Giải SGK Toán 10 Bài 1 (Chân trời sáng tạo): Khái niệm vecto

Giải bài tập Toán lớp 10 Bài 1: Khái niệm vecto

Video bài giảng Khái niệm vecto – Chân trời sáng tạo

1. Định nghĩa vecto

Giải toán lớp 10 trang 81 Tập 1 Chân trời sáng tạo

HĐ Khám phá 1 trang 81 Toán lớp 10: Trong thông báo: Có một con tàu chở 500 tấn hàng từ cảng A đến cảng B cách nhau 500 km.

Bạn hãy tìm sự khác biệt giữa hai đại lượng sau:

–   Khối lượng của hàng: 500 tấn

–   Độ dịch chuyển của tàu: 500km từ A đến B

Lời giải:

Sự khác biệt là:

–   Đơn vị đo: tấn và 500.

–   Khối lượng hàng là đại lượng chỉ có độ lớn (500 tấn), còn độ dịch chuyển của tàu là đại lượng có cả độ lớn (500 km) và hướng (từ A đến B).

Giải toán lớp 10 trang 82 Tập 1 Chân trời sáng tạo

Thực hành 1 trang 82 Toán lớp 10: Tìm điểm đầu, điểm cuối, giá và độ dài của vectơ $\overrightarrow{CH}$, $\overrightarrow{CB}$, $\overrightarrow{HA}$ trong ví dụ 1

Phương pháp giải:

Vectơ $\overrightarrow{AB}$ có điểm đầu là A, điểm cuối là B và có giá là đường thẳng AB

Lời giải:

Vectơ $\overrightarrow{CH}$có điểm đầu là C, điểm cuối là H và có giá là đường thẳng CH.

Vectơ $\overrightarrow{CB}$ có điểm đầu là C, điểm cuối là B và có giá là đường thẳng CB

Vectơ $\overrightarrow{HA}$ có điểm đầu là H, điểm cuối là A và có giá là đường thẳng HA

Ta có: $CH=\frac{1}{2}CB=1$, $CB=2$, $AH=\sqrt{A{C}^2-H{C}^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$.

Suy ra: $\left|\overrightarrow{CH}\right|=1$,  $\left|\overrightarrow{CB}\right|=2$,  $\left|\overrightarrow{HA}\right|=\sqrt{3}$

Thực hành 2 trang 82 Toán lớp 10: Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng$\frac{\sqrt{2}}{2}$, hai đường chéo cắt nhau tại O (hình 5). Tìm độ dài của các vectơ $\overrightarrow{AC},\overrightarrow{BD},\overrightarrow{OA},\overrightarrow{AO}$.

Phương pháp giải:

Độ dài vectơ $\overrightarrow{AC}$ là $\left|\overrightarrow{AC}\right|=AC$

Lời giải:

Ta có: $AC=BD=\sqrt{A{D}^2+D{C}^2}=\sqrt{{\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)}^2+{\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)}^2}=1$

$OA=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}$

Suy ra: $\left|\overrightarrow{AC}\right|=1$, $\left|\overrightarrow{BD}\right|=1$, $\left|\overrightarrow{OA}\right|=1$, $\left|\overrightarrow{AO}\right|=1$

2. Hai vecto cùng phương, cùng hướng

Giải toán lớp 10 trang 83 Tập 1 Chân trời sáng tạo

HĐ Khám phá 2 trang 83 Toán lớp 10: Bạn có nhận xét gì về giá của các cặp vectơ$\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{CD}$, $\overrightarrow{PQ}$ và $\overrightarrow{RS}$ trong Hình 6?

Lời giải:

Ta có:  giá của $\overrightarrow{AB}$ là đường thẳng AB, giá của $\overrightarrow{CD}$là đường thẳng CD, và thấy rằng 2 đường thẳng này trùng nhau suy ra giá của 2 vecto này trùng nhau.

Tương tự ta thấy giá của cặp $\overrightarrow{PQ}$ và $\overrightarrow{RS}$ song song với nhau.

Giải toán lớp 10 trang 84 Tập 1 Chân trời sáng tạo

Thực hành 3 trang 84 Toán lớp 10: Quan sát Hình 8 và gọi tên các vectơ:

a) Cùng phương với vectơ $\overrightarrow{x}$;

b) Cùng hướng với vectơ $\overrightarrow{a}$ ;

Ngược hướng với vectơ  $\overrightarrow{u}$.

Phương pháp giải:

a) Xác định các vectơ có giá song song hoặc trùng với giá của vectơ x

b) Xác định các vectơ cùng phương, cùng chiều với vectơ a

c) Xác định các vectơ cùng phương, ngược chiều với vectơ u

Lời giải:

a) Ta có:

Giá của vectơ $\overrightarrow{\mathrm{w}}$ trùng với giá của $\overrightarrow{x}$

Giá của vectơ $\overrightarrow{y}$, $\overrightarrow{z}$song song với giá của $\overrightarrow{x}$

Suy ra các vectơ cùng phương với vectơ $\overrightarrow{x}$ là $\overrightarrow{\mathrm{w}}$, $\overrightarrow{y}$và $\overrightarrow{z}$

b) Ta có:

Vectơ $\overrightarrow{b}$ có giá song song với vectơ $\overrightarrow{a}$và có cùng hướng từ trên xuống với vectơ $\overrightarrow{a}$nên vectơ $\overrightarrow{b}$ cùng hướng với vectơ $\overrightarrow{a}$

c) Ta có:

Vectơ $\overrightarrow{v}$ có giá song song với vectơ $\overrightarrow{u}$và ngược hướng từ dưới lên trên so với vectơ $\overrightarrow{u}$nên vectơ $\overrightarrow{v}$ ngược hướng với vectơ $\overrightarrow{u}$

Thực hành 4 trang 84 Toán lớp 10: Khẳng định sau đây đúng hay sai? Hãy giải thích.

Nếu 3 điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng thì hai vectơ  $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$cùng hướng.

Phương pháp giải:

Thay đổi các vị trí của 3 điểm, kiểm tra hai vectơ $\overrightarrow{AB}$  và $\overrightarrow{AC}$ có cùng hướng hay không.

Lời giải:

Khẳng định trên sai. Vì khi 3 điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng thì hai vectơ  $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$ cùng phương nhưng chưa chắc là cùng hướng. 

Chẳng hạn:

Khi A nằm giữa B và C thì hướng của vectơ  $\overrightarrow{AB}$ là từ phải sang trái, còn hướng của vectơ  $\overrightarrow{AC}$là từ trái sang phải nên hai vectơ này là ngược hướng.

3. Vecto bằng nhau – Vecto đối nhau

HĐ Khám phá 3 trang 84 Toán lớp 10: Cho hình bình hành ABCD (hình 30), hãy so sánh độ dài và hướng của hai vectơ :

a) $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{DC}$

b) $\overrightarrow{AD}$ và $\overrightarrow{CB}$

Lời giải:

a) Ta có: $AB=CD\Rightarrow \left|\overrightarrow{AB}\right|=\left|\overrightarrow{CD}\right|$

$AB//CD$ và $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{DC}$ có hướng từ trái sang phải

Suy ra $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{DC}$ cùng hướng

b) Ta có: $AD=CB\Rightarrow \left|\overrightarrow{AD}\right|=\left|\overrightarrow{CB}\right|$

$AD//CB$ và $\overrightarrow{AD}$có hướng từ trên xuống dưới, $\overrightarrow{CB}$ có hướng từ dưới lên trên. Suy ra $\overrightarrow{AD}$ và $\overrightarrow{CB}$ngược hướng

Giải toán lớp 10 trang 85 Tập 1 Chân trời sáng tạo

Thực hành 5 trang 85 Toán lớp 10: Cho D, E, F lần lượt là trung điểm của cạnh BC, CA, AB của tam giác ABC (hình 14).

a) Tìm các vectơ bằng vectơ $\overrightarrow{EF}$.

b) Tìm các vectơ đối vectơ $\overrightarrow{EC}$

Phương pháp giải:

a)      

Bước 1: Từ H14, xác định các đoạn thẳng có độ dài bằng độ dài vectơ $\overrightarrow{EF}$

Bước 2: Trong đó liệt kê các vectơ cùng hướng với vectơ $\overrightarrow{EF}$

b)

Bước 1: Từ H14, xác định các đoạn thẳng có độ dài bằng độ dài vectơ $\overrightarrow{EC}$

Bước 2: Trong đó liệt kê các vectơ ngược hướng với vectơ $\overrightarrow{EC}$

Lời giải:

Từ giả thiết ta có:

$AF=FB=ED$; $AE=EC=FD$; $BD=DC=EF$

Từ đó dựa vào hình ta có:

a) Các vectơ bằng vectơ $\overrightarrow{EF}$là $\overrightarrow{BD}$ và $\overrightarrow{DC}$

b) Các vectơ đối vectơ $\overrightarrow{EC}$ là $\overrightarrow{EA}$ và $\overrightarrow{DF}$

4. Vecto – không

Giải toán lớp 10 trang 86 Tập 1 Chân trời sáng tạo

Thực hành 6 trang 86 Toán lớp 10: Tìm độ dài của các vectơ  $\overrightarrow{EF},\overrightarrow{EE},\overrightarrow{EM},\overrightarrow{MM},\overrightarrow{FF}$ trong Ví dụ 5.

Phương pháp giải:

Độ dài vectơ $\overrightarrow{EF}$ là $\left|\overrightarrow{EF}\right|=EF$

Lời giải:

$\overrightarrow{EE},\overrightarrow{MM},\overrightarrow{FF}$có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau nên chúng là vectơ không, có độ dài bằng 0.

$\left|\overrightarrow{EE}\right|=\left|\overrightarrow{MM}\right|=\left|\overrightarrow{FF}\right|=0$

$EF=2,EM=\frac{1}{2}EF=1\Rightarrow \left|\overrightarrow{EF}\right|=2,\left|\overrightarrow{EM}\right|=1$

Bài tập

Bài 1 trang 86 Toán lớp 10: a) Bạn hãy tìm sự khác biệt giữa hai đại lượng sau:

– Bác Ba có số tiền là 20 triệu đồng.

– Một cơn bão di chuyển với vận tốc 20 km/h theo hướng đông bắc.

b) Trong các đại lượng sau, đại lượng nào cần được biểu diễn bởi vectơ?

Giá tiền, lực, thể tích, tuổi, độ dịch chuyển, vận tốc.

Lời giải:

a) Sự khác biệt là:

– Đơn vị của 2 đại lượng: triệu đồng và km/h

– 20 triệu đồng là 1 đại lượng vô hướng còn cơn bão là đại lượng có hướng cụ thể là hướng từ đông sang bắc với vận tốc là 20 km/h

b) Các đại lượng cần biểu diễn vectơ là các đại lượng có hướng nên đó là: lực, độ dịch chuyển, vận tốc

Bài 2 trang 86 Toán lớp 10: Cho hình thang ABCD có hai đáy là AB và DC (Hình 15). Điểm M nằm trên đoạn DC.

a) Gọi tên các vectơ cùng hướng với vectơ $\overrightarrow{AB}$.

b) Gọi tên các vectơ ngược hướng với vectơ $\overrightarrow{DM}$

Phương pháp giải:

a) Bước 1: Từ h15 tìm các cạnh song song hoặc trùng với cạnh AB

Bước 2: Trong đó, chỉ ra các vectơ có hướng từ trái

qua phải.

b) Bước 1: Từ h15 tìm các cạnh song song hoặc trùng với cạnh DM

Bước 2: Trong đó, chỉ ra các vectơ có hướng từ trái qua phải.

Lời giải:

a) ABCD là hình thang nên AB//CD

Các vectơ cùng hướng với vectơ $\overrightarrow{AB}$ là các vectơ có hướng từ trái qua phải nên đó là: $\overrightarrow{DC},\overrightarrow{DM},\overrightarrow{MC}$

b) $\overrightarrow{DM}$có hướng từ trái sang phải nên các vectơ ngược hướng với vectơ $\overrightarrow{DM}$là $\overrightarrow{BA},\overrightarrow{MD},\overrightarrow{CM},\overrightarrow{CD}$

Bài 3 trang 86 Toán lớp 10: Cho hình vuông ABCD có tâm O và có cạnh bằng a (Hình 16).

a) Tìm trong hình hai vectơ bằng nhau và có độ dài bằng $\frac{a\sqrt{2}}{2}$.

b) Tìm trong hình hai vectơ đối nhau và có độ dài bằng $a\sqrt{2}$.

Phương pháp giải:

a) Bước 1: Tìm độ dài các cạnh $AB,BC,CD,DA,AC,BD...$

Bước 2: Xác định hướng của các vectơ có độ dài bằng $\frac{a\sqrt{2}}{2}$

Bước 3: Từ bước 2, chỉ ra hai vectơ cùng hướng

Lời giải:

a)  $AC=BD=\sqrt{A{D}^2+D{C}^2}=\sqrt{a^2+a^2}=a\sqrt{2}$

$\Rightarrow AO=OC=BO=OD=\frac{a\sqrt{2}}{2}$

Suy ra các cặp vectơ bằng nhau và có độ dài bằng $\frac{a\sqrt{2}}{2}$ là:

$\overrightarrow{AO}$và $\overrightarrow{OC}$; $\overrightarrow{CO}$ và $\overrightarrow{OA}$; $\overrightarrow{DO}$ và $\overrightarrow{OB}$; $\overrightarrow{OD}$ và $\overrightarrow{BO}$

b) Trong hình chỉ có 2 đoạn thẳng AC và BD có độ dài là $a\sqrt{2}$.

Do đó hai vectơ đối nhau và có độ dài bằng $a\sqrt{2}$ là: 

$\overrightarrow{AC}$và $\overrightarrow{CA}$; $\overrightarrow{BD}$ và $\overrightarrow{DB}$.

Bài 4 trang 86 Toán lớp 10: Cho tứ giác ABCD. Chứng minh rằng tứ giác đó là hình bình hành khi và chỉ khi $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$

Phương pháp giải:

$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$ nếu 

+ $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{DC}$ cùng hướng

+ $AB=CD$

Lời giải:

Tứ giác ABCD là hình bình hành 

$\iff \{\begin{array}{l}AB//DC\\ AB=DC\end{array}$

Mà $AB//DC\iff \overrightarrow{AB},\overrightarrow{DC}$ cùng phương, do đó cùng hướng.

$\iff \{\begin{array}{l}\overrightarrow{AB},\overrightarrow{DC}\mathrm{c}ù\mathrm{n}\mathrm{g}\mathrm{h}ướ\mathrm{n}\mathrm{g}\\ AB=DC\end{array}$

$\iff \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$

Vậy tứ giác ABCD là hình bình hành khi và chỉ khi $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$.

Bài 5 trang 86 Toán lớp 10: Hãy chỉ ra các cặp vectơ cùng hướng, ngược hướng, bằng nhau trong Hình 17.

Phương pháp giải:

Bước 1: Xác định các vecto có giá song song hoặc trùng nhau

Bước 2: Xác định hướng của các vectơ => Kết luận các cặp vecto cùng hướng, ngược hướng.

Bước 3: So sánh độ dài của các cặp vecto cùng hướng => Kết luận các cặp vecto bằng nhau

Lời giải:

+ Các cặp vectơ cùng hướng là: $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$; $\overrightarrow{u}$ và $\overrightarrow{v}$

+ Các cặp vectơ ngược hướng là: $\overrightarrow{x}$ và $\overrightarrow{y}$

+ Các cặp vectơ bằng nhau là: $\overrightarrow{u}$ và $\overrightarrow{v}$

Giải toán lớp 10 trang 87 Tập 1 Chân trời sáng tạo

Bài 6 trang 87 Toán lớp 10: Gọi O là tâm hình lục giác đều ABCDEF.

a) Tìm các vectơ khác vectơ $\overrightarrow{0}$ và cùng hướng với vectơ $\overrightarrow{OA}$.

b) Tìm các vectơ bằng vectơ $\overrightarrow{AB}$.

Phương pháp giải: 

a)

Bước 1: Xác định các cạnh song song hoặc trùng với cạnh OA

Bước 2: Chỉ ra các vectơ cùng hướng với vectơ $\overrightarrow{OA}$

b) 

Bước 1: Xác định các cạnh song song hoặc trùng cạnh AB

Bước 2: Chỉ ra các vectơ có cùng hướng với vectơ $\overrightarrow{AB}$

Bước 3: Trong đó, kết luận các vectơ có độ dài bằng cạnh AB

Lời giải:

a) Ta có: AO // BC // EF

Suy ra các vectơ khác vectơ khác vectơ $\overrightarrow{0}$ và cùng hướng với vectơ $\overrightarrow{OA}$ là : $\overrightarrow{DO},\overrightarrow{DA},\overrightarrow{CB},\overrightarrow{EF}$

b) Ta có: $OA=OB=OC=OD=OE=FO$ và AB // EC // ED

Suy ra các vectơ bằng vectơ $\overrightarrow{AB}$ là $\overrightarrow{FO},\overrightarrow{OC},\overrightarrow{ED}$

Bài 7 trang 87 Toán lớp 10: Tìm các lực cùng hướng và ngược hướng trong số các lực đẩy được biểu diễn bằng các vectơ trong Hình 18.

Lời giải:

Nhận xét: giá của 4 lực đều song song hoặc trùng nhau, do đó 4 vecto là cùng phương.

Vectơ $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}$ có chiều từ phải sang trái còn vectơ $\overrightarrow{d}$ có chiều từ trái sang phải

Vậy các vectơ (hay lực) cùng hướng với nhau là vectơ $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}$.

Các vectơ (lực)  $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}$ ngược hướng với vectơ $\overrightarrow{d}$.

Xem thêm các bài giải SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Bài tập cuối chương 4

Bài 2: Tổng và hiệu của hai vecto

Bài 3: Tích của một số với một vecto

Bài 4: Tích vô hướng của hai vecto

====== ****&**** =====