50 Bài tập Cấp số nhân (có đáp án)- Toán 11

Bài tập Toán 11 Chương 3 Bài 4: Cấp số nhân

A. Bài tập Cấp số nhân

I. Bài tập trắc nghiệm

Bài 1: Cho cấp số nhân có u₂ = $\frac{1}{4}$; u₅ = 16 . Tìm q và u1

Lời giải:

Chọn đáp án C

Bài 2: Cho cấp số nhân (u_n) thỏa mãn : 

a. Tìm công bội và số hạng tổng quát của cấp số

b. Tính tổng S₂₀₁₁

Lời giải:

Chọn đáp án C

Chọn đáp án C

Bài 3: Cho cấp số nhân: . Giá trị của a là:

Lời giải:

Chọn đáp án B

Bài 4: Tính tổng sau 

Lời giải:

Chọn đáp án D

Bài 5: Mệnh đề nào dưới đây sai?

A. Dãy số 1; -2; 4; -8; 16; -32; 64 là một cấp số nhân.

B. Dãy số 7; 0; 0; 0;… là một cấp số nhân.

C. Dãy số (un):u_n = n.6n + 1 là một cấp số nhân.

D. Dãy số (vn):v_n = (-1)n.32n là một cấp số nhân.

Lời giải:

Chọn đáp án C

Bài 6: Dãy số (u_n) có phải là cấp số nhân không ? Nếu phải hãy xác định số công bội ? Biết rằng u_n = 4.3n

A. q = 3

B. q = 2

C. q = 4

D. q = ∅

Lời giải:

Chọn đáp án A

Bài 7: Cho cấp số nhân (u_n) với u₁ = 3; q = -2 . Số 192 là số hạng thứ mấy của (u_n) ?

A. Số hạng thứ 5.

B. Số hạng thứ 6.

C. Số hạng thứ 7.

D. Không là số hạng của cấp số đã cho.

Lời giải:

Chọn đáp án C

Bài 8: Cho các dãy số sau

Hỏi có bao nhiêu dãy số là cấp số nhân ?

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

Lời giải:

Chọn đáp án A

Bài 9: Cho cấp số nhân (u_n) với

. Tìm q ?

Lời giải:

Chọn đáp án B

Bài 10: Cho cấp số nhân (un) với u₁ = 4 ; q = – 4 Viết 3 số hạng tiếp theo và số hạng tổng quát u_n?

A. 16; -64; 256; (-4)n.

B. 16; -64; 256; (-4)n.

C. -16; 64; 256; 4.(-4)n – 1.

D. -16; 64; -256; 4n.

Lời giải:

Chọn đáp án C

II. Bài tập tự luận có lời giải

Bài 1: Cho cấp số nhân (u_n) với u₁ = -1; q = $\frac{–1}{10}$ . Số  là số hạng thứ mấy của (u_n) ?

Lời giải:

Bài 2: Cho dãy số (u_n) với 

a. Tìm công bội của dãy số (u_n).

b. Tính tổng S = u₂ + u₄ + u₆ + … + u₂₀

c. Số 19683 là số hạng thứ mấy của dãy số.

Lời giải:

Bài 3: Cho cấp số nhân có 7 số hạng, số hạng thứ tư bằng 6 và số hạng thứ 7 gấp 243 lần số hạng thứ hai. Hãy tìm số hạng còn lại của cấp số nhân đó.

Lời giải:

Bài 4: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình sau có ba nghiệm phân biệt lập thành một cấp số nhân: x³ – 7x² + 2(m² + 6m)x – 8 = 0.

Lời giải:

Bài 5: Một cấp số nhân có ba số hạng là a, b, c (theo thứ tự đó) trong đó các số hạng đều khác 0 và công bội q ≠ 0 Mệnh đề nào sau đây là đúng?

Lời giải:

Bài 6: Tìm x để các số 2; 8; x; 128 theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân.

Lời giải:

Ta có 8 = 2. 4 nên công bội q = 4

Do đó, x = 2.q² = 2.4² = 32

Bài 7: Một cấp số nhân có hai số hạng liên tiếp là 16 và 36. Số hạng tiếp theo là:

Lời giải:

Bài 8: Biết rằng . Tính 

Lời giải:

Bài 9: Ba số x, y, z theo thứ tự lập thành một cấp số nhân với công bội q khác 1 ; đồng thời các số x ; 2y ; 3z theo thứ tự lập thành một cấp số cộng với công sai khác 0. Tìm giá trị của q.

Lời giải:

Bài 10: Ba số x, y, z lập thành một cấp số cộng và có tổng bằng 21. Nếu lần lượt thêm các số 2 ; 3 ; 9 vào ba số đó (theo thứ tự của cấp số cộng) thì được ba số lập thành một cấp số nhân. Tính F = x² + y² + z²

Lời giải:

III. Bài tập vận dụng

Bài 1 Các số x + 6y ; 5x + 2y ; 8x + y theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng, đồng thời, các số x + $\frac{5}{3}$; y – 1; 2x – 3y theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân. Hãy tìm x và y

Bài 2 Số hạng thứ hai, số hạng đầu và số hạng thứ ba của một cấp số cộng với công sai khác 0 theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân với công bội q. Tìm q ?

Bài 3 Người ta thiết kế một cái tháp gồm 11 tầng. Diện tích bề mặt trên của mỗi tầng bằng nữa diện tích của mặt trên của tầng ngay bên dưới và diện tích mặt trên của tầng 1 bằng nửa diện tích của đế tháp (có diện tích là 12288 m²). Tính diện tích mặt trên cùng.

Bài 4 Cho cấp số nhân (u_n) thỏa mãn: . Số $\frac{2}{6561}$ là số hạng thứ bao nhiêu của cấp số ?

Bài 5 Xác định x để 3 số 2x – 1; x; 2x + 1 lập thành một cấp số nhân?

Bài 6 Cho cấp số nhân (u_n) có u₁ = 3 và 15u₁ – 4u₂ + u₃ đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm số hạng thứ 13 của cấp số nhân đã cho.

Bài 7 Tính các tổng sau: 

Bài 8 Cho cấp số nhân với công bội $q$.

a) Biết $u_1=2,u_6=486$. Tìm $q$

b) Biết $q=\frac{2}{3}$, $u_4=\frac{8}{21}$. Tìm $u_1$

c) Biết $u_1=3,q=-2$. Hỏi số $192$ là số hạng thứ mấy?

Bài 9 Tìm các số hạng của cấp số nhân $(u_n)$ có năm số hạng, biết:

a) $u_3=3$ và $u_5=27$;                    

b) $u_4–u_2=25$ và $u_3–u_1=50$ 

Bài 10 Tìm cấp số nhân có sáu số hạng, biết rằng tổng của năm số hạng đầu là  và tổng của năm số hạng sau là ?

B. Lý thuyết cấp số nhân

I. Định nghĩa

– Cấp số nhân là một dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn), trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều là tích của số hạng đứng ngay trước nó với một số không đổi q.

Số q được gọi là công bội của cấp số nhân.

– Nếu (u_n) là cấp số nhân với công bội q, ta có công thức truy hồi:

u_{n + 1} = u_n. q với $n\in \mathbb{N}*$.

– Đặc biệt

Khi q = 0, cấp số nhân có dạng u₁, 0, 0, …., 0,…..

Khi q = 1, cấp số nhân có dạng u₁, u₁, u₁, …., u₁,…

Khi u₁ = 0 thì với mọi q, cấp số nhân có dạng 0, 0, 0, 0, 0,…, 0..

– Ví dụ 1. Dãy số hữu hạn sau là một cấp số nhân: 2, 4, 8, 16, 32 với số hạng đầu u₁ = 2 và công bội q = 2.

II. Số hạng tổng quát.

– Định lí: Nếu cấp số nhân có số hạng đầu u₁ và công bội q thì số hạng tổng quát u_n được xác định bởi công thức: u_n = u₁.q^{n – 1} với n ≥ 2.

– Ví dụ 2. Cho cấp số nhân (u_n) với u₁ = – 1; q = – 2.

a) Tính u₆;

b) Hỏi 128 là số hạng thứ mấy.

Lời giải:

a) Ta có: u₆ = u₁. q⁵ = –1. (– 2)⁵ = 32.

b) Ta có: u_n = u₁.q^{n – 1} nên 128 = – 1. (– 2)^{n – 1}

$\iff$(– 2)^{n – 1} = – 128 = (– 2)⁷.

$\iff$n – 1 = 7 nên n = 8.

Vậy 128 là số hạng thứ 8.

III. Tính chất các số hạng của cấp số nhân

– Định lí: Trong một cấp số nhân, bình phương của mỗi số hạng (trừ số hạng đầu và cuối) đều là tích của hai số hạng đứng kề với nó, nghĩa là:

$u_k^2=u_{k-1}.u_{k+\text{}1};k\ge 2$

( hay $\left|u_k\right|=\sqrt{u_{k-1}.u_{k+\text{}1}}$).

IV. Tổng n số hạng đầu của một cấp số nhân.

– Định lí: Cho cấp số nhân (u_n) với công bội q ≠ 1. Đặt S_n = u₁ + u₂ + …+ u_n .

Khi đó: $S_n=\frac{u_1(1-q^n)}{1-q}$.

– Chú ý: Nếu q = 1 thì cấp số nhân là u₁, u₁, u₁,….u₁,….Khi đó, S_n = n.u₁.

Ví dụ 3. Cho cấp số nhân (u_n) biết u₁ = 3; u₂ = 9. Tính tổng của 8 số hạng đầu tiên?

Lời giải:

Ta có: u₂ = u₁.q nên 9 = 3q.

Suy ra, công bội q = 3.

Khi đó, tổng của 8 số hạng đầu tiên là:

$S_8=\frac{u_1(1-q^8)}{1-q}=\frac{3.(1-3^8)}{1-3}=9840$