Lý thuyết Căn bậc hai (mới 2023 + bài tập) hay, chi tiết – Toán 9

Toán 9 Bài 1: Căn bậc hai

A. Lý thuyết Căn bậc hai

I. Căn bậc hai

1. Khái niệm

Căn bậc hai của một số a không âm là số x sao cho x² = a

2. Tính chất

– Số âm không có căn bậc hai

– Số 0 có đúng một căn bậc hai đó chính là số 0, ta viết √0 = 0

– Số dương a có đúng hai căn bậc hai là hai số đối nhau; số dương ký hiệu là √a, số âm ký hiệu là -√a

3. Ví dụ cụ thể

– Số 25 có hai căn bậc hai là 5 và -5.

– Số 7 có hai căn bậc hai là √7 và -√7

– Số -1 không có căn bậc hai.

II. Căn bậc hai số học

1. Định nghĩa

– Với số dương a, số √a được gọi là căn bậc hai số học của a.

– Số 0 cũng được gọi là căn bậc hai số học của 0.

– Ta viết x = √a

– Ví dụ:

Căn bậc hai số học của 4 là √4 (= 2).

Căn bậc hai số học của 5 là √5 (≈ = 2,236067977…)

Ví dụ 1: Tìm căn bậc hai số học của các số sau đây: 121; 144; 361; 400

Giải:

2. Phép khai phương

– Phép khai phương là phép toán tìm căn bậc hai số học của số không âm (gọi tắt là khai phương).

– Khi biết một căn bậc hai số học của một số, ta dễ dàng xác định được các căn bậc hai của nó.

– Ví dụ:

Căn bậc hai số học của 49 là 7 nên 49 có hai căn bậc hai là 7 và -7.

Căn bậc hai số học cuả 100 là 10 nên 100 có hai căn bậc hai là 10 và -10

Căn bậc hai số học của 144 là 12 nên 144 có hai căn bậc hai là 12 và -12

3. Một số kết quả cần nhớ

– Với a ≥ 0 thì a = (√a)².

– Với a ≥ 0, nếu x ≥ 0 và x² = a thì x = √a.

– Với a ≥ 0 và x² = a thì x = ±√a.

III. So sánh các căn bậc hai số học

1. Định lý

Với hai số a và b không âm, ta có: a > b ⇔ √a > √b

2. Ví dụ cụ thể: So sánh

– 1 với √2.

Hướng dẫn:

Ta có 1 < 2 ⇒ √1 < √2 ⇒ 1 < √2.

– 3 với √7.

Hướng dẫn:

Ta có 9 > 7 ⇒ √9 > √7 ⇒ 3 > √7.

Ví dụ 1: So sánh:

a) 2 và √3              b) 7 và √51

Giải:

a) Ta có: 2 = √4 mà 4 > 3 nên √4 > √3 tức 2 > √3

b) Ta có: 7 = √49 mà 49 < 51 nên √49 < √51 tức 7 < √51

B. Bài tập tự luận

Câu 1: Tìm căn bậc hai của các số sau: 9; 9/25; 1,21; -144.

– Vì 9 > 0 nên 9 có hai căn bậc hai là 3 và -3, vì 3² = 9 và (-3)² = 9.

– Vì 9/25 > 0 nên 9/25 có hai căn bậc hai là 3/5 và -3/5, vì (3/5)² = 9/25 và (-3/5)² = 9/25.

– Vì 1,21 > 0 nên 1,21 có hai căn bậc hai là 1,1 và -1,1, vì 1,1² = 1,21 và (-1,1)² = 1,21.

– Theo tính chất, số âm không tồn tại căn bậc hai nên -144 không có căn bậc hai.

Câu 2: Giải các phương trình sau:

a) x² = 5.     b) x² + 2 = 0     c) (x – 2)² = 7

– Giải phương trình x² = 5. Do 5 > 0 nên 5 có hai căn bậc hai là √5 và -√5

     Suy ra . Vậy S = {√5; -√5}

– Giải phương trình x² = -2. Vì -2 < 0 nên -2 không có căn bậc hai. Suy ra phương trình vô nghiệm. Vậy S = ∅

– Giải phương trình (x – 2)² = 7. Do 7 > 0 nên 7 có hai căn bậc hai là √7 và -√7.

Suy ra

Vậy S = {2 – √7; 2 + √7}

Trình bày gọn:

Câu 3: So sánh các số sau:

a) 6 và √35     b) 3 và √5     c) √7 với √5.

a) Ta có: 36 > 35 ⇒ √36 > √35 ⇒ 6 > √35

b) Ta có: 9 > 5 ⇒ √9 > √5 ⇒ 3 > √5

c) Ta có: 7 > 5 ⇒ √7 > √5