Lý thuyết Hai mặt phẳng song song (Cánh diều 2023) hay, chi tiết | Toán lớp 11

Lý thuyết Toán lớp 11 Bài 4: Hai mặt phẳng song song

A. Lý thuyết Hai mặt phẳng song song

I. Hai mặt phẳng song song

Hai mặt $\left(P\right)$ và $\left(Q\right)$ được gọi là song song với nhau nếu chúng không có điểm chung. Kí hiệu$\left(P\right)$// $\left(Q\right)$ hay $\left(Q\right)$//$\left(P\right)$.

 

*Nhận xét: Hai mặt $\left(P\right)$ và $\left(Q\right)$ có diểm chung. Khi đó, chúng cắt nhau theo một đường thẳng.

 

II. Điều kiện và tính chất

• Nếu mặt phẳng $\left(P\right)$ chứa hai đường thẳng cắt nhau a,b  và a,b cùng song song với mặt phẳng phẳng $\left(Q\right)$thì $\left(P\right)$song song với $\left(Q\right)$

 

• Qua một điểm nằm ngoài một mặt phẳng cho trước có một và chỉ một mặt phẳng song song với mặt phẳng đã cho.

* Hệ quả:

– Nếu đường thẳng a song song với mặt phẳng $\left(Q\right)$ thì có duy nhất một mặt phẳng chứa a và song song với mặt phẳng $\left(Q\right)$

– Nếu 2 mặt phẳng phân biệt cùng song song với mặt phẳng thứ 3 thì song song với nhau.

• Cho hai mặt phẳng $\left(P\right)$ và $\left(Q\right)$ song song. Nếu mặt phẳng $\left(R\right)$ cắt mặt phẳng $\left(P\right)$thì cũng cắt mặt phẳng $\left(Q\right)$và hai giao tuyến song song với nhau.

 

III. Định lí Thalès

 

Nếu a, b là hai cát tuyến bất kì cắt 3 mặt phẳng song song $\left(P\right)$ , $\left(Q\right)$và$\left(R\right)$ lần lượt tại các điểm A, B, C và A’, B’, C’ thì

$\frac{AB}{A^{\prime }{B}^{\prime }}=\frac{BC}{B^{\prime }{C}^{\prime }}=\frac{AC}{A^{\prime }{C}^{\prime }}$

 

B. Bài tập Hai mặt phẳng song song

Bài 1. Cho hai hình vuông ABCD và ABEF thuộc hai mặt phẳng phân biệt. Trên các đường chéo AC và BF, lấy các điểm M, N sao cho AM = BN. Từ M, N, vẽ các đường thẳng song song với AB, lần lượt cắt AD và AF tại các điểm M’ và N’. Chứng minh:

a) (ADF) // (BCE).

b) (DEF) // (MM’N’N).

Hướng dẫn giải

a) Ta có AD // BC (do ABCD là hình vuông).

Mà BC ⊂ (BCE), suy ra AD // (BCE)   (1)

Chứng minh tương tự, ta được AF // (BCE)    (2)

Trong (ADF): AD ∩ AF = A   (3)

Từ (1), (2), (3), ta thu được (ADF) // (BCE).

b) Ta có hai hình vuông ABCD và ABEF có cùng cạnh AB.

Do đó hai hình vuông ABCD và ABEF bằng nhau.

Vì vậy hai đường chéo AC và BF bằng nhau hay AC = BF  (1)

Do MM’ // CD (giả thiết) nên áp dụng định lí Thales, ta được: $\frac{A{M}^{‘}}{AD}=\frac{AM}{AC}$  (2)

Chứng minh tương tự, ta được: $\frac{A{N}^{‘}}{AF}=\frac{BN}{BF}$   (3)

Lại có AM = BN (giả thiết)   (4)

Từ (1), (2), (3), (4), suy ra $\frac{A{M}^{‘}}{AD}=\frac{A{N}^{‘}}{AF}$.

Áp dụng định lí Thales đảo, ta được M’N’ // DF.

Mà M’N’ ⊂ (MM’N’N).

Do đó DF // (MM’N’N)  (*)

Ta có NN’ // AB (giả thiết) và AB // EF (ABEF là hình vuông).

Suy ra NN’ // EF.

Mà NN’ ⊂ (MM’N’N).

Do đó EF // (MM’N’N)  (**)

Trong (DEF): DF ∩ EF = F  (***)

Từ (*), (**), (***), ta thu được (DEF) // (MM’N’N).

Bài 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Mặt phẳng (P) song song với (SBD) và đi qua điểm I thuộc đoạn OC (I ≠ O và I ≠ C). Gọi K là giao điểm của đường thẳng SC và mặt phẳng (P). Chứng minh IK // SO.

Hướng dẫn giải

Ta có K là giao điểm của đường thẳng SC và mặt phẳng (P).

Suy ra K đều thuộc hai mặt phẳng (SAC) và (P).

Mà I đều thuộc hai mặt phẳng (SAC) và (P).

Do đó KI là giao tuyến của hai mặt phẳng (SAC) và (P).

Lại có (SBD) // (P) (giả thiết) và (SAC) ∩ (SBD) = SO.

Vậy theo định lí 3, ta có IK // SO.

Bài 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi (α) là mặt phẳng đi qua O và song song với (SAB), mặt phẳng (α) cắt các đường thẳng SC, SD, AD, BC lần lượt tại các điểm M, N, P, Q. Chứng minh N là trung điểm SD.

Hướng dẫn giải

Qua điểm O, ta dựng PQ // AB, với P ∈ AD và Q ∈ BC.

Khi đó P, Q lần lượt là trung điểm của AD và BC.

Do đó CQ = BQ.

Vì tứ giác ABCD là hình bình hành nên AB // CD // PQ.

Khi đó theo Hệ quả 2 của Định lí 2, ta có duy nhất một mặt phẳng (β) chứa CD và song song với (SAB) và (α).

Ta có:

⦁ Đường thẳng CB cắt ba mặt phẳng song song (β), (α) và (SAB) lần lượt tại C, Q, B.

⦁ Đường thẳng DS cắt ba mặt phẳng song song (β), (α) và (SAB) lần lượt tại D, N, S.

Áp dụng định lí Thalès trong không gian, ta có: $\frac{QB}{NS}=\frac{CQ}{DN}$.

Suy ra $\frac{DN}{NS}=\frac{CQ}{QB}=1$.

Vậy N là trung điểm SD.

Xem thêm các bài tóm tắt lý thuyết Toán lớp 11 Cánh diều hay, chi tiết khác:

Lý thuyết Bài 1: Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian

Lý thuyết Bài 2: Hai đường thẳng song song trong không gian

Lý thuyết Bài 3: Đường thẳng và mặt phẳng song song

Lý thuyết Bài 4: Hai mặt phẳng song song

Lý thuyết Bài 5: Hình lăng trụ và hình hộp

Lý thuyết Bài 6: Phép chiếu song song. Hình biểu diễn của một hình không gian

Xem thêm các bài tóm tắt lý thuyết chương Toán lớp 11 Cánh diều hay, chi tiết khác:

Lý thuyết Chương 1: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác

Lý thuyết Chương 2: Dãy số. Cấp số cộng. Cấp số nhân

Lý thuyết Chương 3: Giới hạn. Hàm số liên tục

Lý thuyết Chương 4: Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian. Quan hệ song song