Lý thuyết Sự đồng quy của ba đường trung trực, ba đường cao trong một tam giác (Kết nối tri thức 2023) hay, chi tiết | Toán lớp 7

Lý thuyết Toán lớp 7 Bài 35: Sự đồng quy của ba đường trung trực, ba đường cao trong một tam giác

Lý thuyết Sự đồng quy của ba đường trung trực, ba đường cao trong một tam giác

1. Sự đồng quy của ba đường trung trực trong một tam giác

a) Đường trung trực của tam giác

Trong tam giác ABC, đường trung trực của mỗi cạnh gọi là đường trung trực của tam giác. Ở hình dưới đây, a là đường trung trực ứng với cạnh BC của tam giác ABC.

b) Sự đồng quy của ba đường trung trực

Định lí 1: Ba đường trung trực của một tam giác đồng quy tại một điểm. Điểm này cách đều ba đỉnh của tam giác.

Ví dụ: Trong tam giác ABC có các đường trung trực a, b, c đồng quy tại điểm O.

Khi đó: OA = OB = OC.

Nhận xét: Vì giao điểm O của ba đường trung trực trong tam giác ABC cách đều ba đỉnh của tam giác đó (OA = OB = OC) nên có một đường tròn tâm O đi qua ba đỉnh A, B, C.

2. Sự đồng quy của ba đường cao trong tam giác

a) Đường cao của tam giác

Trong hình dưới đây, đoạn thẳng AH kẻ từ đỉnh A, vuông góc với cạnh đối diện BC là một đường cao của tam giác ABC. Ta còn nói AH là đường cao xuất phát từ đỉnh A (hay đường cao ứng với cạnh BC).

b) Sự đồng quy của ba đường cao

Định lí 2: Ba đường cao của một tam giác đồng quy tại một điểm.

Ví dụ: Trong tam giác ABC có các đường cao AI, BJ, CK đồng quy tại điểm H.

Chú ý:

– Điểm đồng quy của ba đường cao của một tam giác gọi là trực tâm của tam giác đó.

Ví dụ:Cho tam giác ABC có các đường cao AI, BJ, CK đồng quy tại điểm H.

Khi đó, H được gọi là trực tâm của tam giác ABC.

– Gọi H là trực tâm của tam giác ABC, ta có:

+) Khi ABC là tam giác nhọn thì H nằm bên trong tam giác.

+) Khi ABC là tam giác vuông thì H trùng với A (kí hiệu H ≡ A).

+) Khi ABC là tam giác tù thì H nằm bên ngoài tam giác.

Bài tập Sự đồng quy của ba đường trung trực, ba đường cao trong một tam giác

Bài 1: Cho tam giác ABC vuông. Kẻ đường thẳng vuông góc với cạnh huyền BC của tam giác ABC tại điểm D không thuộc đoạn BC. Nó cắt đường thẳng chứa cạnh AB tại E và cắt đường thẳng chứa cạnh AC tại F. Xác định trực tâm của tam giác BEF.

Hướng dẫn giải

Trong tam giác BEF, đường cao xuất phát từ B là đường thẳng BD, đường cao xuất phát từ F là đường thẳng FA.

Hai đường cao BD và FA cắt nhau tại C.

Vậy suy ra C là trực tâm của tam giác BEF.

Bài 2: Cho P là một điểm nằm trong góc nhọn xOy. Gọi M là điểm sao cho Ox là đường trung trực của đoạn thẳng PM, gọi N là điểm sao cho Oy là đường trung trực của đoạn thẳng PN. Đường thẳng MN cắt Ox tại R, cắt Oy tại S. Chứng minh tia PO là tia phân giác của góc RPS.

Hướng dẫn giải

Tam giác OPM là tam giác cân tại O (Vì Ox là đường trung trực của đoạn thẳng PM)

Suy ra $\widehat{OPM}=\widehat{OMP}$ (1) và OM = OP.

Lại có tam giác RPM là tam giác cân tại R (Vì Ox, hay chính là Rx là đường trung trực của đoạn thẳng PM).

Suy ra $\widehat{RPM}=\widehat{RMP}$ (2)

Trừ vế với vế của (1) cho (2) ta có:

$\widehat{OPM}-\widehat{RPM}=\widehat{OMP}-\widehat{RMP}$

Hay $\widehat{OPR}=\widehat{OMR}$(*)

Tương tự ta có tam giác OPN là tam giác cân tại O (Vì Oy là đường trung trực của đoạn thẳng PN)

Suy ra $\widehat{OPN}=\widehat{ONP}$ (3) và ON = OP.

Lại có tam giác SPN là tam giác cân tại R (Vì Oy, hay chính là Sy là đường trung trực của đoạn thẳng PN).

Suy ra $\widehat{SPN}=\widehat{SNP}$ (4)

Trừ vế với vế của (3) cho (4) ta có:

$\widehat{OPN}-\widehat{SPN}=\widehat{ONP}-\widehat{SNP}$.

Hay $\widehat{OPS}=\widehat{ONS}$(**)

Vì OM = ON (= OP) nên tam giác OMN là tam giác cân tại O.

Do đó: $\widehat{OMR}=\widehat{ONS}$(***)

Từ (*), (**), (***) ta suy ra được $\widehat{OPR}=\widehat{OPS}$.

Vậy suy ra PO là tia phân giác của góc RPS (đpcm).

Bài 3: Gọi H là trực tâm của tam giác nhọn ABC. Khi AH = BC, hãy chứng minh $\widehat{BAC}=45°$.

Hướng dẫn giải

Gọi BJ là đường cao xuất phát từ B của tam giác ABC.

Xét hai tam giác AHJ và tam giác BCJ có:

AH = BC (gt)

$\widehat{AJH}=\widehat{BJC}\left(=90°\right)$

$\widehat{JAH}=\widehat{JBC}$ (cùng phụ với $\widehat{JBC}$)

Do đó ∆AHJ = ∆BCJ (cạnh huyền – góc nhọn)

Suy ra AJ = BJ (hai cạnh tương ứng)

Xét tam giác JAB vuông tại J và có AJ = BJ (cmt)

Nên JAB là tam giác vuông cân tại J.

Vậy $\widehat{BAJ}=\widehat{BAC}=45°$(đpcm).

Xem thêm các bài tóm tắt lý thuyết Toán 7 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Lý thuyết Bài 34: Sự đồng quy của ba đường trung tuyến, ba đường phân giác

Lý thuyết Bài 35: Sự đồng quy của ba đường trung trực, ba đường cao trong một tam giác

Lý thuyết Chương 9: Quan hệ giữa các yếu tố trong một tam giác

Lý thuyết Bài 36: Hình hộp chữ nhật và hình lập phương

Lý thuyết Bài 37: Hình lăng trụ đứng tam giác và hình lăng trụ đứng tứ giác

Lý thuyết Chương 10: Một số hình khối trong thực tiễn