Sách bài tập Toán 11 Bài 1 (Chân trời sáng tạo): Dãy số

Giải SBT Toán 11 Bài 1: Dãy số

Bài 1 trang 57 SBT Toán 11 Tập 1: Cho dãy số (u_n) với $u_{n} = \frac{n + 1}{2 n + 1} .$ Số $\frac{8}{15}$ là số hạng thứ bao nhiêu của dãy số?

Lời giải:

Ta có: $\frac{n + 1}{2 n + 1} = \frac{8}{15}$

Suy ra 15(n + 1) = 8(2n + 1), hay 15n + 15 = 16n + 8, nên n = 7.

Vậy $\frac{8}{15}$ là số hạng thứ bảy của dãy số.

Bài 2 trang 57 SBT Toán 11 Tập 1: Dự đoán công thức số hạng tổng quát của dãy số (u_n), biết $\{\begin{cases} u_{1} = - 2 \\ u_{n + 1} = - 2 - \frac{1}{u_{n}} \end{cases} .$

Lời giải:

Bốn số hạng đầu tiên của dãy u_n là:

u₁ = ‒2;

$u_{2} = - 2 - \frac{1}{- 2} = - \frac{3}{2};$

$u_{3} = - 2 - \frac{1}{- \frac{3}{2}} = - \frac{4}{3};$

$u_{4} = - 2 - \frac{1}{- \frac{4}{3}} = - \frac{5}{4};$

Ta dự đoán được số hạng tổng quát của dãy số (u_n) là $u_{n} = - \frac{n + 1}{n}$

Bài 3 trang 57 SBT Toán 11 Tập 1: Cho dãy số (u_n) xác định bởi $\{\begin{cases} u_{1} = 4 \\ u_{n + 1} = u_{n} + n (n \geq 1) . \end{cases}$ Tìm số hạng thứ năm của dãy số đó.

Lời giải:

Ta có:

u₂ = u₁ + 1 = 4 + 1 = 5;

u₃ = u₂ + 2 = 5 + 2 = 7;

u₄ = u₃ + 3 = 7 + 3 = 10

Do đó, số hạng thứ năm của dãy số là u₅ = u₄ + 4 = 10 + 4 = 14.

Bài 4 trang 57 SBT Toán 11 Tập 1: Xét tính bị chặn của dãy số (u_n) với u_n = (‒1)ⁿ.

Lời giải:

Ta có:

u₁ = (‒1)¹ = −1; u₃ = (‒1)³ = −1; …

u₂ = (‒1)² = 1; u₄ = (‒1)⁴ = 1; …

Do đó ‒1 ≤ u_n ≤ 1, suy ra (u_n) là dãy bị chặn.

Bài 5 trang 58 SBT Toán 11 Tập 1: Xét tính tăng, giảm và bị chặn của dãy số (u_n) cho bởi số hạng tổng quát u_n sau:

a) $u_{n} = \frac{2 n - 13}{3 n - 2};$

b) $u_{n} = \frac{n^{2} + 3 n + 1}{n + 1};$

c) $u_{n} = \frac{1}{\sqrt{1 + n + n^{2}}} .$

Lời giải:

a) Số hạng tổng quát của (u_n) là $u_{n} = \frac{2 n - 13}{3 n - 2}$ nên $u_{n + 1} = \frac{2 (n + 1) - 13}{3 (n + 1) - 2} = \frac{2 n - 11}{3 n + 1}$

Xét $u_{n + 1} - u_{n} = \frac{2 n - 11}{3 n + 1} - \frac{2 n - 13}{3 n - 2}$

$= \frac{(2 n - 11) (3 n - 2) - (2 n - 13) (3 n + 1)}{(3 n + 1) (3 n - 2)}$

$= \frac{6 n^{2} - 37 n + 22 - (6 n^{2} - 37 n - 13)}{(3 n + 1) (3 n - 2)}$

$= \frac{35}{(3 n + 1) (3 n - 2)} > 0, \forall n \in ℕ^{*} .$

Suy ra u_n+1 > u_n, ∀n ∈ ℕ^*. Suy ra (u_n) là dãy số tăng.

Mặt khác, ta có: $u_{n} = \frac{2 n - 13}{3 n - 2} = \frac{\frac{2}{3} (3 n - 2) - \frac{35}{3}}{3 n - 2} = \frac{2}{3} - \frac{35}{3 (3 n - 2)}$

⦁ Do $n \geq 1 \Rightarrow 3 n - 2 \geq 1 \Rightarrow \frac{35}{3 (3 n - 2)} \leq \frac{35}{3}$ $\Rightarrow \frac{2}{3} - \frac{35}{3 (3 n - 2)} \geq \frac{2}{3} - \frac{35}{3} = - 11$

⦁ Do $n \geq 1 \Rightarrow 3 n - 2 \geq 1 > 0 \Rightarrow \frac{35}{3 (3 n - 2)} > 0$ $\Rightarrow \frac{2}{3} - \frac{35}{3 (3 n - 2)} < \frac{2}{3}$

Suy ra $- 11 \leq u_{n} < \frac{2}{3}, \forall n \in ℕ^{*}$ , suy ra (u_n) là dãy số bị chặn.

b) Số hạng tổng quát của (u_n) là $u_{n} = \frac{n^{2} + 3 n + 1}{n + 1}$

Nên $u_{n + 1} = \frac{{(n + 1)}^{2} + 3 (n + 1) + 1}{(n + 1) + 1} = \frac{n^{2} + 5 n + 5}{n + 2}$

$u_{n + 1} - u_{n} = \frac{n^{2} + 5 n + 5}{n + 2} - \frac{n^{2} + 3 n + 1}{n + 1}$

$= \frac{(n^{2} + 5 n + 5) (n + 1) - (n^{2} + 3 n + 1) (n + 2)}{(n + 1) (n + 2)}$

$= \frac{n^{3} + n^{2} + 5 n^{2} + 5 n + 5 n + 5 - (n^{3} + 2 n^{2} + 3 n^{2} + 6 n + n + 2)}{(n + 1) (n + 2)}$

$= \frac{n^{2} + 3 n + 3}{(n + 1) (n + 2)} > 0, \forall n \in ℕ *$

Suy ra u_n+1 > u_n, ∀n ∈ ℕ^*. Suy ra (u_n) là dãy số tăng.

Mặt khác, ta có $u_{n} > \frac{n^{2} + 2 n + 1}{n + 1} = n + 1 \geq 2, \forall n \in ℕ^{*}$ . Suy ra (u_n) là dãy số bị chặn dưới.

c) Số hạng tổng quát của (u_n) là $u_{n} = \frac{1}{\sqrt{1 + n + n^{2}}}$

Nên $u_{n + 1} = \frac{1}{\sqrt{1 + (n + 1) + {(n + 1)}^{2}}} = \frac{1}{\sqrt{n^{2} + 3 n + 3}}$

Ta có u_n > 0, ∀n ∈ ℕ^* nên $\frac{u_{n + 1}}{u_{n}} = \frac{\frac{1}{\sqrt{n^{2} + 3 n + 3}}}{\frac{1}{\sqrt{n^{2} + n + 1}}} = \sqrt{\frac{n^{2} + n + 1}{n^{2} + 3 n + 3}} < 1, \forall n \in ℕ^{*} .$

Suy ra u_n+1 < u_n, ∀n ∈ ℕ^*. Suy ra (u_n) là dãy số giảm.

Mặt khác, ta có $n \geq 1; n^{2} \geq 1 \Rightarrow 1 + n + n^{2} \geq 3 \Rightarrow \frac{1}{\sqrt{1 + n + n^{2}}} \leq \frac{1}{\sqrt{3}}$ $0 < u_{n} \leq \frac{1}{\sqrt{3}}, \forall n \in ℕ^{*}$ . Suy ra (u_n) là dãy số bị chặn.

Bài 6 trang 58 SBT Toán 11 Tập 1: Xét tính tăng, giảm của các dãy số (u_n) cho bởi số hạng tổng quát u_n sau:

a) $u_{n} = n - \sqrt{n^{2} - 1};$

b) $u_{n} = \frac{n + {(- 1)}^{n}}{n^{2}};$

c) $u_{n} = \frac{3^{n} - 1}{2^{n}} .$

Lời giải:

a) Ta có: $u_{n + 1} - u_{n} = [(n + 1) - \sqrt{{(n + 1)}^{2} - 1}] - (n + \sqrt{n^{2} - 1})$

$= 1 - \sqrt{{(n + 1)}^{2} - 1} - \sqrt{n^{2} - 1} < 0, \forall n \in ℕ^{*}$

Suy ra $(u_{n})$ là dãy số giảm.

b) Xét $u_{n} = \frac{n + {(- 1)}^{n}}{n^{2}},$ ta có: $u_{1} = 0; u_{2} = \frac{3}{4}; u_{3} = \frac{2}{9}$ ,suy ra $\{\begin{cases} u_{2} > u_{1} \\ u_{3} < u_{2} \end{cases}$ .

Do đó, (u_n) là dãy số không tăng, không giảm.

c) Ta có

$u_{n + 1} - u_{n} = \frac{3^{n + 1} - 1}{2^{n + 1}} - \frac{3^{n} - 1}{2^{n}} = \frac{{3.3}^{n} - 1}{2^{n + 1}} - \frac{{2.3}^{n} - 2}{2^{n + 1}} = \frac{3^{n} + 1}{2^{n + 1}} > 0, \forall n \in ℕ^{*}$

Do đó, (u_n) là dãy số tăng.

Bài 7 trang 58 SBT Toán 11 Tập 1: Xét tính tăng, giảm và bị chặn của dãy số (un) với $u_{n} = 1 + \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{3^{2}} + \dots + \frac{1}{n^{2}} .$

Lời giải:

Ta có: $u_{n} = 1 + \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{3^{2}} + \dots + \frac{1}{n^{2}};$ $u_{n + 1} = 1 + \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{3^{2}} + \dots + \frac{1}{n^{2}} + \frac{1}{{(n + 1)}^{2}}$

Suy ra $u_{n + 1} - u_{n} = \frac{1}{{(n + 1)}^{2}} > 0, \forall n \in ℕ^{*}$ . Suy ra (u_n) là dãy số tăng.

Do $u_{n} < 1 + \frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \dots + \frac{1}{(n - 1) n} = 2 - \frac{1}{n}$ , suy ra 1 < u_n < 2, ∀n ∈ ℕ^*.

Suy ra (u_n) là dãy số bị chặn.

Bài liên quan:

Leave a Comment Hủy