Giải SBT Toán lớp 7 Bài 27: Phép nhân đa thức một biến
Giải SBT Toán 7 trang 30 Tập 2
Bài 7.19 trang 30 SBT Toán 7 Tập 2: Chứng minh rằng tích của hai số tự nhiên lẻ liên tiếp cộng thêm 1 thì luôn chia hết cho 4.
Gợi ý: Mỗi số tự nhiên lẻ luôn viết được dưới dạng 2n – 1 với n ℕ*, hoặc dưới dạng 2n + 1 với n ℕ.
Lời giải:
Hai số tự nhiên lẻ liên tiếp hơn kém nhau 2 đơn vị nên nếu số thứ nhất là:
a = 2n − 1 (n ℕ*)
Thì số thứ hai là b = a + 2 = 2n + 1
Khi đó:
ab + 1 = (2n − 1)(2n + 1) + 1 = (4n2 + 2n − 2n − 1) + 1 = 4n2
Rõ ràng 4n2 chia hết cho 4 nên ta có điều phải chứng minh.
Chú ý. Nếu viết hai số lẻ liên tiếp là a = 2n + 1 và b = a + 2 = 2n + 3 (n ℕ) thì:
ab + 1 = (2n + 1)(2n + 3) + 1 = 4(n2 + 2n + 1) ⋮ 4
Bài 7.20 trang 30 SBT Toán 7 Tập 2: Tính:
a) (x3 + 3x2 − 5x − 1)(4x − 3);
b) (−2x2 + 4x + 6 ) ;
c) (x4 + 2x3 − 1)(x2 −3x + 2).
Lời giải:
a) (x3 + 3x2 − 5x − 1)(4x − 3)
= 4x(x3 + 3x2 − 5x − 1) − 3(x3 + 3x2 − 5x − 1)
= 4x4 + 12x3 − 20x2 − 4x − 3x3 − 9x2 + 15x + 3
= 4x4 + (12x3 − 3x3) + (−20x2 − 9x2) + (−4x + 15x) + 3
= 4x4 + 9x3 − 29x2 + 11x + 3.
b. (−2x2 + 4x + 6 )
= x(−2x2 + 4x + 6 ) + 1. (−2x2 + 4x + 6 )
= x3 − 2x2 − 3x − 2x2 + 4x + 6
= x3 + (−2x2 −2x2) + (−3x + 4x) + 6
= x3 − 4x2 + x + 6.
c) (x4 + 2x3 − 1)(x2 −3x + 2)
= x2(x4 + 2x3 − 1) − 3x(x4 + 2x3 − 1) + 2(x4 + 2x3 − 1)
= x6 + 2x5 − x2 − 3x5 − 6x4 + 3x + 2x4 + 4x3 − 2
= x6 + (2x5 − 3x5) + (−6x4 + 2x4) + 4x3 − x2 + 3x − 2
= x6 − x5 − 4x4 + 4x3 − x2 + 3x − 2.
Bài 7.21 trang 30 SBT Toán 7 Tập 2: Bằng cách rút gọn biểu thức, chứng minh rằng mỗi biểu thức sau có giá trị không phụ thuộc vào giá trị của biến
a) (x − 5)(2x +3) − 2x(x − 3) + (x + 7);
b) (x2 − 5x + 7)(x − 2) − (x2 − 3x)(x − 4) − 5(x − 2).
Lời giải:
a) (x − 5)(2x + 3) − 2x(x − 3) + (x + 7)
= x(2x + 3) − 5(2x + 3) − 2x(x − 3) + (x + 7)
= 2x2 + 3x − 10x − 15 − 2x2 + 6x + x + 7
= (2x2 − 2x2) + (3x − 10x + 6x + x) + (−15 + 7)
= −8.
Vậy biểu thức trên có giá trị không phụ thuộc vào biến x.
b) (x2 − 5x + 7)(x − 2) − (x2 − 3x)(x − 4) − 5(x − 2)
= x(x2 − 5x + 7) − 2(x2 − 5x + 7) − [x(x2 − 3x) − 4(x2 − 3x)] − 5(x − 2)
= x3 − 5x2 + 7x − 2x2 + 10x − 14 −( x3 − 3x2 − 4x2 + 12x) − 5x + 10
= x3 − 5x2 + 7x − 2x2 + 10x − 14 − x3 + 3x2 + 4x2 −12x − 5x + 10
= (x3 − x3)+ (−5x2 − 2x2 + 3x2 + 4x2) + (7x + 10x −12x − 5x) + (−14 + 10)
= −4.
Vậy biểu thức trên có giá trị không phụ thuộc vào biến x.
Bài 7.22 trang 30 SBT Toán 7 Tập 2: Với giá trị nào của x thì (x2 − 2x + 5)(x− 2) = (x2 + x)(x − 5)?
Lời giải:
Ta có: (x2 − 2x + 5)(x − 2) = (x2 + x)(x − 5)
x(x2 − 2x + 5) − 2(x2 − 2x + 5) = x(x2 + x) − 5(x2 + x)
x3 − 2x2 + 5x − 2x2 + 4x − 10 = x3 + x2 − 5x2 − 5x
x3 − 2x2 + 5x − 2x2 + 4x − 10 − x3 − x2 + 5x2 + 5x = 0
(x3 − x3) +(−2x2 − 2x2 − x2 + 5x2) + (5x + 4x + 5x) − 10 = 0
14x − 10 = 0
14x =10
x = 10 : 14 = =
Vậy x = .
Bài 7.23 trang 30 SBT Toán 7 Tập 2: Rút gọn các biểu thức sau rồi tính giá trị của đa thức thu được.
a) (4x4 − 6x2 + 9)(2x2 + 3) tại x = 0,5;
b) (x3 + 5x2 + 2x + 12)(x2 + 2x + 4) − x(7x3 + 16x2 + 36x + 32) tại x = −2.
Lời giải:
a) (4x4 − 6x2 + 9)(2x2 + 3)
= 2x2(4x4 − 6x2 + 9) + 3(4x4 − 6x2 + 9)
= 8x6 − 12x4 + 18x2 + 12x4 − 18x2 + 27
= 8x6 + (−12x4 + 12x4) + (18x2 − 18x2) + 27
= 8x6 + 27
Thay x = 0,5 vào biểu thức ta được:
8 .0,56 + 27 = 8. + 27 = + 27 = = 27,125.
b) (x3 + 5x2 + 2x + 12)(x2 + 2x + 4) − x(7x3 + 16x2 + 36x + 32)
= x2(x3 + 5x2 + 2x + 12) + 2x(x3 + 5x2 + 2x + 12) + 4(x3 + 5x2 + 2x + 12) − x(7x3 + 16x2 + 36x + 32)
= x5 + 5x4 + 2x3 + 12x2 + 2x4 + 10x3 + 4x2 + 24x + 4x3 + 20x2 + 8x + 48 − 7x4 − 16x3 − 36x2 − 32x
= x5 + (5x4 + 2x4 − 7x4) + (2x3 + 10x3 + 4x3 − 16x3) + (12x2 + 20x2 + 4x2 − 36x2) + (24x + 8x − 32x) + 48
= x5 + 48
Thay x = −2 vào biểu thức ta được
( −2)5 + 48 = −32 + 48 = 16.
Xem thêm các bài giải SBT Toán lớp 7 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:
SBT Toán 7 Bài 26: Phép cộng và phép trừ đa thức một biến
SBT Toán 7 Bài 27: Phép nhân đa thức một biến
SBT Toán 7 Bài 28: Phép chia đa thức một biến
SBT Toán 7 Ôn tập cuối chương 7
SBT Toán 7 Bài 29: Làm quen với biến cố