Lý thuyết Toán lớp 11 Bài 2: Hai đường thẳng song song trong không gian
A. Lý thuyết Hai đường thẳng song song trong không gian
I. Vị trí tương đối của hai đường thẳng
Cho hai đường thẳng a, b phân biệt trong không gian. Khi đó chỉ xảy ra các trường hợp sau:
- Có một mặt phẳng chứa a và b. Khi đó ta nói a và b đồng phẳng. Khi đó, a và b có thể cắt nhau, song song với nhau hoặc trùng nhau.
- Không có mặt phẳng nào chứa a và b. Khi đó ta nói a và b chéo nhau.
* Nhận xét: Hai đường thẳng song song là hai đường thẳng cùng nằm trong một mặt phẳng và không có điểm chung. Kí hiệu //.
II. Tính chất của hai đường thẳng song song
- Trong không gian, qua một điểm không nằm trên đường thẳng cho trước, có đúng một đường thẳng song song với đường thẳng đã cho.
- Nếu ba mặt phẳng đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì 3 giao tuyến đó đồng quy hoặc đôi một song song.
* Hệ quả: Nếu hai mặt phẳng chứa 2 đường thẳng song song với nhau thì giao tuyến (nếu có) của chúng song song với 2 đường thẳng đó hoặc trùng với một trong hai đường thẳng đó.
- Trong không gian, hai đường thẳng phân biệt cùng song song với đường thẳng thứ 3 thì song song với nhau.
B. Bài tập Hai đường thẳng song song trong không gian
Bài 1. Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N là hai điểm phân biệt cùng thuộc đường thẳng AB; P, Q là hai điểm phân biệt cùng thuộc đường thẳng CD. Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng MP và NQ.
Hướng dẫn giải
Ta có N = AB ∩ NQ.
Suy ra N là giao điểm của đường thẳng NQ và mặt phẳng (ABP).
Do đó Q không thuộc mặt phẳng (ABP).
Mà M, N, P đều thuộc mặt phẳng (ABP).
Suy ra bốn điểm M, N, P, Q không đồng phẳng.
Vậy hai đường thẳng MP và NQ chéo nhau.
Bài 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi I, J, E, F lần lượt là trung điểm SA, SB, SC, SD. Chứng minh rằng IJ // EF.
Hướng dẫn giải
Tam giác SCD có E, F lần lượt là trung điểm của SC, SD.
Suy ra EF là đường trung bình của tam giác SCD.
Do đó EF // CD.
Chứng minh tương tự, ta được IJ // AB.
Mà AB // CD (do tứ giác ABCD là hình bình hành).
Suy ra IJ // CD.
Vậy EF // IJ // CD.
Bài 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang (đáy lớn AB, đáy nhỏ CD). Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA và SB. Gọi P là giao điểm của SC và (AND). Gọi I là giao điểm của AN và DP. Hỏi tứ giác SABI là hình gì?
Hướng dẫn giải
Trong (ABCD): gọi E = AD ∩ BC.
Mà AD ⊂ (AND) và BC ⊂ (SBC).
Suy ra E ∈ (AND) và E ∈ (SBC).
Trong (SBC): gọi P = SC ∩ NE.
Mà NE ⊂ (AND).
Vì vậy P là giao điểm của đường thẳng SC và mặt phẳng (AND).
Ta có I = AN ∩ DP.
Mà AN ⊂ (SAB) và DP ⊂ (SCD).
Suy ra I cùng thuộc hai mặt phẳng (SAB) và (SCD).
Mà S cùng thuộc hai mặt phẳng (SAB) và (SCD).
Do đó SI = (SAB) ∩ (SCD).
Lại có AB = (SAB) ∩ (ABCD) và CD = (SCD) ∩ (ABCD).
Mà trong (ABCD), ta lại có AB // CD (do ABCD là hình thang với đáy lớn AB, đáy nhỏ CD).
Do đó SI // AB // CD.
Tam giác SAB có M, N lần lượt là trung điểm của SA, SB.
Suy ra MN là đường trung bình của tam giác SAB.
Do đó MN // AB.
Vì vậy MN // SI (do AB // SI).
Mà N là trung điểm SA.
Do đó M là trung điểm AI.
Tứ giác SABI có hai đường chéo SB và AI cắt nhau tại trung điểm M của mỗi đường.
Vậy tứ giác SABI là hình bình hành.
Xem thêm các bài tóm tắt lý thuyết Toán lớp 11 Cánh diều hay, chi tiết khác:
Lý thuyết Bài 1: Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian
Lý thuyết Bài 2: Hai đường thẳng song song trong không gian
Lý thuyết Bài 3: Đường thẳng và mặt phẳng song song
Lý thuyết Bài 4: Hai mặt phẳng song song
Lý thuyết Bài 5: Hình lăng trụ và hình hộp
Lý thuyết Bài 6: Phép chiếu song song. Hình biểu diễn của một hình không gian
Xem thêm các bài tóm tắt lý thuyết chương Toán lớp 11 Cánh diều hay, chi tiết khác:
Lý thuyết Chương 1: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác
Lý thuyết Chương 2: Dãy số. Cấp số cộng. Cấp số nhân
Lý thuyết Chương 3: Giới hạn. Hàm số liên tục
Lý thuyết Chương 4: Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian. Quan hệ song song