Các bài toán về véc tơ trong không gian

Tài liệu Các bài toán về véc tơ trong không gian gồm các nội dung chính sau:

A. Lý thuyết

– Tóm tắt lý thuyết ngắn gọn Các bài toán về véc tơ trong không gian.

B. Các dạng toán về véc tơ trong không gian

– Gồm 10 ví dụ minh họa đa dạng của Các bài toán về véc tơ trong không gian có đáp án và lời giải chi tiết.

Mời các quý thầy cô và các em học sinh cùng tham khảo và tải về chi tiết tài liệu dưới đây:

Các bài toán về véc tơ trong không gian (ảnh 1)

DẠNG 1. CÁC BÀI TOÁN VỀ VÉC TƠ TRONG KHÔNG GIAN

A. LÝ THUYẾT

Cho các véc tơ tùy ý $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ và $k, l \in ℝ$ .

Cộngvéctơ:

Lấy điểm $O$ tùy ý trong không gian, vẽ $\vec{O A} = \vec{a}, \vec{A B} = \vec{b},$ thì $\vec{O B} = \vec{a} + \vec{b}$

Quy tắc ba điểm: Cho ba điểm $M, N, K$ bất kỳ thì $\vec{M N} = \vec{M K} + \vec{K N}$

2. Trừ véc tơ: $\vec{a} - \vec{b} = \vec{a} + (- \vec{b})$

Quy tắc ba điểm: $\vec{M N} = \vec{K N} - \vec{K M}$ .

Quy tắc hình bình hành: Cho hình bình hành $A B C D$ ta có: $\vec{A C} = \vec{A B} + \vec{A D}$ .

Quy tắc hình hộp: Cho hình hộp $A B C D . A^{‘} B^{‘} C^{‘} D^{‘}$ ta có $\vec{A C^{‘}} = \vec{A B} + \vec{A D} + \vec{}$ .

3. Tích véc tơ:

Tích của véc tơ $\vec{a}$ với một số thực $k$ là một véc tơ. Kí hiệu là $k . \vec{a}$

+) Cùng hướng với $\vec{a}$ nếu $k > 0$ .

+) Ngược hướng với $\vec{a}$ nếu $k < 0$ .

+) $|k . \vec{a}| = |k| . |\vec{a}|$ .

Hệ quả: Nếu $I$ là trung điểm của $A, B, O$ tùy ý thì $\vec{O A} + \vec{O B} = 2 \vec{O I}$ .

4. Tích vô hướng của hai véc tơ.

+) Định nghĩa: $\vec{a} . \vec{b} = |\vec{a}| . |\vec{b}| . \cos (\vec{a}, \vec{b})$ .

+) Hệ quả: $\vec{a} ⊥ \vec{b} \Leftrightarrow \vec{a} . \vec{b} = 0$ .

+) ${\vec{a}}^{2} = \vec{a} . \vec{a} = {|\vec{a}|}^{2}$ .

+) Với ba điểm $A, B, C$ ta có $A B . A C = \frac{A B^{2} + A C^{2} - B C^{2}}{2}$ .

+) Quy tắc hình chiếu: Cho hai véc tơ $\vec{a}, \vec{b}$ . Gọi $\vec{a^{‘}}$ là hình chiếu vuông góc của $\vec{a^{‘}}$ trên đường thẳng chứa $\vec{b}$ thì: $\vec{a} . \vec{b} = \vec{a^{‘}} . \vec{b}$ .

Các bài toán về véc tơ trong không gian (ảnh 3)

5. Định nghĩa: Ba véc tơ $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ gọi là đồng phẳng nếu giá của chúng cùng song song hoặc nằm trên một mặt phẳng.

6. Các định lý:

a) Cho $\vec{a}, \vec{b}$ không cùng phương: $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ đồng phẳng $\Leftrightarrow \exists m, n \in ℝ : \vec{c} = m \vec{a} + n \vec{b}$ ( với $m, n$ xác định duy nhất).

b) Nếu ba véc tơ $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ không đồng phẳng thì mọi véc tơ đều được biểu diễn dưới dạng: $\vec{x} = m \vec{a} + n \vec{b} + k \vec{c}$ với $m, n, k$ xác định duy nhất.

B. CÁC DẠNG TOÁN VỀ VÉC TƠ TRONG KHÔNG GIAN.

Ví dụ 1. Cho tứ diện đều $A B C D$ , $M$ là trung điểm của cạnh $A B$ và $G$ là trộng tâm cảu tam giác $B C D$ . Đặt $\vec{A B} = \vec{b}, \vec{A C} = \vec{c}, \vec{A D} = \vec{d}$ . Phân tích véc tơ $\vec{M G}$ theo $\vec{d}, \vec{b}, \vec{c}$ .

A. $\vec{M G} = - \frac{1}{6} \vec{b} + \frac{1}{3} \vec{c} + \frac{1}{3} \vec{d}$ . B. $\vec{M G} = \frac{1}{6} \vec{b} + \frac{1}{3} \vec{c} + \frac{1}{3} \vec{d}$ .

C. $\vec{M G} = - \frac{1}{6} \vec{b} - \frac{1}{3} \vec{c} + \frac{1}{3} \vec{d}$ . D. $\vec{M G} = - \frac{1}{6} \vec{b} - \frac{1}{3} \vec{c} - \frac{1}{3} \vec{d}$ .

Xem thêm

Bài liên quan:

Leave a Comment Hủy