Lý thuyết Toán lớp 11 Bài 14: Phép chiếu song song
A. Lý thuyết Phép chiếu song song
1. Phép chiếu song song
Cho mặt phẳng và đường thẳng cắt . Với mỗi điểm M trong không gian ta xác định điểm M’ như sau:
– Nếu M thuộc thì M’ là giao điểm của và .
– Nếu M không thuộc thì M’ là giao điểm của và đường thẳng qua M song song với .
– Điểm M’ được gọi là hình chiếu song song của điểm M trên mặt phẳng theo phương .
– Phép đặt tương ứng mỗi điểm M với hình chiếu M’ của nó được gọi là phép chiếu song song lên theo phương .
– Mặt phẳng được gọi là mặt phẳng chiếu, phương gọi là phương chiếu.
– Cho hình , tập hợp các hình chiếu của các điểm M thuộc qua phép chiếu song song được gọi là hình chiếu của qua phép chiếu song song đó.
2. Tính chất của phép chiếu song song
– Phép chiếu song song biến 3 điểm thẳng hàng thành 3 điểm thẳng hàng và không làm thay đổi thứ tự 3 điểm đó.
– Phép chiếu song song biến đường thẳng thành đường thẳng, tia thành tia, đoạn thẳng thành đoạn thẳng.
– Phép chiếu song song biến 2 đường thẳng song song thành 2 đường thẳng song song hoặc trùng nhau.
– Phép chiếu song song giữ nguyên tỉ số độ dài của hai đoạn thẳng cùng nằm trên một đường thẳng hoặc nằm trên hai đường thẳng song song.
3. Hình biểu diễn của một hình không gian
Hình biểu diễn của một hình không gian là hình chiếu song song của hình đó trên một mặt phẳng theo phương chiếu nào đó hoặc hình đồng dạng với hình chiếu đó.
B. Bài tập Phép chiếu song song
Bài 1: Những mệnh đề nào trong các mệnh đề sau đây là đúng?
a) Hình thang là hình biểu diễn của hình bình hành.
b) Phép chiếu song song biến hai đường thẳng song song thành hai đường thẳng cắt nhau.
c) Phép chiếu song song biến tam giác cân thành tam giác đều.
Hướng dẫn giải
a) Sai. Vì hai cạnh bên của hình thang không song song trong khi đó cặp cạnh đối của hình bình hành thì song song.
b) Sai. Phép chiếu song song biến hai đường thẳng song song thành hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau.
c) Sai. Vì phép chiếu song song biến tam giác cân thành tam giác.
Bài 2: Vẽ hình biểu diễn của hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang, AB song song với CD và AB = 3 cm, CD = 9 cm.
Hướng dẫn giải
Hình chóp S.ABCD có các mặt bên là hình tam giác nên hình biểu diễn các mặt bên là hình tam giác.
Hình thang ABCD có AB // CD và AB = 3 cm, CD = 9 cm nên hình biểu diễn của ABCD là một hình thang có đáy CD gấp ba lần đáy AB và hai đáy này song song với nhau.
Từ đó, ta vẽ được hình biểu diễn của S.ABCD như hình dưới đây.
Bài 3: Trong hình bên, AB và CD là bóng của hai thanh chắn của một chiếc thang dưới ánh mặt trời. Hãy giải thích tại sao AB song song với CD.
Hướng dẫn giải
Vì các thanh chắn của chiếc thang song song với nhau, theo tính chất của phép chiếu song song, thì hình chiếu của các thanh chắn cũng song song với nhau.
AB, CD là hình chiếu của hai thanh chắn do đó AB // CD.
Bài 4: Chứng minh rằng trọng tâm G của tam giác ABC có hình chiếu song song là trọng tâm G’ của tam giác A’B’C’ trong đó A’B’C’ là hình chiếu song song của tam giác ABC.
Hướng dẫn giải
Gọi I là trung điểm của cạnh AB.
Ta có: A, I, B thẳng hàng và AI = IB
Do vậy A’, I’, B’ thẳng hàng và A’I’ = I’B’, tức I’ là trung điểm B’A’
Hay hình chiếu I’ của I là trung điểm của A’B’.
Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên C, G, I thẳng hàng
Do G ∈ CI nên G’ ∈ C’I’;
Vậy G’ là trọng tâm tam giác A’B’C’.
Video bài giảng Toán 11 Bài 14: Phép chiếu song song – Kết nối tri thức
Xem thêm các bài tóm tắt lý thuyết Toán lớp 11 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:
Lý thuyết Bài 12: Đường thẳng và mặt phẳng song song
Lý thuyết Bài 13: Hai mặt phẳng song song
Lý thuyết Bài 14: Phép chiếu song song
Lý thuyết Bài 15: Giới hạn của dãy số
Lý thuyết Bài 16: Giới hạn của hàm số
Lý thuyết Bài 17: Hàm số liên tục
Xem thêm các bài tóm tắt lý thuyết chương Toán lớp 11 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác
Lý thuyết Chương 1: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác
Lý thuyết Chương 2: Dãy số. Cấp số cộng và cấp số nhân
Lý thuyết Chương 3: Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm của mẫu số liệu ghép nhóm
Lý thuyết Chương 4: Quan hệ song song trong không gian
Lý thuyết Chương 5: Giới hạn. Hàm số liên tục