Giải Toán 11 Bài 2: Phương trình lượng giác cơ bản

Giải bài tập Toán 11 Bài 2: Phương trình lượng giác cơ bản

Trả lời câu hỏi giữa bài

Trả lời hoạt động 1 trang 18 sgk Đại số và Giải tích 11: Tìm một giá trị của x sao cho 2sinx – 1 = 0.

Lời giải: 

Ta có: $2\sin x–1=0\Rightarrow sinx=\frac{1}{2}$

Do $\sin \frac{\pi }{6}=\frac{1}{2}$

$\Rightarrow \frac{\pi }{6}$ là một giá trị của x thỏa mãn $2\sin x–1=0$.

Trả lời hoạt động 2 trang 19 sgk Đại số và Giải tích 11: Có giá trị nào của x thỏa mãn phương trình sinx = -2 không?

Lời giải: 

Không có giá trị nào của x thỏa mãn phương trình sinx = -2

Trả lời hoạt động 3 trang 21 sgk Đại số và Giải tích 11: Giải các phương trình sau:…
a. 
b. 

Lời giải: 
a.

$\sin x=\frac{1}{3}\iff [\begin{array}{l}x=\arcsin \frac{1}{3}+k2\pi \\ x=\pi -\arcsin \frac{1}{3}+k2\pi \end{array}(k\in Z)$

Vậy phương trình $sinx=\frac{1}{3}$ có các nghiệm là:

$[\begin{array}{l}x=\arcsin \frac{1}{3}+k2\pi \\ x=\pi -\arcsin \frac{1}{3}+k2\pi \end{array}(k\in Z)$

b. 

$\begin{array}{l}\sin \left(x+{45}^0\right)=-\frac{\sqrt{2}}{2}\\ \iff \sin \left(x+{45}^0\right)=\sin \left(-{45}^0\right)\\ \iff [\begin{array}{l}x+{45}^0=-{45}^0+k{360}^0\\ x+{45}^0={180}^0-\left(-{45}^0\right)+k{360}^0\end{array}(k\in Z)\\ \iff [\begin{array}{l}x=-{90}^0+k{360}^0\\ x={180}^0+k{360}^0\end{array}(k\in Z)\end{array}$

Vậy phương trình có nghiệm $[\begin{array}{l}x=-{90}^0+k{360}^0\\ x={180}^0+k{360}^0\end{array}(k\in Z)$

Trả lời hoạt động 4 trang 23 sgk Đại số và Giải tích 11: Giải các phương trình sau:
a. 
b. 
c. 

Lời giải: 
a. 

Vì $\frac{-1}{2}$ = cos $\frac{2\pi }{3}$ nên cos ⁡x = $\frac{-1}{2}$ ⇔ cos ⁡x = cos $\frac{2\pi }{3}$

⇔ x = ±$\frac{2\pi }{3}$ + k2π, k ∈ Z

b. 
$cosx=\frac{2}{3}$  ⇒ $x=\pm arccos\frac{2}{3}+k2\pi ,k\in Z$
c. 

$\frac{\sqrt{3}}{2}=cos{30}^0$nên $cos(x+{30}^0)=\frac{\sqrt{3}}{2}$

⇔ $cos(x+{30}^0)=cos{30}^0$

⇔ $x+{30}^0=\pm {30}^0+k{.360}^0,k\in Z$

⇔ $x=k{.360}^0,k\in Z$ và $x=-{60}^0+k{.360}^0,k\in Z$

Trả lời hoạt động 5 trang 24 sgk Đại số và Giải tích 11: Giải các phương trình sau:
a. tanx = 1
b. tanx = -1
c. tanx = 0

Lời giải: 
a.
tan⁡ x = 1 ⇔ tan⁡ x = tan⁡ $\frac{\pi }{4}$ ⇔ x = $\frac{\pi }{4}$ + kπ, k ∈ Z
b.
tan⁡ x = -1 ⇔ tan⁡ x = tan⁡ $(-\frac{\pi }{4})$ ⇔ x =$-\frac{\pi }{4}$ + kπ, k ∈ Z
c.
tan⁡ x = 0 ⇔ tan⁡ x = tan⁡0 ⇔ x = kπ, k ∈ Z

Trả lời hoạt động 6 trang 26 sgk Đại số và Giải tích 11: Sử dụng máy tính bỏ túi, hãy tính sinx, cosx với x là các số sau:… 
a. cotx = 1
b. cotx = -1
c. cotx = 0.

Lời giải: 
a.
cot⁡ x = 1 ⇔ cot⁡ x = cot⁡ $\frac{\pi }{4}$ ⇔ x = $\frac{\pi }{4}$ + kπ, k ∈ Z
b.
cot⁡ x = -1 ⇔ cot⁡ x = cot⁡ $(-\frac{\pi }{4})$ ⇔ x = $-\frac{\pi }{4}$ + kπ,k ∈ Z
c.
cot⁡ x = 0 ⇔ cot⁡ x = cot⁡ $\frac{\pi }{2}$⇔ x = $\frac{\pi }{2}$ + kπ, k ∈ Z

Bài tập (trang 28, 29 sgk Đại số và Giải tích 11)

Bài 1 trang 28 sgk Đại số và Giải tích 11: Giải các phương trình sau:
a. 
b. sin3x = 1
c. 
d. 
Lời giải: 

$\begin{array}{l}a)\sin \left(x+2\right)=\frac{1}{3}\\ \iff [\begin{array}{l}x+2=\arcsin \frac{1}{3}+k2\pi \\ x+2=\pi -\arcsin \frac{1}{3}+k2\pi \end{array}\\ \iff [\begin{array}{l}x=\arcsin \frac{1}{3}-2+k2\pi \\ x=\pi -\arcsin \frac{1}{3}-2+k2\pi \end{array}\left(k\in Z\right)\end{array}$

Vậy nghiệm của phương trình là $x=arcsin\frac{1}{3}-2+k2\pi (k\in \mathbb{Z})$ hoặc $x=\pi -arcsin\frac{1}{3}-2+k2\pi (k\in \mathbb{Z})$

b.

$\begin{array}{l}\sin 3x=1\\ \iff \sin 3x=\sin \frac{\pi }{2}\\ \iff 3x=\frac{\pi }{2}+k2\pi \\ \iff x=\frac{\pi }{6}+\frac{k2\pi }{3}\left(k\in Z\right)\end{array}$

Vậy nghiệm của phương trình là $x=\frac{\pi }{6}+\frac{k2\pi }{3},(k\in \mathbb{Z})$

$\begin{array}{l}c)\sin \left(\frac{2x}{3}-\frac{\pi }{3}\right)=0\\ \Rightarrow \frac{2x}{3}-\frac{\pi }{3}=k\pi \\ \iff \frac{2x}{3}=\frac{\pi }{3}+k\pi \\ \iff x=\frac{\pi }{2}+\frac{3k\pi }{2}\left(k\in Z\right)\end{array}$

Vậy nghiệm của phương trình là $x=\frac{\pi }{2}+k.\frac{3\pi }{2},k\in Z$

d. 

$\begin{array}{l}\sin \left(2x+{20}^0\right)=-\frac{\sqrt{3}}{2}\\ \iff \sin \left(2x+{20}^0\right)=\sin \left(-{60}^0\right)\\ \iff [\begin{array}{l}2x+{20}^0=-{60}^0+k{360}^0\\ 2x+{20}^0={180}^0+{60}^0+k{360}^0\end{array}\\ \iff [\begin{array}{l}2x=-{80}^0+k{360}^0\\ 2x={220}^0+k{360}^0\end{array}\\ \iff [\begin{array}{l}x=-{40}^0+k{180}^0\\ x={110}^0+k{180}^0\end{array}\left(k\in Z\right)\end{array}$

Vậy nghiệm của phương trình là $x=-{40}^0+k{180}^0,(k\in \mathbb{Z})$ hoặc $x={110}^0+k{180}^0,(k\in \mathbb{Z})$

Bài 2 trang 28 sgk Đại số và Giải tích 11: Với những giá trị nào của $x$ thì giá trị của các hàm số $y=sin3x$ và $y=sinx$ bằng nhau?

Lời giải: 

$x$ thỏa mãn yêu cầu bài ra khi và chỉ khi x là nghiệm của phương trình:          

$\begin{array}{l}\sin 3x=\sin x\\ \iff [\begin{array}{l}3x=x+k2\pi \\ 3x=\pi -x+k2\pi \end{array}\left(k\in \mathbb{Z}\right)\\ \iff [\begin{array}{l}2x=k2\pi \\ 4x=\pi +k2\pi \end{array}\left(k\in \mathbb{Z}\right)\\ \iff [\begin{array}{l}x=k\pi \\ x=\frac{\pi }{4}+\frac{k\pi }{2}\end{array}\left(k\in \mathbb{Z}\right)\end{array}$

Vậy $[\begin{array}{c}x=k\pi \hfill \\ x=\frac{\pi }{4}+\frac{k\pi }{2}\hfill \end{array}(k\in \mathbb{Z})$ là nghiệm.

Bài 3 trang 28 sgk Đại số và Giải tích 11: Giải các phương trình sau:
a. 
b. 
c. 
d.  
a. 
Phương pháp giải:

Lời giải:

b. 
Phương pháp giải:

Lời giải: 

c. 
Phương pháp giải: 

Lời giải: 

d. 
Phương pháp giải: 

Lời giải: 

Bài 4 trang 29 sgk Đại số và Giải tích 11: Giải phương trình $\frac{2\cos 2x}{1-\sin 2x}=0$
Phương pháp giải: 

+) Tìm ĐKXĐ.

+) $\frac{A}{B}=0\Rightarrow A=0$

+) Giải phương trình lượng giác cơ bản: $\cos x=\cos \alpha \iff [\begin{array}{l}x=\alpha +k2\pi \\ x=-\alpha +k2\pi \end{array}\left(k\in Z\right)$

Lời giải: 

Điều kiện: $\sin 2x\ne 1\iff 2x\ne \frac{\pi }{2}+k2\pi$ $\iff x\ne \frac{\pi }{4}+k\pi (k\in \mathbb{Z})$

$\frac{2\cos 2x}{1-\sin 2x}=0$

$\Rightarrow 2\cos 2x=0$ 

$\iff \cos 2x=0$

$\iff 2x=\frac{\pi }{2}+k\pi$

$\iff x=\frac{\pi }{4}+\frac{k\pi }{2}\left(k\in Z\right)$

Kiểm tra ĐK:

$\frac{\pi }{4}+\frac{k\pi }{2}\ne \frac{\pi }{4}+l\pi$

$\iff \frac{k\pi }{2}\ne l\pi$

$\iff \frac{k}{2}\ne l$

$\iff k\ne 2l$

Hay $k$ không thể nhận các giá trị chẵn.

Do đó k lẻ nên $k=2m+1$.

Vậy $x=\frac{\pi }{4}+\frac{\left(2m+1\right)\pi }{2}=\frac{3\pi }{4}+m\pi$.

Vậy phương trình có nghiệm $x=\frac{3\pi }{4}+m\pi ,m\in Z$.

Chú ý: Nghiệm $x=\frac{3\pi }{4}+m\pi$ cũng có thể viết thành $x=-\frac{\pi }{4}+n\pi$ bằng cách đặt $m=n-1$.

Các em cũng có thể vẽ đường tròn đơn vị để loại nghiệm như sau: 

Các điểm biểu diễn $x=\frac{\pi }{4}+k\pi$ là $M_1,M_2$ nhưng điều kiện là $x\ne \frac{\pi }{4}+k\pi$ nên hai điểm này không lấy.

Các điểm biểu diễn $x=\frac{\pi }{4}+\frac{k\pi }{2}$ là $M_1,M_2,M_3,M_4$ nhưng do không lấy hai điểm $M_1,M_2$ nên các điểm biểu diễn nghiệm chỉ còn $M_3,M_4$.

Dễ thấy hai điểm này đối xứng nhau qua $O$ và $\widehat{AO{M}_4}=-\frac{\pi }{4}$ nên nghiệm của phương trình là $x=-\frac{\pi }{4}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$.

Bài 5 trang 29 sgk Đại số và Giải tích 11: Giải các phương trình sau:
a. 
b. 
c. 
d. 

a. 

Phương pháp giải: 

Coi biểu thức sau hàm tan như một ẩn phụ khác, giải tương tự như pt LG cơ bản

$\begin{array}{l}\tan x=\tan a\iff x=a+k{180}^0\\ \left(k\in Z\right)\end{array}$

Lời giải: 

Điều kiện $x-{15}^0\ne {90}^0+k{180}^0$ $\iff x\ne {105}^0+k{.180}^0.$

$tan(x-{15}^0)=\frac{\sqrt{3}}{3}$

$\iff tan(x-{15}^0)=tan{30}^0$

$\iff x-{15}^0={30}^0+k{180}^0,(k\in \mathbb{Z}).$

$\iff x={45}^0+k{180}^0,(k\in \mathbb{Z}).$ (tm)

Vậy nghiệm của phương trình là: $x={45}^0+k{180}^0,(k\in \mathbb{Z}).$

b. 

Phương pháp giải:

Coi biểu thức sau hàm cot như một ẩn phụ lớn, giải tương tự như pt LG cơ bản

$\begin{array}{l}\cot x=\cot \alpha \iff x=\alpha +k\pi \left(k\in Z\right)\end{array}$

Lời giải: 

Điều kiện $3x-1\ne k\pi (k\in \mathbb{Z})$ hay $x\ne \frac{1+k\pi }{3}(k\in \mathbb{Z})$

$\begin{array}{l}\cot \left(3x-1\right)=-\sqrt{3}\\ \iff \cot \left(3x-1\right)=\cot \left(-\frac{\pi }{6}\right)\\ \iff 3x-1=-\frac{\pi }{6}+k\pi \\ \iff 3x=1-\frac{\pi }{6}+k\pi \\ \iff x=\frac{1}{3}-\frac{\pi }{18}+\frac{k\pi }{3}\left(k\in Z\right)\left(tm\right)\end{array}$

Vậy nghiệm phương trình là $x=\frac{1}{3}-\frac{\pi }{18}+\frac{k\pi }{3},(k\in \mathbb{Z})$

c. 

Phương pháp giải: 

$\begin{array}{l}AB=0\iff [\begin{array}{l}A=0\\ B=0\end{array}\end{array}$

Lưu ý điều kiện xác định của các hàm tan và cot, hàm phân thức.

Lời giải: 

Điều kiện $cosx\ne 0\iff x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi (k\in \mathbb{Z})$

$\begin{array}{l}\cos 2x\tan x=0\\ \iff [\begin{array}{l}\cos 2x=0\\ \tan x=0\end{array}\\ \iff [\begin{array}{l}2x=\frac{\pi }{2}+k\pi \\ x=k\pi \end{array}\\ \iff [\begin{array}{l}x=\frac{\pi }{4}+\frac{k\pi }{2}\\ x=k\pi \end{array}\left(k\in Z\right)\left(tm\right)\end{array}$

Vậy nghiệm phương trình là: $x=\frac{\pi }{4}+\frac{k\pi }{2}(k\in \mathbb{Z})$ hoặc $x=k\pi (k\in \mathbb{Z})$

d. 

Phương pháp giải: 

$\begin{array}{l}AB=0\iff [\begin{array}{l}A=0\\ B=0\end{array}\end{array}$

Lưu ý điều kiện xác định của các hàm tan và cot, hàm phân thức.

Lời giải: 

ĐK: $sinx\ne 0\iff x\ne k\pi (k\in \mathbb{Z})$

$\begin{array}{l}\sin 3x\cot x=0\\ \iff [\begin{array}{l}\sin 3x=0\\ \cot x=0\end{array}\\ \iff [\begin{array}{l}3x=k\pi \\ x=\frac{\pi }{2}+n\pi \end{array}\\ \iff [\begin{array}{l}x=\frac{k\pi }{3}\\ x=\frac{\pi }{2}+n\pi \end{array}\left(k,n\in Z\right)\end{array}$

Kết hợp với điều kiện ta thấy khi $k=3m,m\in \mathbb{Z}$ thì $x=\frac{k\pi }{3}=\frac{3m\pi }{3}=m\pi \left(m\in Z\right)$ $\Rightarrow \sin x=0$ không thỏa điều kiện.

Vậy phương trình có nghiệm là: $x=\frac{k\pi }{3}$ $\left(k\ne 3m\left(m\in Z\right)\right)$ và $x=\frac{\pi }{2}+n\pi (n\in Z)$.

Chú ý:

Biểu diễn các họ nghiệm trên đường tròn lượng giác để loại nghiệm:

Các nghiệm $[\begin{array}{l}x=\frac{k\pi }{3}\\ x=\frac{\pi }{2}+k\pi \end{array},k\in \mathbb{Z}$ được biểu diễn bởi các điểm từ A₁ đến A₈ trên đường tròn lượng giác như hình dưới.

Với điều kiện x ≠ k.π nên các điểm A₁ và A₄ bị loại.

Vậy họ nghiệm chỉ còn lại các điểm A₂; A₃; A₅; A₆; A₇; A₈ và ta viết được dưới kết quả $[\begin{array}{l}x=\pm \frac{\pi }{3}+k\pi \\ x=\frac{\pi }{2}+k\pi \end{array},k\in \mathbb{Z}$.

Bài 6 trang 29 sgk Đại số và Giải tích 11: Với những giá trị nào của $x$ thì giá trị của các hàm số $y=tan(\frac{\pi }{4}-x)$ và $y=tan2x$  bằng nhau?

Phương pháp giải: 

Bài toán tương đương giải phương trình $\tan \left(\frac{\pi }{4}-x\right)=\tan 2x$.

B1: Coi $X=\frac{\pi }{4}-xvà\alpha =2x$

B2: Giải tương tự như PT 

$\tan X=\tan \alpha$ $\iff X=\alpha +k\pi ,k\in \mathbb{Z}$

Từ đó suy ra nghiệm x và KL

Lời giải:

Ta có:

$\begin{array}{l}\tan \left(\frac{\pi }{4}-x\right)=\tan 2x\\ DK:\{\begin{array}{l}\frac{\pi }{4}-x\ne \frac{\pi }{2}+m\pi \\ 2x\ne \frac{\pi }{2}+m\pi \end{array}\\ \iff [\begin{array}{l}x\ne -\frac{\pi }{4}-m\pi \\ x\ne \frac{\pi }{4}+\frac{m\pi }{2}\end{array}\\ \iff x\ne \frac{\pi }{4}+\frac{m\pi }{2}\left(m\in Z\right)\end{array}$

Khi đó phương trình tương đương với:

$\begin{array}{l}2x=\frac{\pi }{4}-x+k\pi \\ \iff 3x=\frac{\pi }{4}+k\pi \\ \iff x=\frac{\pi }{12}+\frac{k\pi }{3}\left(k\in Z\right)\end{array}$

Kết hợp điều kiện ta có: 

$\begin{array}{l}\frac{\pi }{12}+\frac{k\pi }{3}\ne \frac{\pi }{4}+\frac{m\pi }{2}\\ \iff \frac{k\pi }{3}\ne \frac{m\pi }{2}+\frac{\pi }{6}\\ \iff 2k\pi \ne 3m\pi +\pi \\ \iff 2k\ne 3m+1\\ \iff k\ne \frac{3m+1}{2}\left(k,m\in Z\right)\end{array}$

Vậy phương trình có nghiệm: $x=\frac{\pi }{12}+\frac{k\pi }{3}\left(k\ne \frac{3m+1}{2}\left(k,m\in Z\right)\right)$

Bài 7 trang 29 sgk Đại số và Giải tích 11: H Giải các phương trình sau:
a. 
b. 

a.
Phương pháp giải:

B1: chuyển vế, đưa PT về dạng $sin\alpha =cos\beta$.

B2: Do $\sin x=\cos \left(\frac{\pi }{2}-x\right)$ PT trở về dạng $\cos X=\cos Y$ với $X=\left(\frac{\pi }{2}-x\right);Y=\beta$

$\iff [\begin{array}{l}X=Y+k2\pi \\ X=-Y+k2\pi \end{array}\left(k\in Z\right)$

Từ đó suy ra nghiệm x và KL.

Lời giải:

$\begin{array}{l}\sin 3x-\cos 5x=0\\ \iff \cos 5x=\sin 3x=\cos \left(\frac{\pi }{2}-3x\right)\\ \iff [\begin{array}{l}5x=\frac{\pi }{2}-3x+k2\pi \\ 5x=-\frac{\pi }{2}+3x+k2\pi \end{array}\\ \iff [\begin{array}{l}8x=\frac{\pi }{2}+k2\pi \\ 2x=-\frac{\pi }{2}+k2\pi \end{array}\\ \iff [\begin{array}{l}x=\frac{\pi }{16}+\frac{k\pi }{4}\\ x=-\frac{\pi }{4}+k\pi \end{array}\left(k\in Z\right)\end{array}$

Vậy nghiệm phương trình là: $x=\frac{\pi }{16}+\frac{k\pi }{4}(k\in Z)$ và $x=-\frac{\pi }{4}+k\pi ,(k\in \mathbb{Z})$

Cách khác:

sin3x – cos5x = 0

Vậy nghiệm phương trình là: $x=\frac{\pi }{16}+\frac{k\pi }{4}(k\in Z)$ và $x=-\frac{\pi }{4}+k\pi ,(k\in \mathbb{Z})$

b. 

Phương pháp giải:

B1: Tìm ĐKXĐ.

B2: vì $\frac{1}{\tan x}=\cot x=\tan \left(\frac{\pi }{2}-x\right)$

phương trình trở về dạng $\tan \alpha =\tan \beta$ với $\alpha =3x;\beta =\frac{\pi }{2}-x$

$\iff \alpha =\beta +k\pi \left(k\in Z\right)$

B3: Suy ra nghiệm x rồi KL.

Lời giải:

Điều kiện:

$\begin{array}{l}\{\begin{array}{l}\cos 3x\ne 0\\ \cos x\ne 0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}3x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi \\ x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi \end{array}\\ \iff \{\begin{array}{l}x\ne \frac{\pi }{6}+\frac{k\pi }{3}\\ x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi \end{array}\Rightarrow x\ne \frac{\pi }{6}+\frac{k\pi }{3}\left(k\in Z\right)\end{array}$

$\begin{array}{l}\tan 3x\tan x=1\\ \iff \tan 3x=\frac{1}{\tan x}\\ \iff \tan 3x=\cot x\\ \iff \tan 3x=\tan \left(\frac{\pi }{2}-x\right)\\ \iff 3x=\frac{\pi }{2}-x+k\pi \\ \iff 4x=\frac{\pi }{2}+k\pi \\ \iff x=\frac{\pi }{8}+\frac{k\pi }{4}\left(k\in Z\right)\left(tm\right)\end{array}$

Vậy nghiệm phương trình là $x=\frac{\pi }{8}+\frac{k\pi }{4},$$k\in \mathbb{Z}$.

Chú ý:

Ở bài này ta thấy ngay họ nghiệm $x=\frac{\pi }{8}+\frac{k\pi }{4},k\in \mathbb{Z}$ không có nghiệm nào vi phạm điều kiện xác định nên ta lấy cả họ nghiệm và không phải loại bỏ điểm nào.

Lý thuyết Bài 2. Phương trình lượng giác cơ bản

1. Phương trình lượng giác cơ bản

a) Phương trình $\sin x=a$

+) Nếu $\left|a\right|>1$ thì phương trình vô nghiệm.

+) Nếu $\left|a\right|\le 1$ thì phương trình $\sin x=a$ có các nghiệm $x=\arcsin a+k2\pi$ và$x=\pi -\arcsin a+k2\pi$

Đặc biệt:

+) $\sin f(x)=\sin \alpha$ $\iff [\begin{array}{l}f(x)=\alpha +k2\pi \\ f(x)=\pi -\alpha +k2\pi \end{array}\left(k\in Z\right)$

+) $\sin f(x)=\sin {\beta }^0$ $\iff [\begin{array}{l}f(x)={\beta }^0+k{360}^0\\ f(x)={180}^0-{\beta }^0+k{360}^0\end{array}\left(k\in Z\right)$

b) Phương trình $\cos x=a$

+) Nếu $\left|a\right|>1$ thì phương trình vô nghiệm.

+) Nếu $\left|a\right|\le 1$ thì phương trình $\cos x=a$ có các nghiệm $x=\arccos a+k2\pi$ và  $x=-\arccos a+k2\pi$

Đặc biệt:

+) $\cos f(x)=\cos \alpha$ $\iff [\begin{array}{l}f(x)=\alpha +k2\pi \\ f(x)=-\alpha +k2\pi \end{array}\left(k\in Z\right)$

+) $\cos f(x)=\cos {\beta }^0$ $\iff [\begin{array}{l}f(x)={\beta }^0+k{360}^0\\ f(x)=-{\beta }^0+k{360}^0\end{array}\left(k\in Z\right)$

c) Phương trình $\tan x=a$

Phương trình luôn có nghiệm $x=\arctan a+k\pi$.

Đặc biệt:

+) $\tan x=\tan \alpha$ $\iff x=\alpha +k\pi \left(k\in Z\right)$

+) $\tan x=\tan {\beta }^0$ $\iff x={\beta }^0+k{180}^0$

d) Phương trình $\cot x=a$

Phương trình luôn có nghiệm $x=\mathrm{arccot}a+k\pi$.

Đặc biệt:

+) $\cot x=\cot \alpha$ $\iff x=\alpha +k\pi \left(k\in Z\right)$

+) $\cot x=\cot {\beta }^0$ $\iff x={\beta }^0+k{180}^0,k\in Z$

e) Các trường hợp đặc biệt

* Phương trình $\sin x=a$

$+\sin x=0\iff x=k\pi ;$ 

$+\sin x=-1\iff x=-\frac{\pi }{2}+k2\pi ;$

$+\sin x=1\iff x=\frac{\pi }{2}+k2\pi ;$  

* Phương trình $\cos x=a$

$+\cos x=0\iff x=\frac{\pi }{2}+k\pi$

$+\cos x=-1\iff x=\pi +k2\pi$

$+\cos x=1\iff x=k2\pi$

2. Một số chú ý khi giải phương trình.

– Khi giải phương trình lượng giác có chứa $\tan ,\cot$, chứa ẩn ở mẫu, căn bậc chẵn,…thì cần đặt điều kiện cho ẩn.

– Khi giải xong phương trình thì cần chú ý thử lại đáp án, kiểm tra điều kiện.