Vở bài tập Toán 7 Bài 10: Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác – Cánh diều

Giải VBT Toán lớp 7 Bài 10: Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác

I. Kiến thức trọng tâm

Câu 1 trang 105 vở bài tập Toán lớp 7 Tập 2:

Trong tam giác ABC (Hình 74), đoạn thẳng AM nối……………với…………..của cạnh BC được goi là đường trung tuyến (xuất phát từ đỉnh A hoặc tương ứng với cạnh BC)

Lời giải:

Trong tam giác ABC (Hình 74), đoạn thẳng AM nối đỉnh A với trung điểm của cạnh BC được goi là đường trung tuyến (xuất phát từ đỉnh A hoặc tương ứng với cạnh BC).

Câu 2 trang 105 vở bài tập Toán lớp 7 Tập 2:

– Ba đường trung tuyến cùng đi qua ………….. Điểm đó được gọi là …………của tam giác

– Trọng tâm của một tam giác cách mỗi đỉnh một khoảng bằng ………. độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh ấy.

– Trọng tâm của tam giác ABC, với AM là đường trung tuyến và G là trọng tâm (Hình 75) ta có:

$\frac{\mathrm{GM}}{\mathrm{AM}}=\frac{\mathrm{GN}}{\mathrm{BN}}=\frac{\mathrm{GP}}{\mathrm{CP}}=\frac{...}{...}$, $\frac{\mathrm{GM}}{\mathrm{GA}}=\frac{\mathrm{GN}}{\mathrm{DB}}=\frac{\mathrm{GP}}{\mathrm{GC}}=\frac{...}{...}$.

Lời giải:

– Ba đường trung tuyến cùng đi qua một điểm. Điểm đó được gọi là trọng tâm của tam giác

– Trọng tâm của một tam giác cách mỗi đỉnh một khoảng bằng $\frac{2}{3}$ độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh ấy.

– Trọng tâm của tam giác ABC, với AM là đường trung tuyến và G là trọng tâm (Hình 75) ta có:

$\frac{\mathrm{GM}}{\mathrm{AM}}=\frac{\mathrm{GN}}{\mathrm{BN}}=\frac{\mathrm{GP}}{\mathrm{CP}}=\frac{1}{3}$, $\frac{\mathrm{GM}}{\mathrm{GA}}=\frac{\mathrm{GN}}{\mathrm{DB}}=\frac{\mathrm{GP}}{\mathrm{GC}}=\frac{1}{2}$.

II. Luyện tập

Câu 1 trang 106 vở bài tập Toán lớp 7 Tập 2: Trong Hình 76 đoạn thẳng HK là đường trung tuyến của tam giác nào?

Lời giải:

– Đoạn thẳng HK là đường trung tuyến của tam giác HBC vì H là một đỉnh của tam giác HBC và K là trung điểm của cạnh BC.

– Đoạn thẳng HK cũng là đường trung tuyến của tam giác AKC vì K là một đỉnh của tam giác AKC và H là trung điểm của cạnh AC.

Câu 2 trang 106 vở bài tập Toán lớp 7 Tập 2: Cho tam giác PQR có hai đường trung tuyến QM và RK cắt nhau tại G. Gọi I là trung điểm của cạnh QR. Chứng minh rằng ba điểm P, G, I thẳng hàng.

Lời giải:

Hai đường trung tuyến QM và RK cắt nhau tại G nên G là trọng tâm của tam giác PQR. Suy ra điểm G thuộc đường trung tuyến PI của tam giác PQR. Vậy ba điểm P, G, I thẳng hàng.

III. Bài tập

Câu 1 trang 106 vở bài tập Toán lớp 7 Tập 2: Cho tam giác ABC. Ba đường trung tyến AM, BN, CP đồng quy tại G. Chứng minh GA + GB + GC = $\frac{2}{3}$ (AM + BN + CP)

Lời giải:

Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên GA = $\frac{2}{3}$ AM, GB = $\frac{2}{3}$BN, GC = $\frac{2}{3}$ CP.

Suy ra GA + GB + GC = $\frac{2}{3}$AM + $\frac{2}{3}$BN + $\frac{2}{3}$PC = $\frac{2}{3}$ (AM + BN + CP).

Vậy GA + GB + GC = $\frac{2}{3}$ (AM + BN + CP).

Câu 2 trang 107 vở bài tập Toán lớp 7 Tập 2: Cho tam giác ABC cân tại A, hai đường trung tuyến BM và CN cắt nhau tại G. Chứng minh:

a) BM = CN;

b) ∆GBC cân tại G.

Lời giải:

a) Vì M, N lần lượt là trung điểm của AC và AB nên AM = $\frac{1}{2}$AC, AN = $\frac{1}{2}$AB.

Mà tam giác ABC cân tại A nên AB = AC, suy ra AM = AN.

Xét hai tam giác ABM và ACN, ta có:

AB = AC, $\hat{A}$ là góc chung, AM = AN (chứng minh trên).

Suy ra ∆ABM = ∆ACN (c.g.c)

Do đó BM = CN (hai cạnh tương ứng).

b) Vì G là trọng tâm và BM, CN là các đường trung tuyến của tam giác ABC nên GB = $\frac{2}{3}$BM, GC = $\frac{2}{3}$CN. Mà BM = CN (chứng minh trên), suy ra GB = GC

Do đó ∆GBC cân tại G

Câu 3 trang 107 vở bài tập Toán lớp 7 Tập 2: Cho tam giác ABC có hai đường trung tuyến AM và BN cắt nhau tại G. Trên tia đối của tia MA lấy điểm D sao cho MD = MG. Chứng minh:

a) GA = GD;

b) ∆MBG = ∆MCD;

c) CD = 2GN.

Lời giải:

a) Do G là trọng tâm tam giác ABC nên GA = 2MG.

Do M nằm giữa G và D và MD = MG nên GD = 2MG.

Từ đó suy ra GA = GD.

b) Xét hai tam giác MBG và MCD, ta có:

MB = MC (giả thiết);

$\widehat{\mathrm{BMG}}$= $\widehat{\mathrm{DMC}}$(hai góc đối đỉnh);

MG = MD (giả thiết).

Suy ra ∆MBG = ∆MCD (c.g.c).

c) Vì ∆MBG = ∆MCD nên BG = CD (hai cạnh tương ứng).

Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên BG = 2GN.

Từ đó suy ra CD = 2GN.

Câu 4 trang 108 vở bài tập Toán lớp 7 Tập 2: Cho tam giác ABC có hai đường trung tuyến AM và BN cắt nhau tại G. Gọi H là hình chiếu của A trên đường thẳng BC. Giả sử H là trung điểm của đoạn thẳng BM. Chứng minh:

a) ∆AHB = ∆AHM;

b) AG = $\frac{2}{3}$AB.

Lời giải:

a) Xét hai tam giác vuông AHB và AHM, ta có:

AH là cạnh chung;

HB = HM (giả thiết);

Suy ra ∆AHB = ∆AHM (hai cạnh góc vuông).

b) Vì ∆AHB = ∆AHM nên AB = AM (1)

Vì hai đường trung tuyến AM và BN cắt nhau tại G nên G là trọng tâm tam giác ABC, suy ra AG = $\frac{2}{3}$ AM (2)

Từ (1) và (2) suy ra AG = $\frac{2}{3}$ AB.

Câu 5 trang 108 vở bài tập Toán lớp 7 Tập 2: Hình 81 là mặt cắt đứng một ngôi nhà ba tầng có mái dốc. Mỗi tầng cao 3,3 m. Mặt cắt mái nhà có dạng tam giác ABC cân tại A với đường trung tuyến AH dài 1,2 m. Tại vị trí O là trọng tâm tam giác ABC, người ta làm tâm cho một cửa sổ có dạng hình tròn.

a) AH có vuông góc với BC không? Vì sao?

b) Vị trí O ở độ cao bao nhiêu mét so với mặt đất.

Lời giải:

a) Ta có AB = AC (tính chất tam giác cân), suy ra điểm A thuộc đường trung trực của đoạn thẳng BC.

HB = HC (giả thiết), suy ra điểm H thuộc đường trung trực của đoạn thẳng BC.

Do đó AH là đường trung trực của đoạn thẳng BC. Vậy AH ⊥ BC.

b) Vì O là trọng tâm tam giác ABC nên HO = $\frac{1}{3}$AH = 0,4 m

Điểm O ở độ cao so với mặt đất là 3.3,3 + 0,4 = 10,3 m