-3}$

Vậy $(3x^3-7x+2):(2x^2-3)=\frac{3}{2}x-\frac{\frac{5}{2}x+2}{2x^2-3}$

Bài 5 trang 40 Toán lớp 7: Tính chiều dài của một hình chữ nhật có diện tích bằng $(4y^2+4y-3)$$c{m}^2$ và chiều rộng bằng (2y – 1) cm.

Phương pháp giải:

• Sử dụng công thức tính diện tích hình chữ nhật
• Áp dụng qui tắc chia đa thức và sắp xếp đa thức theo thứ tự giảm dần của lũy thừa

Lời giải:

Diện tích hình chữ nhật = chiều dài . chiều rộng

$\Rightarrow (4y^2+4y-3):(2y-1)=\frac{4y^2+4y-3}{2y-1}$

 

Vậy chiều dài hình chữ nhật là : 2y + 3 cm

Bài 6 trang 40 Toán lớp 7: Cho hình hộp chữ nhật có thể tích bằng ($3x^3+8x^2-45x-50$) $c{m}^3$, chiều dài bằng (x + 5) cm và chiều cao bằng (x + 1) cm. Hãy tính chiều rộng của hình hộp chữ nhật đó.

Phương pháp giải:

• Sử dụng công thức tính thể tích hình hộp chữ nhật V=S.h
• Áp dụng qui tắc chia 2 đa thức

Lời giải:

Ta có thể tích hình hộp chữ nhật bằng tích chiều cao và diện tích đáy

Nên chiều rộng của hình chữ nhật = thể tích : ( chiều cao . chiều dài )

Diện tích đáy là $(x+5)(x+1)=x^2+6x+5$

Thay các số ở đề bài cho vào công thức trên ta được  :

$=\frac{3x^3+8x^2-45x-50}{(x+5)(x+1)=x^2+6x+5}=\frac{3x^3+8x^2-45x-50}{x^2+6x+5}$

Vậy chiều dài hình hộp chữ nhật là 3x – 10 cm.

Xem thêm các bài giải SGK Toán lớp 7 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết:

Bài 1: Biểu thức số và biểu thức đại số

Bài 2: Đa thức một biến

Bài 3: Phép cộng và phép trừ đa thức một biến

Bài tập cuối chương 7