Sách bài tập Toán 11 Bài 3 (Chân trời sáng tạo): Các công thức lượng giác

Giải SBT Toán 11 Bài 3: Các công thức lượng giác

Bài 1 trang 19 SBT Toán 11 Tập 1: Không dùng máy tính cầm tay. Tính giá trị của các biểu thức sau:

a) $\sin \frac{19 π}{24} \cos \frac{37 π}{24};$

b) $\cos \frac{41 π}{12} - \cos \frac{13 π}{12};$

c) $\frac{\tan \frac{π}{7} + \tan \frac{3 π}{28}}{1 + \tan \frac{6 π}{7} \tan \frac{3 π}{28}};$

Lời giải:

a) $sin \frac{19 π}{24} cos \frac{37 π}{24} = \frac{1}{2} [sin (\frac{19 π}{24} - \frac{37 π}{24}) + sin (\frac{19 π}{24} + \frac{37 π}{24})]$

$= \frac{1}{2} [sin (- \frac{3 π}{4}) + sin \frac{7 π}{3}] = \frac{1}{2} (- sin \frac{3 π}{4} + sin \frac{π}{3})$

$= \frac{1}{2} (- \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{4} .$

b) $cos \frac{41 π}{12} - cos \frac{13 π}{12} = - 2 sin \frac{\frac{41 π}{12} + \frac{13 π}{12}}{2} sin \frac{\frac{41 π}{12} - \frac{13 π}{12}}{2}$ $= - 2 sin \frac{9 π}{4} sin \frac{7 π}{6}$

$= 2 sin \frac{π}{4} sin \frac{π}{6} = 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2} .$

c) $\frac{tan \frac{π}{7} + tan \frac{3 π}{28}}{1 + tan \frac{6 π}{7} tan \frac{3 π}{28}} = \frac{tan \frac{π}{7} + tan \frac{3 π}{28}}{1 + tan (π - \frac{π}{7}) tan \frac{3 π}{28}} = \frac{tan \frac{π}{7} + tan \frac{3 π}{28}}{1 - tan \frac{π}{7} tan \frac{3 π}{28}}$

$= tan (\frac{π}{7} + \frac{3 π}{28}) = tan \frac{π}{4} = 1.$

Bài 2 trang 19 SBT Toán 11 Tập 1: Cho $\cos α = \frac{11}{61}$ và $- \frac{π}{2} < α < 0,$ tính giá trị của cac biểu thức sau:

a) $\sin (\frac{π}{6} - α);$

b) $\cot (α + \frac{π}{4});$

c) $\cos (2 α + \frac{π}{3});$

d) $\tan (\frac{3 π}{4} - 2 α)$

Lời giải:

a) Vì $- \frac{π}{2} < α < 0$ nên sinα < 0.

Do đó, $sin α = - \sqrt{1 - {cos}^{2} α} = - \sqrt{1 - {(\frac{11}{61})}^{2}} = - \frac{60}{61}$ .

Suy ra

$sin (\frac{π}{6} - α) = sin \frac{π}{6} cos α - cos \frac{π}{6} sin α = \frac{1}{2} \cdot \frac{11}{61} - \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot (- \frac{60}{61}) = \frac{11 + 60 \sqrt{3}}{122} .$

b) Ta có $tan α = \frac{sin α}{cos α} = \frac{- \frac{60}{61}}{\frac{11}{61}} = - \frac{60}{11} .$

Do đó $cot (α + \frac{π}{4}) = \frac{1}{tan (α + \frac{π}{4})}$ $= \frac{1 - tan α tan \frac{π}{4}}{tan α + tan \frac{π}{4}} = \frac{1 - (- \frac{60}{11}) \cdot 1}{(- \frac{60}{11}) + 1} = - \frac{71}{49} .$

c) Ta có: $cos 2 α = 2 {cos}^{2} α - 1 = 2 \cdot {(\frac{11}{61})}^{2} - 1 = - \frac{3479}{3721}$

$sin 2 α = 2 sin α cos α = 2 \cdot (- \frac{60}{61}) \cdot \frac{11}{61} = - \frac{1320}{3721} .$

Suy ra:

$cos (2 α + \frac{π}{3}) = cos 2 α cos \frac{π}{3} - sin 2 α sin \frac{π}{3} = - \frac{3479}{3721} \cdot \frac{1}{2} - (- \frac{1320}{3721}) \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$

$= \frac{- 3479 + 1320 \sqrt{3}}{7442}$

d) Ta có $tan 2 α = \frac{sin 2 α}{cos 2 α} = \frac{- \frac{1320}{3721}}{- \frac{3479}{3721}} = \frac{1320}{3479}$ .

Suy ra: $tan (\frac{3 π}{4} - 2 α) = \frac{tan \frac{3 π}{4} - tan 2 α}{1 + tan \frac{3 π}{4} tan 2 α} = \frac{- 1 - \frac{1320}{3479}}{1 + (- 1) \cdot \frac{1320}{3479}} = - \frac{4799}{2159}$ .

Bài 3 trang 19 SBT Toán 11 Tập 1: Rút gọn các biểu thức sau:

a) sinxcos⁵x ‒ cosxsin⁵x;

b) $\frac{\sin 3 x \cos 2 x + \sin x \cos 6 x}{\sin 4 x};$

c) $\frac{\cos x - \cos 2 x + \cos 3 x}{s inx - \sin 2 x + \sin 3 x};$

d) $\frac{2 \sin (x + y)}{\cos (x + y) + \cos (x - y)} - \tan y .$

Lời giải:

a) sinxcos⁵x ‒ cosxsin⁵x = sinxcosx(cos⁴x ‒ sin⁴x)

$= \frac{1}{2} sin 2 x ({cos}^{2} x - {sin}^{2} x) ({cos}^{2} x + {sin}^{2} x)$

$= \frac{1}{2} sin 2 x cos 2 x = \frac{1}{4} sin 4 x .$

b) $\frac{sin 3 x cos 2 x + sin x cos 6 x}{sin 4 x} = \frac{\frac{1}{2} (sin x + sin 5 x) + \frac{1}{2} [sin (- 5 x) + sin 7 x]}{sin 4 x}$

$= \frac{sin x + sin 5 x - sin 5 x + sin 7 x}{2 sin 4 x} = \frac{sin x + sin 7 x}{2 sin 4 x}$

$= \frac{2 sin 4 x cos 3 x}{2 sin 4 x} = cos 3 x .$

$c) \frac{cos x - cos 2 x + cos 3 x}{sin x - sin 2 x + sin 3 x} = \frac{(cos x + cos 3 x) - cos 2 x}{(sin x + sin 3 x) - sin 2 x}$

$= \frac{2 cos 2 x cos x - cos 2 x}{2 sin 2 x cos x - sin 2 x}$

$= \frac{cos 2 x (2 cos x - 1)}{sin 2 x (2 cos x - 1)} = \frac{cos 2 x}{sin 2 x} = cot 2 x .$

d) $\frac{2 sin (x + y)}{cos (x + y) + cos (x - y)} - tan y = \frac{2 (sin x cos y + cos x sin y)}{2 cos x cos y} - tan y$

$= \frac{sin x}{cos x} + \frac{sin y}{cos y} - \tan y = \tan x + \tan y - \tan y = \tan x .$

Bài 4 trang 19 SBT Toán 11 Tập 1: Chứng minh các đẳng thức lượng giác sau:

a) $4 \cos x \cos (\frac{π}{3} - x) \cos (\frac{π}{3} + x) = \cos 3 x;$

b) $\frac{\sin 2 x \cos x}{(1 + \cos x) (1 + \cos 2 x)} = \tan \frac{x}{2};$

c) sinx(1 + 2cos2x + 2cos4x + 2cos6x) = sin7x;

d) $\frac{\sin^{2} 3 x}{\sin^{2} x} - \frac{\cos^{2} 3 x}{{cos}^{2} x} = 8 \cos 2 x .$

Lời giải:

a) $4 cos x cos (\frac{π}{3} - x) cos (\frac{π}{3} + x) = 2 cos x (cos 2 x + cos \frac{2 π}{3})$

$= 2 cos x cos 2 x + 2 cos x cos \frac{2 π}{3}$

$= cos x + cos 3 x + 2 cos x \cdot (- \frac{1}{2})$

$= cos x + cos 3 x - cos x = cos 3 x .$

b) $\frac{sin 2 x cos x}{(1 + cos x) (1 + cos 2 x)} = \frac{(2 sin x cos x) cos x}{(1 + 2 {cos}^{2} \frac{x}{2} - 1) (1 + 2 {cos}^{2} x - 1)}$

$= \frac{2 sin x {cos}^{2} x}{4 {cos}^{2} \frac{x}{2} {cos}^{2} x}$

$= \frac{sin x}{2 {cos}^{2} \frac{x}{2}} = \frac{2 sin \frac{x}{2} cos \frac{x}{2}}{2 {cos}^{2} \frac{x}{2}} = \frac{sin \frac{x}{2}}{cos \frac{x}{2}} = tan \frac{x}{2} .$

c) sinx(1 + 2cos2x + 2cos4x + 2cos6x)

= sinx + 2sinxcos2x + 2sinxcos4x + 2sinxcos6x

= sinx + [sin(‒x) + sin3x] + [sin(‒3x) + sin5x] + [sin(‒5x) + sin7x]

= sinx + (‒sinx + sin3x) + (‒sin3x + sin5x) + (‒sin5x + sin7x)

= sin7x.

$\frac{{sin}^{2} 3 x}{{sin}^{2} x} - \frac{{cos}^{2} 3 x}{{cos}^{2} x} = \frac{{sin}^{2} 3 x {cos}^{2} x - {cos}^{2} 3 x {sin}^{2} x}{{sin}^{2} x {cos}^{2} x} = \frac{{(sin 3 x cos x)}^{2} - {(cos 3 x sin x)}^{2}}{{sin}^{2} x {cos}^{2} x}$

$= \frac{(sin 3 x cos x + cos 3 x sin x) (sin 3 x cos x - cos 3 x sin x)}{\frac{1}{4} {sin}^{2} 2 x}$

$= \frac{4 sin 4 x sin 2 x}{{sin}^{2} 2 x} = \frac{4 (2 sin 2 x cos 2 x) sin 2 x}{{sin}^{2} 2 x}$

$= \frac{8 {sin}^{2} 2 x cos 2 x}{{sin}^{2} 2 x} = 8 cos 2 x .$

Bài 5 trang 20 SBT Toán 11 Tập 1: Chứng minh rằng giá trị của biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của biến x:

a) $\sin^{2} x + \cos (\frac{π}{3} + x) \cos (\frac{π}{3} + x);$

b) $\cos (x - \frac{π}{3}) \cos (x + \frac{π}{4}) + \cos (x + \frac{π}{6}) \cos (x + \frac{3 π}{4}) .$

Lời giải:

${sin}^{2} x + cos (\frac{π}{3} - x) cos (\frac{π}{3} + x) = {sin}^{2} x + \frac{1}{2} (cos 2 x + cos \frac{2 π}{3})$

$= {sin}^{2} x + \frac{1}{2} (1 - 2 {sin}^{2} x - \frac{1}{2}) = \frac{1}{4}$

Vậy giá trị của biểu thức ${sin}^{2} x + cos (\frac{π}{3} - x) cos (\frac{π}{3} + x)$ không phụ thuộc vào giá trị của x.

b) $cos (x - \frac{π}{3}) cos (x + \frac{π}{4}) + cos (x + \frac{π}{6}) cos (x + \frac{3 π}{4})$

$= \frac{1}{2} [cos \frac{7 π}{12} + cos (2 x - \frac{π}{12})] + \frac{1}{2} [cos \frac{7 π}{12} + cos (2 x + \frac{11 π}{12})]$

$= \frac{1}{2} [cos (2 x - \frac{π}{12}) + cos (2 x - \frac{π}{12} + π)] + cos \frac{7 π}{12}$

$= \frac{1}{2} [cos (2 x - \frac{π}{12}) - cos (2 x - \frac{π}{12})] + cos \frac{7 π}{12} = cos \frac{7 π}{12} .$

Vậy giá trị của biễu thức $cos (x - \frac{π}{3}) cos (x + \frac{π}{4}) + cos (x + \frac{π}{6}) cos (x + \frac{3 π}{4})$ không phụ thuộc vào giá trị của x.

Bài 6 trang 20 SBT Toán 11 Tập 1: Cho tam giác ABC, chứng minh rằng:

a) cosAcosB ‒ sinAsinB + cosC = 0;

b) $\cos \frac{B}{2} \sin \frac{C}{2} + \sin \frac{B}{2} \cos \frac{C}{2} = \cos \frac{A}{2} .$

Lời giải:

Vì tổng số đo ba góc của một tam giác bằng 180° nên A + B + C = 180°.

Suy ra $\frac{A + B + C}{2} = 90^{\circ}$ , hay $\frac{B}{2} + \frac{C}{2} = 90^{\circ} - \frac{A}{2}$ .

a) cosAcosB ‒ sinAsinB + cosC

= cos(A + B) + cosC

= cos(180° ‒ C) + cosC

= ‒cosC + cosC = 0.

$cos \frac{B}{2} sin \frac{C}{2} + sin \frac{B}{2} cos \frac{C}{2} = sin (\frac{B}{2} + \frac{C}{2}) = sin (90 ° - \frac{A}{2}) = cos \frac{A}{2} .$

Bài 7 trang 20 SBT Toán 11 Tập 1: Cho sinα + cosα = m. Tìm m để $\sin 2 α = - \frac{3}{4} .$

Lời giải:

Ta có $sin α + cos α = \sqrt{2} (\frac{\sqrt{2}}{2} sin α + \frac{\sqrt{2}}{2} cos α) = \sqrt{2} sin (α + \frac{π}{4})$

Vì $- 1 \leq sin (α + \frac{π}{4}) \leq 1$ nên $- \sqrt{2} \leq sin α + cos α \leq \sqrt{2}$ . Suy ra $- \sqrt{2} \leq m \leq \sqrt{2}$

Ta lại có ${(sin α + cos α)}^{2} = {sin}^{2} α + 2 sin α cos α + {cos}^{2} α = 1 + sin 2 α$

Suy ra $sin 2 α = {(sin α + cos α)}^{2} - 1 = m^{2} - 1$

Khi đó, $sin 2 α = - \frac{3}{4}$ hay $m^{2} - 1 = - \frac{3}{4}$ , suy ra $m = \frac{1}{2}$ hoặc $m = - \frac{1}{2}$ (thoả mãn điều kiện).

Vậy $m = \frac{1}{2}$ hoặc $m = - \frac{1}{2}$

Bài 8 trang 20 SBT Toán 11 Tập 1: Cho $\sin α = \frac{3}{5},$ , $\cos β = \frac{12}{13}$ và 0° < α, β < 90°. Tính giá trị của biểu thức sin(α + β) và cos(α ‒ β).

Lời giải:

Vì 0° < α < 90° nên cosα > 0. Do đó, $cos α = \sqrt{1 - {sin}^{2} α} = \sqrt{1 - {(\frac{3}{5})}^{2}} = \frac{4}{5} .$

Vì 0° < β < 90° nên sinβ > 0. Do đó, $sin β = \sqrt{1 - {cos}^{2} β} = \sqrt{1 - {(\frac{12}{13})}^{2}} = \frac{5}{13} .$

Khi đó,

$sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β = \frac{3}{5} \cdot \frac{12}{13} + \frac{4}{5} \cdot \frac{5}{13} = \frac{56}{65}$

$cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β = \frac{4}{5} \cdot \frac{12}{13} + \frac{3}{5} \cdot \frac{5}{13} = \frac{63}{65}$

Bài 9 trang 20 SBT Toán 11 Tập 1: Không sử dụng máy tính cầm tay, tính giá trị của các biểu thức sau:

a) sin6°cos12°cos24°cos48°;

b) cos68°cos78° + cos22°cos12° + cos190°.

Lời giải:

a) Đặt A = sin6°cos12°cos24°cos48°. Ta có:

cos6°.A = cos6°. sin6°cos12°cos24°cos48°

$= \frac{1}{2} sin 12^{\circ} cos 12^{\circ} cos 24^{\circ} cos 48^{\circ}$

$= \frac{1}{4} sin 24 ° cos 24 ° cos 48 ° = \frac{1}{8} sin 48 ° cos 48 ° = \frac{1}{16} sin96 ° = \frac{1}{16} cos 6 °$

Suy ra $A = \frac{1}{16} .$

b) cos68°cos78° + cos22°cos12° + cos190°.

= cos(90° ‒ 22°)cos(90° ‒ 12°) + cos22°cos12° + cos(180° + 10°)

= sin22°sin12° + cos22°cos12° + cos10°

= (sin22°sin12° + cos22°cos12°) + cos10°

= cos(22° ‒ 12°) + cos10°

= cos10° ‒ cos10° = 0.

Bài 10 trang 20 SBT Toán 11 Tập 1: Phương trình dao động điều hòa của một vật tại thời điểm t giây được cho bởi công thức x(t) = Acos(ωt + φ), trong đó x(t) (cm) là li độ của một vật tại thời điểm t giây, A là biên độ dao động (A > 0) và φ ∈ [‒π; π] là pha ban đầu của dao động.Xét hai dao động điều hòa có phương trình lần lượt là:

$x_{1} (t) = 3 \cos (\frac{π}{4} t + \frac{π}{3})$ (cm) và $x_{2} (t) = 3 \cos (\frac{π}{4} t - \frac{π}{6})$ (cm).

a) Xác định phương trình dao động tổng hợp x(t) = x₁(t) + x₂(t).

b) Tìm biên độ và pha ban đầu của dao động tổng hợp trên.

Lời giải:

a) Ta có $x (t) = x_{1} (t) + x_{2} (t) = 3 cos (\frac{π}{4} t + \frac{π}{3}) + 3 cos (\frac{π}{4} t - \frac{π}{6})$

$= 3 \cdot 2 cos \frac{(\frac{π}{4} t + \frac{π}{3}) + (\frac{π}{4} t - \frac{π}{6})}{2} cos \frac{(\frac{π}{4} t + \frac{π}{3}) - (\frac{π}{4} t - \frac{π}{6})}{2}$

$= 6 cos \frac{\frac{π}{2} t + \frac{π}{6}}{2} cos \frac{\frac{π}{2}}{2} = 3 \sqrt{2} cos (\frac{π}{4} t + \frac{π}{12})$

Vậy phương trình của dao động tổng hợp là $x (t) = 3 \sqrt{2} cos (\frac{π}{4} t + \frac{π}{12})$

b) Dao động tổng hợp trên có biên độ là $A = 3 \sqrt{2} cm$ và pha ban đầu là $φ = \frac{π}{12}$

Bài liên quan:

Leave a Comment Hủy