Giải VTH Toán lớp 7 Bài ôn tập cuối chương 7
Bài 1 (7.42) trang 52 VTH Toán 7 Tập 2: Một hãng taxi quy định giá cước như sau: 0,5 km đầu tiên giá 8 000 đồng; tiếp theo cứ mỗi kilômét giá 11 000 đồng. Giả sử một người thuê xe đi x (kilômét).
a) Chứng tỏ rằng biểu thức biểu thị số tiền mà người đó phải trả là một đa thức. Tìm bậc, hệ số cao nhất và hệ số tự do của đa thức đó.
b) Giá trị của đa thức tại x = 9 nói lên điều gì?
Lời giải:
a) Số tiền phải trả cho 0,5 km đầu tiên là 8 000 đồng.
Số tiền phải trả cho x – 0,5 (km) tiếp theo là 11 000(x – 0,5) đồng.
Do đó số tiền thuê xe đi x km là 8 000 + 11 000(x – 0,5) đồng.
Thu gọn biểu thức này ta được 11 000 x + 2 500.
Vậy đa thức biểu thị số tiền phải trả để đi x km là T(x) = 11 000 x + 2 500.
Đa thức trên có hạng tử 11 000x là hạng tử có bậc cao nhất bằng 1 nên bậc của đa thức trên bằng 1, hệ số cao nhất là 11 000 và hệ số tự do bằng 2 500.
b) Giá trị của đa thức tại x = 9 chính là số tiền người đó phải trả khi đi 9 km.
Bài 2 (7.43) trang 52 VTH Toán 7 Tập 2: Cho đa thức bậc hai F(x) = ax2 + bx + c, trong đó a, b và c là những số (với a ≠ 0).
a) Cho biết a + b + c = 0. Giải thích tại sao x = 1 là một nghiệm của F(x).
b) Áp dụng, hãy tìm một nghiệm của đa thức bậc hai 2×2 – 5x + 3.
Lời giải:
a) Ta có F(1) = a.12 + b.1 + c = a + b + c. Từ đó suy ra:
Nếu a + b + c = 0 thì F(1) = 0 nên x = 1 là một nghiệm của F(x).
b) Đa thức bậc hai 2×2 – 5x + 3 có tổng các hệ số 2 + (- 5) + 3 = 0 nên theo câu a, đa thức này có một nghiệm là x = 1.
Bài 3 trang 53 VTH Toán 7 Tập 2: Tìm giá trị của m sao cho đa thức G(x) = x2 + mx – 3 có nghiệm x = 1.
Lời giải:
Đa thức G(x) = x2 + mx – 3 có nghiệm x = 1 có nghĩa G(1) = 12 + m . 1 – 3 = 0.
Từ đó suy ra m = 2.
Ngược lại, nếu m = 2 thì ta có G(x) = x2 + 2x – 3. Lúc này G(1) = 12 + 2 . 1 – 3 = 0.
Do đó, x = 1 là một nghiệm của đa thức G(x).
Vậy giá trị cần tìm của m là 2.
Bài 4 (7.44) trang 53 VTH Toán 7 Tập 2: Cho đa thức A = x4 + x3 – 2x – 2.
a) Tìm đa thức B sao cho A + B = x3 + 3x + 1.
b) Tìm đa thức C sao cho A – C = x5.
c) Tìm đa thức D, biết rằng D = (2×2 – 3) . A.
d) Tìm đa thức P sao cho A = (x + 1) . P.
e) Có hay không một đa thức Q sao cho A = (x2 + 1) . Q?
Lời giải:
a) Muốn A + B = x3 + 3x + 1 thì ta cần có
B = (x3 + 3x + 1) – A
= x3 + 3x + 1 – (x4 + x3 – 2x – 2)
= x3 + 3x + 1 – x4 – x3 + 2x + 2
Rút gọn ta được B = -x4 + 5x + 3.
b) Muốn A – C = x5 thì ta cần có
C = A – x5 = (x4 + x3 – 2x – 2) – x5
Rút gọn ta được C = -x5 + x4 + x3 – 2x – 2.
c) Ta có: D = (2×2 – 3) . (x4 + x3 – 2x – 2)
= 2×2 (x4 + x3 – 2x – 2) – 3(x4 + x3 – 2x – 2)
= (2×6 + 2×5 – 4×3 – 4×2) – (3×4 + 3×3 – 6x – 6)
= 2×6 + 2×5 – 3×4 – 7×3 – 4×2 + 6x + 6.
d) Để có A = (x + 1)P, phép chia A : (x + 1) phải là phép chia hết và P là thương trong phép chia đó. Ta hãy tìm P bằng cách đặt tính chia A cho x + 1 như sau:
Vậy P = x3 – 2.
e) Để có A = (x2 + 1)Q, phép chia A : (x2 + 1) phải là phép chia hết và Q là thương trong phép chia đó. Ta hãy tìm Q bằng cách đặt tính chia A cho x2 + 1 như sau:
Ta được đa thức dư là – x – 1. Vậy A không chia hết cho x2 + 1.
Điều đó chứng tỏ rằng không có đa thức Q sao cho A = (x2 + 1) . Q.
Bài 5 (7.45) trang 54 VTH Toán 7 Tập 2: Cho đa thức P(x). Giải thích tại sao nếu có đa thức Q(x) sao cho P(x) = (x – 3) . Q(x) (tức là P(x) chia hết cho x – 3) thì x = 3 là một nghiệm của P(x).
Lời giải:
Giả sử có đa thức Q(x) để P(x) = (x – 3) . Q(x), Khi đó ta có P(3) = (3 – 3) . Q(3) = 0.
Do đó x = 3 là một nghiệm của P(x).
Bài 6 trang 54 VTH Toán 7 Tập 2: Áp dụng Bài 5, chứng tỏ rằng x = 3 là một nghiệm của đa thức 3×3 – 14×2 + 17x – 6.
Lời giải:
Chia đa thức 3×3 – 14×2 + 17x – 6 cho x – 3, ta được phép chia hết:
(3×3 – 14×2 + 17x – 6) : (x – 3) = 3×2 – 5x + 2.
Có nghĩa là 3×3 – 14×2 + 17x – 6 = (x – 3)(3×2 – 5x + 2).
Theo kết quả Bài 5, ta suy ra x = 3 là một nghiệm của đa thức 3×3 – 14×2 + 17x – 6.
Bài 7 trang 54 VTH Toán 7 Tập 2: a) Tìm đa thức A, biết rằng (4×2 + 9) . A = 16×4 – 81.
b) Tìm đa thức M sao cho (27×3 + 8) : M = 3x + 2.
Lời giải:
Để có (4×2 + 9) . A = 16×4 – 81, phép chia (16×4 – 81) : (4×2 + 9) phải là phép chia hết và A là thương của phép chia này. Ta đặt tính chia như sau:
Vậy A = 4×2 – 9.
b) Đa thức M thỏa mãn đẳng thức (27×3 + 8) : M = 3x + 2 chính là thương của phép chia (27×3 + 8) : (3x + 2), với điều kiện đó là phép chia hết. Ta đặt tính chia như sau:
Vậy M = 9×2 – 6x + 4.
Bài 8 (7.46) trang 55 VTH Toán 7 Tập 2: Hai bạn Tròn và Vuông tranh luận với nhau như sau:
Vuông: “Đa thức M(x) = x3 + 1 có thể viết được thành tổng của hai đa thức bậc hai”.
Tròn: “Không thể như thế được. Nhưng M(x) có thể viết được thành tổng của hai đa thức bậc bốn”.
Hãy cho biết ý kiến của em và nêu một ví dụ minh họa.
Lời giải:
• Từ công thức ax2 + bx2 = (a + b)x2, ta có nhận xét rằng tổng của hai hạng tử bậc cao nhất của 2 đa thức bậc hai, nếu khác 0, cũng là hạng tử bậc 2. Do đó việc cộng hai đa thức bậc hai không thể làm xuất hiện thêm hạng tử có bậc lớn hơn hai.
Điều này có nghĩa là đa thức M(x) = x3 + 1 có bậc 3 không thể viết được thành tổng của hai đa thức bậc 2.
• Vậy ý kiến của Vuông là sai.
• Chẳng hạn ta có – x4 + x3 + 1 và x4 là hai đa thức bậc 4, và tổng của chúng bằng đa thức bậc ba x3 + 1. Vậy ý kiến của Tròn là đúng.