SBT Toán 9 Bài 1: Căn bậc hai | Giải SBT Toán lớp 9

Giải SBT Toán 9 Bài 1: Căn bậc hai | Giải SBT Toán lớp 9

Bài 1 trang 5 SBT Toán 9 tập 1: Tính căn bậc hai số học của:

a) $0,01;$        b) $0,04;$         

c) $0,49;$        d) $0,64;$

e) $0,25;$        f) $0,81;$

g) $0,09;$        h) $0,16.$

Phương pháp giải:

Sử dụng định nghĩa: Căn bậc hai số học của số $a$ không âm là số $x$ không âm sao cho $x^2=a$

Hay $\sqrt{a}=x$$\iff \{\begin{array}{l}x\ge 0\\ a=x^2\end{array}$  

Lời giải:

a)

$\sqrt{0,01}=0,1$  vì  $0,1\ge 0$ và $(0,1{)}^2=0,01$

b)

$\sqrt{0,04}=0,2$ vì $0,2\ge 0$ và  $(0,2{)}^2=0,04$ 

c)

$\sqrt{0,64}=0,8$ vì $0,8\ge 0$ và $(0,8{)}^2=0,64$

d)

$\sqrt{0,49}=0,7$ vì $0,7\ge 0$ và $(0,7{)}^2=0,49$

e)

$\sqrt{0,25}=0,5$ vì $0,5\ge 0$ và $(0,5{)}^2=0,25$

f)

$\sqrt{0,81}=0,9$ vì $0,9\ge 0$ và $(0,9{)}^2=0,81$

g)

$\sqrt{0,09}=0,3$ vì $0,3\ge 0$ và $(0,3{)}^2=0,09$

h)

$\sqrt{0,16}=0,4$ vì $0,4\ge 0$ và $(0,4{)}^2=0,16$ 

Bài 2 trang 5 SBT Toán 9 tập 1: Dùng máy tính bỏ túi ( máy tính CASIO  fx-220, CASIO  fx-500A, SHARP EL-500M,…) tìm x thỏa mãn đẳng thức (làm tròn đến chữ số thập phân thứ ba).

a) $x^2=5;$

b) $x^2=6;$

c) $x^2=2,5;$

d) $x^2=\sqrt{5}.$

Phương pháp giải:

Sử dụng: $x^2=a$ (với $a\ge 0)$ suy ra $x=\sqrt{a}$ và $x=-\sqrt{a}$ 

Lời giải:

a)

$x^2=5\Rightarrow x_1=\sqrt{5}$ và $x_2=-\sqrt{5}$ 

Ta có : $x_1=\sqrt{5}\approx 2,236$ và $x_2=-\sqrt{5}=-2,236$.

b)

$x^2=6\Rightarrow x_1=\sqrt{6}$ và $x_2=-\sqrt{6}$

Ta có : $x_1=\sqrt{6}\approx 2,449$ và $x_2=-\sqrt{6}\approx -2,449$.

c)

$x^2=2,5\Rightarrow x_1=\sqrt{2,5}$ và $x_2=-\sqrt{2,5}$

Ta có : $x_1=\sqrt{2,5}\approx 1,581$ và $x_2=-\sqrt{2,5}\approx -1,581$.

d)

$x^2=\sqrt{5}\Rightarrow x_1=\sqrt{\sqrt{5}}$ và $x_2=-\sqrt{\sqrt{5}}$

Ta có : $x_1=\sqrt{\sqrt{5}}\approx 1,495$ và $x_2=-\sqrt{\sqrt{5}}\approx -1,495$.

Bài 3 trang 5 SBT Toán 9 tập 1: Số nào có căn bậc hai là:

a) $\sqrt{5}$;

b) 1,5 ;

c) $-0,1$ ;

d) $-\sqrt{9}$?

Phương pháp giải:

Sử dụng định nghĩa căn bậc hai của một số a không âm là số x sao cho $x^2=a$.

Lời giải:

a)

Số 5 có căn bậc hai là $\sqrt{5}$ (vì $(\sqrt{5}{)}^2=5)$

 b)

Số 2,25 có căn bậc hai là 1,5 (vì $1,5^2=2,25)$

 c)

Số 0,01 có căn bậc hai là $-0,1$ (vì $(-0,1{)}^2=0,01)$

 d)

Số 9 có căn bậc hai là $-\sqrt{9}$ (vì $(-\sqrt{9}{)}^2=9)$

Bài 4 trang 5 SBT Toán 9 tập 1: Tìm x không âm, biết :

a) $\sqrt{x}=3;$

b) $\sqrt{x}=\sqrt{5};$

c) $\sqrt{x}=0;$

d) $\sqrt{x}=-2.$

Phương pháp giải:

Áp dụng:  

$\sqrt{x}=a$ ($a\ge 0$) $\iff x=a^2.$

Lời giải:

a)

$\sqrt{x}=3\Rightarrow x=3^2\Rightarrow x=9$.

 b)

$\sqrt{x}=\sqrt{5}\Rightarrow x=(\sqrt{5}{)}^2\Rightarrow x=5$

 c)

$\sqrt{x}=0\Rightarrow x=0^2\Rightarrow x=0$.

 d)

Căn bậc 2 số học là số không âm nên không tồn tại giá trị nào của x thỏa mãn $\sqrt{x}=-2.$

Bài 5 trang 6 SBT Toán 9 tập 1: So sánh (không dùng bảng số hay máy tính bỏ túi)

a) 2 và $\sqrt{2}+1;$

b) 1 và $\sqrt{3}-1;$

c) $2\sqrt{31}$ và 10;

d) $-3\sqrt{11}$ và $-12$.

Phương pháp giải:

Áp dụng:  Với $a\ge 0$; $b\ge 0$ ta có: $a<b\iff \sqrt{a}<\sqrt{b}.$

Lời giải:

a)

Ta có : $1<2\Rightarrow \sqrt{1}<\sqrt{2}\Rightarrow 1<\sqrt{2}$

Suy ra : $1+1<\sqrt{2}+1$

Vậy $2<\sqrt{2}+1.$ 

 b)

Ta có: $4>3\Rightarrow \sqrt{4}>\sqrt{3}\Rightarrow 2>\sqrt{3}$

Suy ra: $2-1>\sqrt{3}-1$

Vậy $1>\sqrt{3}-1.$

 c)

Ta có : $31>25\Rightarrow \sqrt{31}>\sqrt{25}\Rightarrow \sqrt{31}>5$

Suy ra: $2.\sqrt{31}>2.5$

Vậy $2\sqrt{31}>10.$

d)

Ta có: $11<16\Rightarrow \sqrt{11}<\sqrt{16}\Rightarrow \sqrt{11}<4$

Suy ra: $-3.\sqrt{11}>-3.4$

Vậy $-3\sqrt{11}>-12.$

Bài 6 trang 6 SBT Toán 9 tập 1: Tìm những khẳng định đúng trong các khẳng định sau:

a) Căn bậc hai của $0,36$ là $0,6$ ;

b) Căn bậc hai của $0,36$ là $0,06$ ;

c)$\sqrt{0,36}=0,6;$ 

d) Căn bậc hai của $0,36$ là $0,6$ và $-0,6$ ;

e) $\sqrt{0,36}=\pm 0,6.$

Phương pháp giải:

– Sử dụng định nghĩa căn bậc hai của một số a không âm là số x sao cho $x^2=a$.

Số dương a có hai căn bậc hai đối nhau: Kí hiệu là $\sqrt{a}$ và $-\sqrt{a}$.

– Sử dụng định nghĩa: Căn bậc hai số học của số $a$ không âm là số $x$ không âm sao cho $x^2=a$

Hay $\sqrt{a}=x$$\iff \{\begin{array}{l}x\ge 0\\ a=x^2\end{array}$  

Lời giải:

Ta có: Căn bậc Căn bậc hai của $0,36$ là $0,6$ và $-0,6$.

Mà $0,6>0$ nên căn bậc hai số học của $0,36$ là $0,6$, hay $\sqrt{0,36}=0,6.$

Do đó câu c và d đều đúng.

 
Bài 7 trang 6 SBT Toán 9 tập 1: Trong các số $\sqrt{{(-5)}^2}$; $\sqrt{5^2}$; $-\sqrt{5^2}$; $-\sqrt{{(-5)}^2}$, số nào là căn bậc hai số học của $25?$
Phương pháp giải:
Sử dụng định nghĩa: Căn bậc hai số học của số  không âm là số  không âm sao cho 

Lời giải:

Ta thấy: 

$\begin{array}{l}{\left(-5\right)}^2=25>0\\ \Rightarrow \sqrt{{\left(-5\right)}^2}=\sqrt{25}=5\end{array}$

Tương tự: $\sqrt{5^2}=\sqrt{25}=5$.

Do căn bậc hai số học của 25 là một số dương nên các trường hợp còn lại không thỏa mãn.

Vậy căn bậc hai số học của 25 là $\sqrt{{(-5)}^2}$ và $\sqrt{5^2}.$

Bài 8 trang 6 SBT Toán 9 tập 1: Chứng minh:

$\begin{array}{rl}& \sqrt{1^3+2^3}=1+2;\\ & \sqrt{1^3+2^3+3^3}=1+2+3;\\ & \sqrt{1^3+2^3+3^3+4^3}=1+2+3+4.\end{array}$

Viết tiếp một số đẳng thức tương tự.

Phương pháp giải:

Tính giá trị của vế trái và giá trị vế phải của mỗi đẳng thức. So sánh hai giá trị để chứng mình đẳng thức đúng.

Từ các đẳng thức đã chứng minh ta tìm quy luật để suy ra đẳng thức tương tự.

Lời giải:

+ Ta có : $\sqrt{1^3+2^3}=\sqrt{1+8}=\sqrt{9}=3$

Và $1+2=3$ 

Vậy $\sqrt{1^3+2^3}=1+2$

+ Ta có : 

$\begin{array}{rl}& \sqrt{1^3+2^3+3^3}=\sqrt{1+8+27}\\ & =\sqrt{36}=6\end{array}$

Vậy $\sqrt{1^3+2^3+3^3}=1+2+3$

+ Ta có : 

$\begin{array}{rl}& \sqrt{1^3+2^3+3^3+4^3}\\ & =\sqrt{1+8+27+64}\\ & =\sqrt{100}=10\end{array}$

Và $1+2+3+4=10$

Vậy 

$\begin{array}{rl}& \sqrt{1^3+2^3+3^3+4^3}\\ & =1+2+3+4\end{array}$

Một số đẳng thức tương tự:

$\sqrt{1^3+2^3+3^3+4^3+5^3}$$=1+2+3+4+5$

$\sqrt{1^3+2^3+3^3+4^3+5^3+6^3}$

$=1+2+3+4+5+6$.

Bài 9 trang 6 SBT Toán 9 tập 1: Cho hai số a, b không âm. Chứng minh : 

a) Nếu $a<b$  thì $\sqrt{a}<\sqrt{b}$.

b) Nếu $\sqrt{a}<\sqrt{b}$  thì $a<b$. 

Phương pháp giải:

Sử dụng hằng đẳng thức:

$x^2-y^2=\left(x+y\right)(x-y)$

Biện luận dựa vào các dữ kiện đã cho. 

Lời giải:

a)

$a\ge 0;b\ge 0$ và $a<b\Rightarrow b>0$

Ta có: $\sqrt{a}\ge 0;\sqrt{b}>0$

Suy ra: $\sqrt{a}+\sqrt{b}>0$             (1) 

Mặt khác: 

$a-b={\left(\sqrt{a}\right)}^2-{\left(\sqrt{b}\right)}^2$

$=\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)$ 

Vì $a<b$ nên $a-b<0$

$\iff \left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)<0$

Từ (1) suy ra: $\sqrt{a}-\sqrt{b}<0\Rightarrow \sqrt{a}<\sqrt{b}$

b)

$a\ge 0;b\ge 0$ và $\sqrt{a}<\sqrt{b}\Rightarrow \sqrt{b}>0$

Suy ra: $\sqrt{a}+\sqrt{b}>0$ và $\sqrt{a}-\sqrt{b}<0$

$\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)<0$ 

$\begin{array}{rl}& \Rightarrow {\left(\sqrt{a}\right)}^2-{\left(\sqrt{b}\right)}^2<0\\ & \Rightarrow a-b<0\Rightarrow a<b\end{array}$

Bài 10 trang 6 SBT Toán 9 tập 1: Cho số m dương. Chứng minh:

a) Nếu m > 1 thì $\sqrt{m}>1$

b) Nếu m < 1 thì $\sqrt{m}<1$.

Phương pháp giải:

Áp dụng kết quả bài 9 (SBT toán 9, tập 1, trang 6):

–  Nếu $a<b$  thì $\sqrt{a}<\sqrt{b}$.

 – Nếu $\sqrt{a}<\sqrt{b}$  thì $a<b$. 

Lời giải:

a)

Ta có: $m>1\Rightarrow \sqrt{m}>\sqrt{1}\Rightarrow \sqrt{m}>1$

b)

Ta có: $m<1\Rightarrow \sqrt{m}<\sqrt{1}\Rightarrow \sqrt{m}<1$.

Bài 11 trang 6 SBT Toán 9 tập 1: Cho số $m$ dương. Chứng minh :

a) Nếu $m>1$ thì $m>\sqrt{m}$;

b) Nếu $m<1$ thì $m<\sqrt{m}$. 

Phương pháp giải:

Áp dụng kết quả bài 9 (SBT toán 9, tập 1, trang 6):

+) Nếu $a<b$  thì $\sqrt{a}<\sqrt{b}.$

+) Nếu $\sqrt{a}<\sqrt{b}$  thì $a<b.$

Lời giải:

a)

Ta có: $m>1\Rightarrow \sqrt{m}>\sqrt{1}\Rightarrow \sqrt{m}>1$

Vì $m>0$ nên $\sqrt{m}>0$ 

Suy ra: $\sqrt{m}.\sqrt{m}>1.\sqrt{m}\Rightarrow m>\sqrt{m}$

 b)

Ta có: $m<1\Rightarrow \sqrt{m}<\sqrt{1}\Rightarrow \sqrt{m}<1$

Vì $m>0$ nên $\sqrt{m}>0$ 

Suy ra: $\sqrt{m}.\sqrt{m}<1.\sqrt{m}\Rightarrow m<\sqrt{m}$.

Bài tập bổ sung (trang 6 SBT Toán 9):

Bài 1.1 trang 6 SBT Toán 9 tập 1: Giá trị của $\sqrt{0,16}$ là:

(A) $0,04;$

(B) $0,4;$ 

(C) $0,04$ và $-0,04;$

(D) $0,4$ và $-0,4$. 

Hãy chọn đáp án đúng. 

Phương pháp giải:

Sử dụng định nghĩa: Căn bậc hai số học của số $a$ không âm là số $x$ không âm sao cho $x^2=a$

Hay $\sqrt{a}=x$$\iff \{\begin{array}{l}x\ge 0\\ a=x^2\end{array}$  

Lời giải:

Căn bậc hai của $0,16$ là $0,4$ và $-0,4$.

Do $0,4>0$ nên $0,4$ là căn bậc hai số học của $0,16$ hay $\sqrt{0,16}=0,4$.

Chọn (B)