SBT Toán 9 Bài 4: Liên hệ giữa phép chia và phép khai phương | Giải SBT Toán lớp 9

Giải SBT Toán 9 Bài 4: Liên hệ giữa phép chia và phép khai phương

Bài 36 trang 10 SBT Toán 9 tập 1: Áp dụng quy tắc khai phương một thương, hãy tính:

a) $\sqrt{\frac{9}{169}}$;

b) $\sqrt{\frac{25}{144}}$;

c) $\sqrt{1\frac{9}{16}}$;

d) $\sqrt{2\frac{7}{81}}$. 

Phương pháp giải:

Áp dụng: 

Với $A\ge 0,B>0$ thì $\sqrt{\frac{A}{B}}=\frac{\sqrt{A}}{\sqrt{B}}$ 

Lời giải:

a)

$\sqrt{\frac{9}{169}}=\frac{\sqrt{9}}{\sqrt{169}}=\frac{3}{13}$

 b)

$\sqrt{\frac{25}{144}}=\frac{\sqrt{25}}{\sqrt{144}}=\frac{5}{12}$

 c)

$\sqrt{1\frac{9}{16}}=\sqrt{\frac{25}{16}}=\frac{\sqrt{25}}{\sqrt{16}}=\frac{5}{4}$

 d)

$\sqrt{2\frac{7}{81}}=\sqrt{\frac{169}{81}}=\frac{\sqrt{169}}{\sqrt{81}}=\frac{13}{9}$

Bài 37 trang 11 SBT Toán 9 tập 1: Áp dụng quy tắc chia hai căn bậc hai, hãy tính:

a) $\frac{\sqrt{2300}}{\sqrt{23}}$

b) $\frac{\sqrt{12,5}}{\sqrt{0,5}}$

c) $\frac{\sqrt{192}}{\sqrt{12}}$

d) $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{150}}$

Phương pháp giải:

Liên hệ giữa phép chia và phép khai phương:

Với $A\ge 0$ và $B>0$ ta có: $\frac{\sqrt{A}}{\sqrt{B}}=\sqrt{\frac{A}{B}}$

Lời giải:

a)

$\frac{\sqrt{2300}}{\sqrt{23}}=\sqrt{\frac{2300}{23}}=\sqrt{100}=10$

 b)

$\frac{\sqrt{12,5}}{\sqrt{0,5}}=\sqrt{\frac{12,5}{0,5}}=\sqrt{25}=5$

 c)

$\frac{\sqrt{192}}{\sqrt{12}}=\sqrt{\frac{192}{12}}=\sqrt{16}=4$

 d)

$\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{150}}=\sqrt{\frac{6}{150}}=\sqrt{\frac{1}{25}}=\frac{1}{5}$

Bài 38 trang 11 SBT Toán 9 tập 1: Cho các biểu thức: 

A = $\sqrt{\frac{2x+3}{x-3}}$ và B = $\frac{\sqrt{2x+3}}{\sqrt{x-3}}$ 

a) Tim $x$ để A có nghĩa. Tìm $x$ để B có nghĩa .

b) Với giá trị nào của $x$ thì $A=B?$

Phương pháp giải:

Áp dụng: 

+) Để $\frac{\sqrt{A}}{\sqrt{B}}$ có nghĩa thì $A\ge 0;B>0$ 

+) Để $\sqrt{\frac{A}{B}}$ có nghĩa ta xét các trường hợp: 

Trường hợp 1: 

$\{\begin{array}{l}A\ge 0\\ B>0\end{array}$

Trường hợp 2:

$\{\begin{array}{l}A\le 0\\ B<0\end{array}$ 

Lời giải:

a)

Ta có: $\sqrt{\frac{2x+3}{x-3}}$ có nghĩa khi và chỉ khi $\frac{2x+3}{x-3}\ge 0$ 

Trường hợp 1:

$\begin{array}{l}\{\begin{array}{l}2x+3\ge 0\\ x-3>0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}2x\ge -3\\ x>3\end{array}\\ \iff \{\begin{array}{l}x\ge \frac{-3}{2}\\ x>3\end{array}\iff x>3\end{array}$ 

Trường hợp 2: 

$\begin{array}{l}\{\begin{array}{l}2x+3\le 0\\ x-3<0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}2x\le -3\\ x<3\end{array}\\ \iff \{\begin{array}{l}x\le \frac{-3}{2}\\ x<3\end{array}\iff x\le \frac{-3}{2}\end{array}$ 

Vậy với $x>3$ hoặc x $\le$  $-\frac{3}{2}$ thì biểu thức A có nghĩa.

Ta có: $\frac{\sqrt{2x+3}}{\sqrt{x-3}}$  có nghĩa khi và chỉ khi: 

$\begin{array}{l}\{\begin{array}{l}2x+3\ge 0\\ x-3>0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}2x\ge -3\\ x>3\end{array}\\ \iff \{\begin{array}{l}x\ge \frac{-3}{2}\\ x>3\end{array}\iff x>3\end{array}$ 

Vậy $x>3$ thì biểu thức B có nghĩa.

 b)

Với $x>3$ thì A và B đồng thời có nghĩa.

Khi đó: $A=B$

$\iff \sqrt{\frac{2x+3}{x-3}}=\frac{\sqrt{2x+3}}{\sqrt{x-3}}$ (luôn đúng)

Vậy với $x>3$ thì $A=B$. 

Bài 39 trang 11 SBT Toán 9 tập 1: Biểu diễn $\sqrt{\frac{a}{b}}$ với $a<0$ và $b<0$ ở dạng thương của hai căn thức.

Áp dụng tính $\sqrt{\frac{-49}{-81}}.$ 

Phương pháp giải:

Áp dụng: 

Với $A\ge 0,B>0$ thì $\sqrt{\frac{A}{B}}=\frac{\sqrt{A}}{\sqrt{B}}$

Chú ý:

Với  $A<0;B<0$ thì $\frac{A}{B}>0$ nhưng $\sqrt{\frac{A}{B}}$ không phân tích được bằng $\frac{\sqrt{A}}{\sqrt{B}}$ 

Lời giải:

Ta có:  $a<0$ nên $–a>0;b<0$ nên $–b>0$ 

$\sqrt{\frac{a}{b}}=\sqrt{\frac{-a}{-b}}=\frac{\sqrt{-a}}{\sqrt{-b}}$

Áp dụng: $\sqrt{\frac{-49}{-81}}=\frac{\sqrt{49}}{\sqrt{81}}=\frac{7}{9}$ 

Bài 40 trang 11 SBT Toán 9 tập 1: Rút gọn các biểu thức: 

a) $\frac{\sqrt{63y^3}}{\sqrt{7y}}$ ($y>0$);

b) $\frac{\sqrt{48x^3}}{\sqrt{3x^5}}$ ($x>0$);

c) $\frac{\sqrt{45m{n}^2}}{\sqrt{20m}}$ ($m>0$ và $n>0$);

d) $\frac{\sqrt{16a^4{b}^6}}{\sqrt{128a^6{b}^6}}$ ($a<0$ và $b\ne 0$).

Phương pháp giải:

Áp dụng: 

Với $A\ge 0,B>0$ thì $\sqrt{\frac{A}{B}}=\frac{\sqrt{A}}{\sqrt{B}}$ 

 $\sqrt{A^2}=\left|A\right|$ 

Với $A\ge 0$ thì $\left|A\right|=A$

Với $A<0$ thì $\left|A\right|=-A$.

Lời giải:

a)

$\begin{array}{rl}& \frac{\sqrt{63y^3}}{\sqrt{7y}}=\sqrt{\frac{63y^3}{7y}}=\sqrt{9y^2}\\ & =\sqrt{9}.\sqrt{y^2}=3.\left|y\right|=3y(y>0)\end{array}$ 

 b)

$\begin{array}{rl}& \frac{\sqrt{48x^3}}{\sqrt{3x^5}}=\sqrt{\frac{48x^3}{3x^5}}\\ & =\sqrt{\frac{16}{x^2}}=\frac{\sqrt{16}}{\sqrt{x^2}}\\ & =\frac{4}{\left|x\right|}=\frac{4}{x}(x>0)\end{array}$ 

 c)

$\begin{array}{rl}& \frac{\sqrt{45m{n}^2}}{\sqrt{20m}}=\sqrt{\frac{45m{n}^2}{20m}}\\ & =\sqrt{\frac{9n^2}{4}}=\frac{\sqrt{9n^2}}{\sqrt{4}}\\ & =\frac{3\left|n\right|}{2}=\frac{3n}{2}(m>0;n>0)\end{array}$ 

 d)

$\frac{\sqrt{16a^4{b}^6}}{\sqrt{128a^6{b}^6}}=\sqrt{\frac{16a^4{b}^6}{128a^6{b}^6}}=\sqrt{\frac{1}{8a^2}}$$=\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4.a^2.2}}$$=\frac{1}{\sqrt{4}.\sqrt{a^2}.\sqrt{2}}$$=\frac{1}{2\left|a\right|\sqrt{2}}=\frac{-1}{2a\sqrt{2}}$

 ($a<0$ và $b\ne 0$)

Bài 41 trang 11 SBT Toán 9 tập 1: Rút gọn các biểu thức:

a) $\sqrt{\frac{x-2\sqrt{x}+1}{x+2\sqrt{x}+1}}$ ($x\ge 0$);

b) $\frac{x-1}{\sqrt{y}-1}\sqrt{\frac{y-2\sqrt{y}+1}{{(x-1)}^4}}$ $(x\ne 1,y\ne 1$ và $y\ge 0).$ 

Phương pháp giải:

Áp dụng: 

Với $A\ge 0$ thì $A=\sqrt{A^2}$ 

Và $\sqrt{A^2}=\left|A\right|$ 

Với $A\ge 0$ thì $\left|A\right|=A$

với $A<0$ thì $\left|A\right|=-A$.

Hằng đẳng thức cần sử dụng:

$(A-B{)}^2=A^2-2AB+B^2$

$(A+B{)}^2=A^2+2AB+B^2$

Lời giải:

a)

Vì $x\ge 0$ nên $x={\left(\sqrt{x}\right)}^2$

Ta có: 

$\begin{array}{rl}& \sqrt{\frac{x-2\sqrt{x}+1}{x+2\sqrt{x}+1}}\\ & =\sqrt{\frac{{\left(\sqrt{x}\right)}^2-2\sqrt{x}+1}{{\left(\sqrt{x}\right)}^2+2\sqrt{x}+1}}\\ & =\sqrt{\frac{{\left(\sqrt{x}-1\right)}^2}{{\left(\sqrt{x}+1\right)}^2}}\end{array}$

$=\frac{\sqrt{{\left(\sqrt{x}-1\right)}^2}}{\sqrt{{\left(\sqrt{x}+1\right)}^2}}$ 

$=\frac{\left|\sqrt{x}-1\right|}{\left|\sqrt{x}+1\right|}=\frac{\left|\sqrt{x}-1\right|}{\sqrt{x}+1}$  

+) Nếu $\sqrt{x}-1\ge 0\iff x\ge 1$  thì $\left|\sqrt{x}-1\right|=\sqrt{x}-1$

Ta có: $\frac{\left|\sqrt{x}-1\right|}{\sqrt{x}+1}=\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+1}$ (với $x\ge 1)$

+) Nếu $\sqrt{x}-1<0\iff x<1$ thì $\left|\sqrt{x}-1\right|=1-\sqrt{x}$

Ta có:

$\frac{\left|\sqrt{x}-1\right|}{\sqrt{x}+1}=\frac{1-\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1}$ (với $0\le x<1$)

 b)

Vì $y\ge 0$ nên $y={\left(\sqrt{y}\right)}^2$

Ta có: 

$\begin{array}{rl}& \frac{x-1}{\sqrt{y}-1}\sqrt{\frac{y-2\sqrt{y}+1}{{(x-1)}^4}}\\ & =\frac{x-1}{\sqrt{y}-1}\frac{\sqrt{{\left(\sqrt{y}-1\right)}^2}}{\sqrt{{(x-1)}^4}}\end{array}$

$\begin{array}{rl}& =\frac{x-1}{\sqrt{y}-1}.\frac{\left|\sqrt{y}-1\right|}{{(x-1)}^2}\\ & =\frac{\left|\sqrt{y}-1\right|}{(\sqrt{y}-1).(x-1)}\end{array}$

+) Nếu $y>1$

 Ta có $\left|\sqrt{y}-1\right|=\sqrt{y}-1$ nên:

$\frac{\left|\sqrt{y}-1\right|}{(\sqrt{y}-1).(x-1)}=\frac{\sqrt{y}-1}{(\sqrt{y}-1).(x-1)}$$=\frac{1}{x-1}$

+) Nếu $0\le y<1$

Ta có  $\left|\sqrt{y}-1\right|=-(\sqrt{y}-1)$ nên:

$\frac{\left|\sqrt{y}-1\right|}{(\sqrt{y}-1).(x-1)}=\frac{-(\sqrt{y}-1)}{(\sqrt{y}-1).(x-1)}$$=\frac{-1}{x-1}$

 
Bài 42 trang 12 SBT Toán 9 tập 1: Rút gọn biểu thức với điều kiện đã cho của x rồi tính giá trị của nó:

a) $\sqrt{\frac{{(x-2)}^4}{{(3-x)}^2}}+\frac{x^2-1}{x-3}$ ($x<3$); tại $x=0,5$ ;

b) $4x-\sqrt{8}+\frac{\sqrt{x^3+2x^2}}{\sqrt{x+2}}$ ($x>-2$); tại $x=-\sqrt{2}$ 

Phương pháp giải:

Sử dụng $\sqrt{A^2}=\left|A\right|$  

Với $A\ge 0$ thì $\left|A\right|=A$

với $A<0$ thì $\left|A\right|=-A$.

Với $A\ge 0,B>0$ thì $\sqrt{\frac{A}{B}}=\frac{\sqrt{A}}{\sqrt{B}}$

Lời giải:

a)

Ta có: 

$\begin{array}{rl}& \sqrt{\frac{{(x-2)}^4}{{(3-x)}^2}}+\frac{x^2-1}{x-3}\\ & =\frac{\sqrt{{(x-2)}^4}}{\sqrt{{(3-x)}^2}}+\frac{x^2-1}{x-3}\\ & =\frac{{(x-2)}^2}{\left|3-x\right|}+\frac{x^2-1}{x-3}\end{array}$

$\begin{array}{rl}& =\frac{x^2-4x+4}{3-x}+\frac{x^2-1}{x-3}\\ & =\frac{-x^2+4x-4}{x-3}+\frac{x^2-1}{x-3}\\ & =\frac{-x^2+4x-4+x^2-1}{x-3}\end{array}$

$=\frac{4x-5}{x-3}$ ($x<3$)

Với $x=0,5$ ta có: 

$\begin{array}{rl}& \frac{4.0,5-5}{0,5-3}=\frac{-3}{-2,5}\\ & =\frac{3}{2,5}=\frac{6}{5}=1,2\end{array}$

 b)

Với $x>-2,$ ta có: 

$\begin{array}{rl}& 4x-\sqrt{8}+\frac{\sqrt{x^3+2x^2}}{\sqrt{x+2}}\\ & =4x-\sqrt{8}+\sqrt{\frac{x^3+2x^2}{x+2}}\end{array}$

$\begin{array}{rl}& =4x-\sqrt{8}+\sqrt{\frac{x^2(x+2)}{x+2}}\\ & =4x-\sqrt{8}+\sqrt{x^2}\\ & =4x-\sqrt{8}+\left|x\right|\end{array}$

+) Nếu $x\ge 0$ thì $\left|x\right|=x$

Ta có: 

$\begin{array}{rl}& 4x-\sqrt{8}+\left|x\right|\\ & =4x-\sqrt{8}+x=5x-\sqrt{8}\end{array}$

+) Nếu $-2<x<0$ thì $\left|x\right|=-x$

Ta có: 

$4x-\sqrt{8}+\left|x\right|$$=4x-\sqrt{8}-x=3x-\sqrt{8}$

Với $x=-\sqrt{2}<0$ ta có: $3\left(-\sqrt{2}\right)-\sqrt{8}$

Bài 43 trang 12 SBT Toán 9 tập 1: Tìm $x$ thỏa mãn điều kiện

a) $\sqrt{\frac{2x-3}{x-1}}=2$

b) $\frac{\sqrt{2x-3}}{\sqrt{x-1}}=2$

c) $\sqrt{\frac{4x+3}{x+1}}=3$

d) $\frac{\sqrt{4x+3}}{\sqrt{x+1}}=3.$

Phương pháp giải:

Áp dụng với $\mathrm{A}\ge 0;\mathrm{B}\ge 0$ thì $\sqrt{A}=B\iff A=B^2$

Để $\sqrt{\frac{A}{B}}$ có nghĩa ta xét các trường hợp: 

Trường hợp 1: 

$\{\begin{array}{l}A\ge 0\\ B>0\end{array}$

Trường hợp 2:

$\{\begin{array}{l}A\le 0\\ B<0\end{array}$ 

Lời giải:

a)

Ta có:

$\sqrt{\frac{2x-3}{x-1}}$  xác định khi và chỉ khi   $\frac{2x-3}{x-1}\ge 0$ 

Trường hợp 1:  

$\begin{array}{rl}& \{\begin{array}{c}2x-3\ge 0\hfill \\ x-1>0\hfill \end{array}\iff \{\begin{array}{c}2x\ge 3\hfill \\ x>1\hfill \end{array}\\ & \iff \{\begin{array}{c}x\ge 1,5\hfill \\ x>1\hfill \end{array}\iff x\ge 1,5\end{array}$

Trường hợp 2: 

$\begin{array}{rl}& \{\begin{array}{c}2x-3\le 0\hfill \\ x-1<0\hfill \end{array}\iff \{\begin{array}{c}2x\le 3\hfill \\ x<1\hfill \end{array}\\ & \iff \{\begin{array}{c}x\le 1,5\hfill \\ x<1\hfill \end{array}\iff x<1\end{array}$

Với $x\ge 1,5$ hoặc $x<1$ ta có:

$\begin{array}{rl}& \sqrt{\frac{2x-3}{x-1}}=2\iff \frac{2x-3}{x-1}=4\\ & \Rightarrow 2x-3=4(x-1)\end{array}$

$\begin{array}{rl}& \iff 2x-3=4x-4\\ & \iff 2x=1\iff x=0,5\end{array}$

Giá trị $x=0,5$ thỏa mãn điều kiện $x<1.$

 b)

Ta có: $\frac{\sqrt{2x-3}}{\sqrt{x-1}}$ xác định khi và chỉ khi:

$\begin{array}{rl}& \{\begin{array}{c}2x-3\ge 0\hfill \\ x-1>0\hfill \end{array}\iff \{\begin{array}{c}2x\ge 3\hfill \\ x>1\hfill \end{array}\\ & \iff \{\begin{array}{c}x\ge 1,5\hfill \\ x>1\hfill \end{array}\iff x\ge 1,5\end{array}$

Với $x\ge 1,5$ ta có: 

$\begin{array}{rl}& \frac{\sqrt{2x-3}}{\sqrt{x-1}}=2\iff \frac{2x-3}{x-1}=4\\ & \Rightarrow 2x-3=4(x-1)\end{array}$

$\begin{array}{rl}& \iff 2x-3=4x-4\\ & \iff 2x=1\iff x=0,5\end{array}$

Giá trị $x=0,5$ không thỏa mãn điều kiện.

Vậy không có giá trị nào của $x$ để $\frac{\sqrt{2x-3}}{\sqrt{x-1}}=2$

 c)

Ta có: $\sqrt{\frac{4x+3}{x+1}}$ xác định khi và chỉ khi $\frac{4x+3}{x+1}\ge 0$

Trường hợp 1:  

$\begin{array}{rl}& \{\begin{array}{c}4x+3\ge 0\hfill \\ x+1>0\hfill \end{array}\iff \{\begin{array}{c}4x\ge -3\hfill \\ x>-1\hfill \end{array}\\ & \iff \{\begin{array}{c}x\ge -0,75\hfill \\ x>-1\hfill \end{array}\iff x\ge -0,75\end{array}$

Trường hợp 2:  

$\begin{array}{rl}& \{\begin{array}{c}4x+3\le 0\hfill \\ x+1<0\hfill \end{array}\iff \{\begin{array}{c}4x\le -3\hfill \\ x<-1\hfill \end{array}\\ & \iff \{\begin{array}{c}x\ge -0,75\hfill \\ x<-1\hfill \end{array}\iff x<-1\end{array}$

Với $x\ge -0,75$ hoặc $x<-1$ ta có:

$\begin{array}{rl}& \sqrt{\frac{4x+3}{x+1}}=3\iff \frac{4x+3}{x+1}=9\\ & \Rightarrow 4x+3=9(x+1)\end{array}$

$\begin{array}{rl}& \iff 4x+3=9x+9\\ & \iff 5x=-6\iff x=-1,2\end{array}$

Giá trị $x=-1,2$ thỏa mãn điều kiện $x<-1$.

 d)

Ta có : $\frac{\sqrt{4x+3}}{\sqrt{x+1}}$ xác định khi và chỉ khi:

$\begin{array}{rl}& \{\begin{array}{c}4x+3\ge 0\hfill \\ x+1>0\hfill \end{array}\iff \{\begin{array}{c}4x\ge -3\hfill \\ x>-1\hfill \end{array}\\ & \iff \{\begin{array}{c}x\ge -0,75\hfill \\ x>-1\hfill \end{array}\iff x\ge -0,75\end{array}$

Với $x\ge -0,75$ ta có: 

$\begin{array}{rl}& \frac{\sqrt{4x+3}}{\sqrt{x+1}}=3\iff \frac{4x+3}{x+1}=9\\ & \Rightarrow 4x+3=9(x+1)\end{array}$

$\begin{array}{rl}& \iff 4x+3=9x+9\\ & \iff 5x=-6\iff x=-1,2\text{(không thỏa mãn)}\end{array}$

Vậy không có giá trị nào của x để $\frac{\sqrt{4x+3}}{\sqrt{x+1}}=3.$

Bài 44 trang 12 SBT Toán 9 tập 1: Cho hai số a, b không âm. Chứng minh:

$\frac{a+b}{2}\ge \sqrt{ab}$

(Bất đẳng thức Cô-si cho hai số không âm).  

Dấu đẳng thức xảy ra khi nào ?  

Phương pháp giải:

Áp dụng hằng đẳng thức:

$(a-b{)}^2=a^2-2ab+b^2$

Với $\mathrm{A}\ge 0$ thì $A=\sqrt{A^2}$

Lời giải:

Vì $a\ge 0$ nên $\sqrt{a}$ xác định, $b\ge 0$ nên $\sqrt{b}$ xác định

Ta có:  

$\begin{array}{rl}& {\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)}^2\ge 0\\ & \iff a-2\sqrt{ab}+b\ge 0\end{array}$

$\iff a+b\ge 2\sqrt{ab}\iff \frac{a+b}{2}\ge \sqrt{ab}$ 

Dấu đẳng thức xảy ra khi $a=b$. 

Bài 45 trang 12 SBT Toán 9 tập 1: Với $a\ge 0,b\ge 0$, chứng minh 

$\sqrt{\frac{a+b}{2}}\ge \frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{2}.$ 

Phương pháp giải:

Áp dụng hằng đẳng thức:

$(a-b{)}^2=a^2-2ab+b^2$

Với $\mathrm{A}\ge 0$ thì $A=\sqrt{A^2}$

Lời giải:

Vì $a\ge 0$ nên $\sqrt{a}$ xác định, $b\ge 0$ nên $\sqrt{b}$ xác định.

Ta có:

${\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)}^2\ge 0$
$\iff a-2\sqrt{ab}+b\ge 0$

$\iff a+b\ge 2\sqrt{ab}$

$\iff a+b+a+b\ge a+b+2\sqrt{ab}$

$\iff 2(a+b)\ge {\left(\sqrt{a}\right)}^2+2\sqrt{ab}+{\left(\sqrt{b}\right)}^2$

$\iff 2(a+b)\ge {\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)}^2$ 
$\iff \frac{a+b}{2}\ge \frac{{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)}^2}{4}$

$\iff \sqrt{\frac{a+b}{2}}\ge \sqrt{\frac{{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)}^2}{4}}$ 
$\iff \sqrt{\frac{a+b}{2}}\ge \frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{2}$ 

Bài 46 trang 12 SBT Toán 9 tập 1: Với $a$ dương, chứng minh:

$a+\frac{1}{a}\ge 2$.  

Phương pháp giải:

Cách 1: Sử dụng hằng đẳng thức:

$(a-b{)}^2=a^2-2ab+b^2$

Cách 2: Áp dụng bất đẳng thức Cô-si với hai số không âm $a,b:$

$\frac{a+b}{2}\ge 2\sqrt{ab}.$

Lời giải:

Cách 1: Với $a$ dương, ta có:  

$\begin{array}{rl}& {\left(\sqrt{a}-\frac{1}{\sqrt{a}}\right)}^2\ge 0\\ & \iff a-2\sqrt{a}.\frac{1}{\sqrt{a}}+\frac{1}{a}\ge 0\end{array}$

$\iff a-2+\frac{1}{a}\ge 0\iff a+\frac{1}{a}\ge 2$

Cách 2:

Ta có: $a>0\Rightarrow \frac{1}{a}>0$ 

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si với hai số dương $a$ và $\frac{1}{a}$:

$\begin{array}{l}a+\frac{1}{a}\ge 2\sqrt{a.\frac{1}{a}}\\ \iff a+\frac{1}{a}\ge 2\end{array}$

 Dấu “=” xảy ra khi $a=\frac{1}{a}$.

Bài tập bổ sung (trang 12 SBT Toán 9):

Bài 4.1 trang 12 SBT Toán 9 tập 1: Giá trị của $\sqrt{\frac{49}{0,09}}$ bằng 

(A) $\frac{7}{3}$; 

(B) $\frac{70}{3}$; 

(C) $\frac{7}{30}$;

(D) $\frac{700}{3}$.

Hãy chọn đáp án đúng.

Phương pháp giải:

Với $A\ge 0,B>0$ thì $\sqrt{\frac{A}{B}}=\frac{\sqrt{A}}{\sqrt{B}}$ 

Với $\mathrm{A}\ge 0$ thì $A=\sqrt{A^2}.$

Lời giải:

$\begin{array}{l}\sqrt{\frac{49}{0,09}}=\sqrt{\frac{7^2}{0,3^2}}\\ =\frac{\sqrt{7^2}}{\sqrt{0,3^2}}=\frac{7}{0,3}\\ =\frac{70}{3}\end{array}$.

Chọn (B).