Một số bài toán liên quan tổ hợp chọn lọc, có lời giải

Tài liệu Một số bài toán liên quan tổ hợp gồm các nội dung chính sau:

Các ví dụ

–          Gồm 3 ví dụ minh họa đa dạng của Một số bài toán liên quan tổ hợp có đáp án và lời giải chi tiết.

Mời các quý thầy cô và các em học sinh cùng tham khảo và tải về chi tiết tài liệu dưới đây:

DẠNG 6. MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN TỔ HỢP

 Các ví dụ

Ví dụ 1. Cho $n\in \mathbb{N}*$ và ${(1+x)}^n=a_0+a_{1}x+\mathrm{\dots }+a_n{x}^n$. Biết rằng tồn tại số  nguyên $k$ ($1\le k\le n-1$)sao cho $\frac{a_{k-1}}{2}=\frac{a_k}{9}=\frac{a_{k+1}}{24}$. Tính $n=?$.

          A.10                              B.11                              C.20                            D.22

Lời giải:

Ta có: $a_k=C_n^k$, suy ra hệ $\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{2}\frac{n!}{(k-1)!(n-k+1)!}=\frac{1}{9}\frac{n!}{(n-k)!k!}\\ \frac{1}{9}\frac{n!}{(n-k)!k!}=\frac{1}{24}\frac{n!}{(n-k-1)!(k+1)!}\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}9k=2(n-k+1)\\ 24(k+1)=9(n-k)\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}2n-11k=-2\\ 9n-33k=24\end{array}\right.\iff n=10,k=2$.

Ví dụ 2. Cho khai triển ${(1+2x)}^n=a_0+a_{1}x+\mathrm{\dots }+a_n{x}^n$, trong đó $n\in \mathbb{N}*$. Tìm số lớn nhất trong các số $a_0,a_1,\mathrm{\dots },a_n$, biết  các hệ số $a_0,a_1,\mathrm{\dots },a_n$ thỏa mãn hệ thức:  $a_0+\frac{a_1}{2}+\mathrm{\dots }+\frac{a_n}{2^n}=4096$.

          A.126720                      B.213013                      C.130272                    D.130127

 

Lời giải:

Đặt $f\left(x\right)={(1+2x)}^n=a_0+a_{1}x+\mathrm{\dots }+a_n{x}^n$

$\Rightarrow a_0+\frac{a_1}{2}+\mathrm{\dots }+\frac{a_n}{2^n}=f\left(\frac{1}{2}\right)=2^n$

Với mọi $k\in \left\{0,1,2,\mathrm{\dots },11\right\}$ ta có: $a_k=2^k{C}_{12}^k,a_{k+1}=2^{k+1}{C}_{12}^{k+1}$

$\iff \frac{a_k}{a_{k+1}}<1\iff \frac{2^k{C}_{12}^k}{2^{k+1}{C}_{12}^{k+1}}<1\iff \frac{k+1}{2(12-k)}<1\iff k<\frac{23}{3}$

Mà  $k\in Z\Rightarrow k\le 7$. Do đó $a_0<a_1<\mathrm{\dots }<a_8$

Tương tự: $\frac{a_k}{a_{k+1}}>1\iff k>7\Rightarrow a_8>a_9>\mathrm{\dots }>a_{12}$

Số lớn nhất trong các số $a_0,a_1,\mathrm{\dots },a_{12}$ là. $a_8=2^8{C}_{12}^8=126720$

 

 

Ví dụ 3. Cho một tập hợp A gồm $n$ phần tử ($n\ge 4$). Biết số tập con gồm 4 phần tử của A gấp 20 lần số tập con gồm hai phần tử của A

1. Tìm $n$

          A.20                              B.37                              C.18                            D.21

 

2. Tìm $k\in \left\{1,2,3,\mathrm{\dots },n\right\}$ sao cho số tập con gồm $k$ phần tử của tập A là lớn nhất.

          A.12                              B.9                                C.21                            D.19

 

Lời giải:

1. Số tập con gồm 4 phần tử của tập A: $C_n^4$

    Số tập con gồm 2 phần tử của tập A: $C_n^2$

Theo bài ra ta có: $C_n^4=20C_n^2\iff \frac{n!}{4!(n-4)!}=20\frac{n!}{2!(n-2)!}$

$\iff \frac{1}{4!}=\frac{10}{(n-2)(n-3)}\iff n^2-5n-234=0\iff n=18$

Vậy tập A có 18 phần tử.

2. Giả sử $C_{18}^k$ là số tập con con lớn nhất của A. Khi đó

$\left\{\begin{array}{l}{C}_{18}^k\ge C_{18}^{k-1}\\ C_{18}^k\ge C_{18}^{k+1}\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}\frac{18!}{k!(18-k)!}\ge \frac{18!}{(k-1)!(19-k)!}\\ \frac{18!}{k!(18-k)!}\ge \frac{18!}{(k+1)!(17-k)!}\end{array}\right.$ $\iff \left\{\begin{array}{l}\frac{1}{k}\ge \frac{1}{19-k}\\ \frac{1}{18-k}\ge \frac{1}{k+1}\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}k\le \frac{19}{2}\\ k\ge \frac{17}{2}\end{array}\right.\Rightarrow k=9$

Vậy số tập con gồm 9 phần tử của A là số tập con lớn nhất.

 

Xem thêm