50 Bài tập Biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn bậc hai (có đáp án)- Toán 9

Bài tập Toán 9 Chương 1 Bài 6: Biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn thức bậc hai 

A. Bài tập Biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn bậc hai

I. Bài tập trắc nghiệm

Câu 1: Kết quả của biểu thức rút gọn C = √125 – 3√45 + 2√20 ?

A. √5.     B. 0.     C. -√5.     D. 2√5.

Lời giải:

Đưa một thừa số ra ngoài dấu căn

Ta có:

Chọn đáp án B.

Câu 2: Kết quả so sánh nào sau đây đúng ?

Lời giải:

Đưa thừa số vào trong dấu căn để sao sánh

Chọn đáp án A.

 

Chọn đáp án D.

Câu 6: Tính 

A. 1

B. 0

C.√2

D.2√2

Lời giải:

Chọn đáp án B.

Câu 3: Tìm x biết: 

A. x = 2

B. x = 5

C. x = 10

D. x = 125

Lời giải:

Chọn đáp án B.

Câu 4: So sánh hai số 5√3 và 4√5

Lời giải:

Đáp án cần chọn là: D

II. Bài tập tự luận có lời giải

Câu 1: Cho biểu thức

 (với x ≥ 0; x ≠ 1 và x ≠ 1/4).

Tìm tất cả các giá trị của x để B < 0.

Lời giải:

Ta có:

Kết hợp điều kiện ta có x ∈ [0; 1/4].

Câu 2: Giải các phương trình sau:

Lời giải:

a) Điều kiện xác định:

Kết hợp (1), (4), (*) và (**) ta có điều kiện xác định: x ≤ 1

Ta có

b) Điều kiện xác định: .

So sánh điều kiện ta có: x = -7; x = 2 (t/m). Vậy S = {-7; 2}.

c) Điều kiện xác định x ∈ [0; 1]\{1/2}.

Ta có:

Từ (*) và (**) suy ra phương trình (2) vô nghiệm.

Vậy S = {0; 1}.

Câu 3: Rút gọn các biểu thức sau:

Lời giải:

a) Ta có:

b) Ta có

Khi đó: .

Câu 4: Chứng minh rằng

 (n ∈ N; n ≥ 2)

Lời giải:

III. Bài tập vận dụng

Câu 1: Cho biểu thức

 (với x ≥ 0; x ≠ 1 và x ≠ 1/4).

Tìm tất cả các giá trị của x để B < 0.

Câu 2: Giải các phương trình sau:

Câu 3: Rút gọn các biểu thức sau:

B. Lý thuyết Biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn bậc hai

1. Đưa một thừa số ra ngoài dấu căn

• Với a ≥ 0, b ≥ 0, ta có: $\sqrt{a^{2}b}=a\sqrt{b}$. Phép biến đổi này được gọi là phép đưa thừa số ra ngoài dấu căn.

• Đôi khi, ta phải biến đổi biểu thức dưới dấu căn về dạng thích hợp rồi mới thực hiện được phép đưa thừa số ra ngoài dấu căn.

• Có thể sử dụng phép đưa thừa số ra ngoài dấu căn để rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai.

Ví dụ 1.

a) $\sqrt{3^2.5}=\sqrt{3^2}.\sqrt{5}=3\sqrt{5}$;

b)$\sqrt{18}=\sqrt{9.2}=\sqrt{3^2}.\sqrt{2}=3\sqrt{2}$

Tổng quát: Với hai biểu thức A, B mà B ≥ 0 ta có $\sqrt{A^2.B}=\left|A\right|\sqrt{B}$, tức là: 

Nếu A ≥ 0 và B ≥ 0 thì $\sqrt{A^{2}B}=A\sqrt{B}$;

Nếu A < 0 và B ≥ 0 thì $\sqrt{A^{2}B}=-A\sqrt{B}$.

Ví dụ 2. Đưa thừa số ra ngoài căn:

a) $\sqrt{9x{y}^2}$với x ≥ 0, y < 0;

b) $\sqrt{20x^{2}y}$với x ≥ 0, y ≥ 0.

Lời giải:

a)$\sqrt{9x{y}^2}=\sqrt{{\left(3y\right)}^{2}x}=\left|3y\right|\sqrt{x}=-3y|\sqrt{x}$

(với x ≥ 0, y < 0);

b)

$\sqrt{20x^{2}y}=\sqrt{4x^2.5y}=\sqrt{{\left(2x\right)}^2.5y}$

$=\left|2x\right|\sqrt{5y}=x\sqrt{5y}$

 (với x ≥ 0, y ≥ 0).

2. Đưa thừa số vào trong dấu căn

• Phép đưa thừa số ra ngoài dấu căn có phép biến đổi ngược với nó là phép đưa thừa số vào trong dấu căn.

Với A ≥ 0 và B ≥ 0 thì $A\sqrt{B}=\sqrt{A^{2}B}$.

Với A < 0 và B ≥ 0 thì $A\sqrt{B}=-\sqrt{A^{2}B}$.

Ví dụ 2. Đưa thừa số vào trong căn:

a) $5\sqrt{2}$;

b) $2a^2\sqrt{3a}$ với a ≥ 0.

Lời giải:

a) $5\sqrt{2}=\sqrt{5^2.2}=\sqrt{25.2}=\sqrt{50}$

b)

$2a^2\sqrt{3a}=\sqrt{{\left(2a^2\right)}^2.3a}=\sqrt{4a^4.3a}=\sqrt{12a^5}$

với a ≥ 0.

• Có thể sử dụng phép đưa thừa số vào trong (hoặc ra ngoài) dấu căn để so sánh các căn bậc hai.

Ví dụ 3. So sánh $3\sqrt{5}$ và $\sqrt{18}$.

Lời giải:

Ta có: $3\sqrt{5}=\sqrt{3^2.5}=\sqrt{45}$.

Vì $\sqrt{45}>\sqrt{18}$ nên $3\sqrt{5}>\sqrt{18}$.

Xem thêm