Giải SGK Toán 10 (Chân trời sáng tạo) Bài tập cuối chương 4

Bước 2: Tính hai góc $\hat{A},\hat{B}$: Áp dụng định lí sin: $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}$

$\begin{array}{l}\iff \frac{49,4}{\sin A}=\frac{26,4}{\sin B}=\frac{37}{\sin {47}^{\circ }{20}^{\prime }}\\ \Rightarrow \sin A=\frac{49,4.\sin {47}^{\circ }{20}^{\prime }}{37}\approx 0,982\Rightarrow \hat{A}\approx {79}^{\circ }\\ \Rightarrow \hat{B}\approx {180}^{\circ }-{79}^{\circ }-{47}^{\circ }{20}^{\prime }={53}^{\circ }{40}^{\prime }\end{array}$

Áp dụng hệ quả của định lí cosin: $\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc};\cos B=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac};\cos C=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$

Từ đó suy ra các góc $\hat{A},\hat{B},\hat{C}.$

Áp dụng hệ quả của định lí cosin, ta có:

 $\begin{array}{l}\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc};\cos B=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}\\ \Rightarrow \cos A=\frac{{13}^2+{15}^2-{24}^2}{\mathrm{2.13.15}}=-\frac{7}{15};\cos B=\frac{{24}^2+{15}^2-{13}^2}{\mathrm{2.24.15}}=\frac{79}{90}\\ \Rightarrow \hat{A}\approx 117,8^{\circ },\hat{B}\approx 28,6^o\\ \Rightarrow \hat{C}\approx 33,6^o\end{array}$

Bài 3 trang 78 Toán lớp 10: Cho tam giác ABC có a = 8, b = 10, c = 13.

a) Tam giác ABC có góc tù không?

b) Tính độ dài trung tuyến AM, diện tích tam giác và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác đó.

c) Lấy điểm D đối xứng với A qua C. Tính độ dài BD.

Lời giải:

a) Áp dụng hệ quả của định lí cosin, ta có:

 $\begin{array}{l}\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc};\cos B=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}\\ \Rightarrow \{\begin{array}{l}\cos A=\frac{{10}^2+{13}^2-8^2}{\mathrm{2.10.13}}=\frac{41}{52}>0;\\ \cos B=\frac{8^2+{13}^2-{10}^2}{\mathrm{2.8.13}}=\frac{133}{208}>0\\ \cos C=\frac{8^2+{10}^2-{13}^2}{\mathrm{2.8.13}}=-\frac{1}{32}<0\end{array}\end{array}$

$\Rightarrow \hat{C}\approx 91,{79}^{\circ }>{90}^{\circ }$, tam giác ABC có góc C tù.

b)

+) Áp dụng định lí cosin trong tam giác ACM, ta có:

$\begin{array}{l}A{M}^2=A{C}^2+C{M}^2-2.AC.CM.\cos C\\ \iff A{M}^2=8^2+5^2-\mathrm{2.8.5.}\left(-\frac{1}{32}\right)=91,5\\ \Rightarrow AM\approx 9,57\end{array}$

+) Ta có: $p=\frac{8+10+13}{2}=15,5$.

Áp dụng công thức heron, ta có:$S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}=\sqrt{15,5.(15,5-8).(15,5-10).(15,5-13)}\approx 40$

+) Áp dụng định lí sin, ta có:

$\frac{c}{\sin C}=2R\Rightarrow R=\frac{c}{2\sin C}=\frac{13}{2.\sin 91,{79}^{\circ }}\approx 6,5$

c)

Ta có: $\widehat{BCD}={180}^{\circ }-91,{79}^{\circ }=88,{21}^{\circ }$; $CD=AC=8$

Áp dụng định lí cosin trong tam giác BCD, ta có:

$\begin{array}{l}B{D}^2=C{D}^2+C{B}^2-2.CD.CB.\cos \widehat{BCD}\\ \iff B{D}^2=8^2+{10}^2-\mathrm{2.8.10.}\cos 88,{21}^{\circ }\approx 159\\ \Rightarrow BD\approx 12,6\end{array}$

Giải toán lớp 10 trang 79 Tập 1 Chân trời sáng tạo

Bài 4 trang 79 Toán lớp 10: Cho tam giác ABC có $\widehat{A}={120}^o$, b = 8, c = 5. Tính:

a) Cạnh a và các góc $\widehat{B}$, $\widehat{C}$;

b)  Diện tích tam giác ABC;

c) Bán kính đường tròn ngoại tiếp và đường cao AH của tam giác.

Lời giải:

a) Áp dụng định lí cosin, ta có:

 $\begin{array}{l}{a}^2=b^2+c^2-2bc.\cos A\\ \iff a^2=8^2+5^2-\mathrm{2.8.5.}\cos {120}^{\circ }=129\\ \Rightarrow a=\sqrt{129}\end{array}$

Áp dụng định lí sin, ta có:

$\begin{array}{l}\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}\Rightarrow \frac{\sqrt{129}}{\sin {120}^{\circ }}=\frac{8}{\sin B}=\frac{5}{\sin C}\\ \Rightarrow \{\begin{array}{l}\sin B=\frac{8.\sin {120}^{\circ }}{\sqrt{129}}\approx 0,61\\ \sin C=\frac{5.\sin {120}^{\circ }}{\sqrt{129}}\approx 0,38\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}\hat{B}\approx 37,{59}^{\circ }\\ \hat{C}\approx 22,{41}^{\circ }\end{array}\end{array}$

b) Diện tích tam giác ABC là: 

S = $\frac{1}{2}bc.\sin A$ = $\frac{1}{2}.8.5.\sin 120°=10\sqrt{3}$

c)

+) Theo định lí sin, ta có: $R=\frac{a}{\sin A}=\frac{\sqrt{129}}{\sin {120}^{\circ }}=2\sqrt{43}$

+) Đường cao AH của tam giác bằng: $AH=\frac{2S}{a}=\frac{2.10\sqrt{3}}{\sqrt{129}}=\frac{20\sqrt{43}}{43}$

Bài 5 trang 79 Toán lớp 10: Cho hình bình hành ABCD.

a) Chứng minh 2(AB2 + BC2) = AC2 + BD2.

b) Cho AB = 4, BC = 5, BD = 7. Tính AC.

Phương pháp giải:

a) Bước 1. Tính góc AC, BD theo AB, BC, cosA dựa vào định lí cosin

Bước 2: Biến đối để suy ra đẳng thức

b) Theo câu a: $A{C}^2=2\left(A{B}^2+B{C}^2\right)-B{D}^2$, từ đó suy ra AC.

Lời giải:

a) Áp dụng định lí cosin ta có:

$\{\begin{array}{l}A{C}^2=A{B}^2+B{C}^2-2.AB.BC.\cos B\\ B{D}^2=A{B}^2+A{D}^2-2.AB.AD.\cos A\end{array}$

Mà $AD=BC;\cos A=\cos ({180}^{\circ }-B)=-\cos B$

$\begin{array}{l}\Rightarrow \{\begin{array}{l}A{C}^2=A{B}^2+B{C}^2+2.AB.BC.\cos A\\ B{D}^2=A{B}^2+B{C}^2-2.AB.AD.\cos A\end{array}\\ \Rightarrow A{C}^2+B{D}^2=2\left(A{B}^2+B{C}^2\right)\end{array}$

b)  Theo câu a, ta suy ra: $A{C}^2=2\left(A{B}^2+B{C}^2\right)-B{D}^2$

$\begin{array}{l}\Rightarrow A{C}^2=2\left(4^2+5^2\right)-7^2=33\\ \Rightarrow AC=\sqrt{33}\end{array}$

Bài 6 trang 79 Toán lớp 10: Cho tam giác ABC có a = 15, b = 20, c = 25.

a) Tính diện tích tam giác ABC.

b) Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Phương pháp giải:

a) Áp dụng công thức heron:  $S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$ với $p=\frac{a+b+c}{2}$

b) Áp dụng công thức: $S=\frac{abc}{4R}\Rightarrow R=\frac{abc}{4S}$

Lời giải:

a) Ta có: $p=\frac{a+b+c}{2}=\frac{15+20+25}{2}=30$

Áp dụng công thức heron, ta có:  $S=\sqrt{30.(30-15).(30-20).(30-25)}=150$

b) Ta có: $S=\frac{abc}{4R}\Rightarrow R=\frac{abc}{4S}=\frac{\mathrm{15.20.25}}{4.150}=12,5.$

Bài 7 trang 79 Toán lớp 10: Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng:

cotA + cotB + cotC = $\frac{R(a^2+b^2+c^2)}{abc}$

Phương pháp giải:

Tính $\cot A,\cot B,\cot C$bằng cách: Áp dụng hệ quả của định lí sin và định lí cosin:

$\sin A=\frac{a}{2R}$; $\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$

Lời giải:

Áp dụng hệ quả của định lí sin và định lí cosin, ta có:

$\frac{a}{\sin A}=2R\Rightarrow \sin A=\frac{a}{2R}$

và $\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$

$\Rightarrow \cot A=\frac{\cos A}{\sin A}=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}:\frac{a}{2R}=R.\frac{b^2+c^2-a^2}{abc}$

Tương tự ta có: $\cot B=R.\frac{a^2+c^2-b^2}{abc}$ và $\cot C=R.\frac{a^2+b^2-c^2}{abc}$

$\begin{array}{l}\Rightarrow \cot A+\cot B+\cot C=\frac{R}{abc}\left[\left(b^2+c^2-a^2\right)+\left(a^2+c^2-b^2\right)+\left(a^2+b^2-c^2\right)\right]\\ =\frac{R}{abc}\left(2b^2+2c^2+2a^2-a^2-c^2-b^2\right)=\frac{R(a^2+b^2+c^2)}{abc}\end{array}$

Bài 8 trang 79 Toán lớp 10: Tính khoảng cách AB giữa hai nóc tòa cao ốc. Cho biết khoảng cách từ hai điểm đó đến một vệ tinh viễn thông lần lượt là 370 km, 350 km và góc nhìn từ vệ tinh đến A và B là 2,1°.

Phương pháp giải:

Áp dụng định lí cosin: $A{B}^2={370}^2+{350}^2-\mathrm{2.370.350.}\cos 2,1^{\circ }$

Lời giải:

Áp dụng định lí cosin, ta có:

$\begin{array}{l}A{B}^2={370}^2+{350}^2-\mathrm{2.370.350.}\cos 2,1^{\circ }\\ \Rightarrow AB\approx 23,96(km)\end{array}$

Vậy khoảng cách giữa hai tòa nhà là 23,96 km.

Bài 9 trang 79 Toán lớp 10: Hai chiếc tàu thủy P và Q cách nhau 300 m và thẳng hàng với chân B của tháp hải đăng AB ở trên bờ biển (Hình 2). Từ P và Q, người ta nhìn thấy tháp hải đăng AB dưới các góc $\widehat{BPA}={35}^o$ và $\widehat{BQA}={48}^o$. Tính chiều cao của tháp hải đăng đó.

Phương pháp giải:

Bước 1: Tính AB theo QB, dựa vào tan góc P và Q.

Bước 2: Lập phương trình, tìm QB.

Bước 3: Tính AB: $AB=QB.\tan {48}^{\circ }$

Lời giải:

Xét tam giác APB và AQB, ta có:

$\tan {35}^{\circ }=\frac{AB}{PB}=\frac{AB}{300+QB}$ và $\tan {48}^{\circ }=\frac{AB}{QB}$

$\begin{array}{l}\Rightarrow AB=\tan {35}^{\circ }.\left(300+QB\right)=\tan {48}^{\circ }.QB\\ \iff \tan {35}^{\circ }.300+\tan {35}^{\circ }.QB=\tan {48}^{\circ }.QB\\ \iff \tan {35}^{\circ }.300=\left(\tan {48}^{\circ }-\tan {35}^{\circ }\right).QB\\ \iff QB=\frac{\tan {35}^{\circ }.300}{\tan {48}^{\circ }-\tan {35}^{\circ }}\end{array}$

Mà $AB=\tan {48}^{\circ }.QB$

$\Rightarrow AB=\tan {48}^{\circ }.\frac{\tan {35}^{\circ }.300}{\tan {48}^{\circ }-\tan {35}^{\circ }}\approx 568,5(m)$

Vậy tháp hải đăng cao khoảng 568,5 m.

Bài 10 trang 79 Toán lớp 10: Muốn đo chiều cao của một ngọn tháp, người ta lấy hai điểm A, B trên mặt đất có khoảng cách AB = 12 m cùng thẳng hàng với chân C của tháp để đặt hai giác kế. Chân của hai giác kế có chiều cao là h = 1,2 m. Gọi D là đỉnh tháp và hai điểm A1, B1 cùng thẳng hàng với C1 thuộc chiều cao CD của tháp. Người ta đo được $\widehat{D{A}_1{C}_1}={49}^o,\widehat{D{B}_1{C}_1}={35}^o$. Tính chiều cao CD của tháp.

Phương pháp giải:

Bước 1: Tính góc $\widehat{A_{1}D{B}_1}$ => Áp dụng định lí sin trong tam giác $A_{1}D{B}_1$ để tính $A_{1}D$

Bước 2: Tính $C_{1}D$ từ đó suy ra chiều cao của tháp.

Lời giải:

Ta có: $\widehat{D{A}_1{C}_1}=\widehat{A_{1}D{B}_1}+\widehat{D{B}_1{A}_1}\Rightarrow \widehat{A_{1}D{B}_1}={49}^{\circ }-{35}^{\circ }={14}^{\circ }$

Áp dụng định lí sin trong tam giác $A_{1}D{B}_1$ , ta có:

$\begin{array}{l}\frac{A_{1}D}{\sin B_1}=\frac{A_1{B}_1}{\sin D}\iff \frac{A_{1}D}{\sin {35}^{\circ }}=\frac{12}{\sin {14}^{\circ }}\\ \Rightarrow A_{1}D=\sin {35}^{\circ }.\frac{12}{\sin {14}^{\circ }}\approx 28,45\end{array}$

Áp dụng định lí sin trong tam giác $A_{1}D{C}_1$ , ta có:

$\begin{array}{l}\frac{A_{1}D}{\sin C_1}=\frac{C_{1}D}{\sin A_1}\iff \frac{28,45}{\sin {90}^{\circ }}=\frac{C_{1}D}{\sin {49}^{\circ }}\\ \Rightarrow C_{1}D=\sin {49}^{\circ }.\frac{28,45}{\sin {90}^{\circ }}\approx 21,47\end{array}$

Do đó, chiều cao CD của tháp là: $21,47+1,2=22,67(m)$

Xem thêm các bài giải SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Bài 3: Giải tam giác và ứng dụng thực tế

Bài 1: Khái niệm vecto

Bài 2: Tổng và hiệu của hai vecto

Bài 3: Tích của một số với một vecto

====== ****&**** =====