Giải Toán 9 Bài 6: Biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn thức bậc hai

chính xác, chi tiết nhất giúp học sinh dễ dàng làm bài tập Liên hệ giữa phép nhân và phép khai phương 9.

Giải bài tập Toán 9 Bài 6: Biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn thức bậc hai

Trả lời câu hỏi giữa bài 

Trả lời câu hỏi 1 trang 24 SGK Toán 9 Tập 1 :Với $a\ge 0;b\ge 0$ , chứng tỏ $\sqrt{\left(a^{2}b\right)}=a\sqrt{b}$

Phương pháp giải:
Sử dụng công thức khai phương một tích: $\sqrt{A.B}=\sqrt{A}.\sqrt{B}$ với $A,B\ge 0$

Sử dụng hằng đẳng thức $\sqrt{A^2}=A$ với $A\ge 0.$

Lời giải:

$\sqrt{\left(a^{2}b\right)}=\sqrt{a^2}.\sqrt{b}=|a|\sqrt{b}=a\sqrt{b}\left(doa\ge 0,b\ge 0\right)$

Trả lời câu hỏi 2 trang 25 SGK Toán 9 Tập 1 :Rút gọn biểu thức

a) $\sqrt{2}+\sqrt{8}+\sqrt{50}$

b) $4\sqrt{3}+\sqrt{27}-\sqrt{45}+\sqrt{5}$

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức khai phương một tích: $\sqrt{A.B}=\sqrt{A}.\sqrt{B}$ với $A,B\ge 0$

Sử dụng hằng đẳng thức $\sqrt{A^2}=A$ với $A\ge 0.$

Lời giải:

a) 

$\begin{array}{rl}& \sqrt{2}+\sqrt{8}+\sqrt{50}\\ & =\sqrt{2}+\sqrt{2^2.2}+\sqrt{5^2.2}\\ & =\sqrt{2}+2\sqrt{2}+5\sqrt{2}=8\sqrt{2}\end{array}$

b) 

$\begin{array}{rl}& 4\sqrt{3}+\sqrt{27}-\sqrt{45}+\sqrt{5}\\ & =4\sqrt{3}+\sqrt{3^2.3}-\sqrt{3^2.5}+\sqrt{5}\\ & =4\sqrt{3}+3\sqrt{3}-3\sqrt{5}+\sqrt{5}\\ & =7\sqrt{3}-2\sqrt{5}\end{array}$

Trả lời câu hỏi 3 trang 25 SGK Toán 9 Tập 1:Đưa thừa số ra ngoài dấu căn:

a) $\sqrt{28a^4{b}^2}$ với $b\ge 0.$

b) $\sqrt{72a^2{b}^4}$ với $a<0$ 

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức đưa thừa số ra ngoài dấu căn:

Với $B\ge 0$ ta có $\sqrt{A^{2}B}=\left|A\right|\sqrt{B}=\{\begin{array}{l}A\sqrt{B}khiA\ge 0\\ -A\sqrt{B}khiA<0\end{array}$ 

Lời giải:

a) 

Ta có $\sqrt{28a^4{b}^2}=\sqrt{{7.2}^2.{\left(a^2\right)}^2{b}^2}$$=2a^2\left|b\right|\sqrt{7}$  

Mà $b\ge 0\Rightarrow \left|b\right|=b$ nên $\sqrt{28a^4{b}^2}=2a^{2}b\sqrt{7}$

b) 

Ta có $\sqrt{72a^2{b}^4}=\sqrt{2^2{.2.3}^2.a^2.{\left(b^2\right)}^2}$$=\mathrm{2.3.}\left|a\right|.b^2\sqrt{2}$

Mà $a<0\Rightarrow \left|a\right|=-a$ nên $\sqrt{72a^2{b}^4}=-6a{b}^2\sqrt{2}.$ 

Trả lời câu hỏi 4 trang 26 SGK Toán 9 Tập 1 :Đưa thừa số vào trong dấu căn:

a) $3\sqrt{5}$

b) $1,2\sqrt{5}$

c) $a{b}^4\sqrt{a}$ với $a\ge 0$

d) $-2a{b}^2\sqrt{5a}$ với $a\ge 0$

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức đưa thừa số vào trong dấu căn: 

Với $A\ge 0$ và $B\ge 0$ thì $A\sqrt{B}=\sqrt{A^{2}B};$

Với $A<0$ và $B\ge 0$ thì $A\sqrt{B}=-\sqrt{A^{2}B}.$ 

Lời giải:

a) $3\sqrt{5}=\sqrt{3^2.5}=\sqrt{45}$

b) $1,2\sqrt{5}=\sqrt{1,2^2.5}=\sqrt{7,2}$

c) $a{b}^4\sqrt{a}=\sqrt{{\left(a{b}^4\right)}^{2}a}$$=\sqrt{a^2{b}^{8}a}=\sqrt{a^3{b}^8}$

d) $-2a{b}^2\sqrt{5}a=-\sqrt{{\left(2a{b}^2\right)}^2.5a}$$=-\sqrt{4a^2{b}^4.5a}=-\sqrt{20a^3{b}^4}$

Bài tập ( trang 27 SGK Toán 9) 

Bài 43 trang 27 SGK Toán 9 Tập 1 :Viết các số hoặc biểu thức dấu căn thành dạng tích rồi đưa thừa số ra ngoài dấu căn:

a) $\sqrt{54}$

b) $\sqrt{108}$

c) $0,1\sqrt{20000}$

d) $-0,05\sqrt{28800}$

e) $\sqrt{7\cdot 63\cdot a^2}$

Phương pháp giải:

Với hai biểu thức $A,B$ mà $B\ge 0$, ta có $\sqrt{A^2.B}=|A|\sqrt{B}$, tức là:

           $\sqrt{A^2.B}=A\sqrt{B}$,  nếu $A\ge 0$.

           $\sqrt{A^2.B}=-A\sqrt{B}$,  nếu $A<0$.

Lời giải:

a) $\sqrt{54}=\sqrt{9.6}=\sqrt{3^2.6}=3\sqrt{6}.$

b) $\sqrt{108}=\sqrt{36.3}=\sqrt{6^2.3}=6\sqrt{3}.$

c) $0,1\sqrt{20000}=0,1\sqrt{10000.2}=0,1\sqrt{{100}^2.2}$

$=0,1.100\sqrt{2}=10\sqrt{2}$.

d) $-0,05\sqrt{28800}=-0,05.\sqrt{\mathrm{144.100.2}}$

                        $=-0,05\sqrt{{12}^2{.10}^2.2}$

                       $=-0,\mathrm{05.12.10}\sqrt{2}=-6\sqrt{2}$.

e) $\sqrt{\mathrm{7.63.}{a}^2}=\sqrt{7.(3.21).a^2}=\sqrt{(7.3).21.a^2}$

$=\sqrt{\mathrm{21.21.}{a}^2}=\sqrt{{21}^2.a^2}$

$=21|a|=\{\begin{array}{l}21akhia\ge 0\\ -21akhia<0\end{array}$.

Bài 44 trang 27 SGK Toán 9 Tập 1 :Đưa thừa số vào trong dấu căn: 

$3\sqrt{5};-5\sqrt{2};-\frac{2}{3}\sqrt{xy}$  với  $xy\ge 0;x\sqrt{\frac{2}{x}}$ với $x>0.$

Phương pháp giải:

+) Sử dụng quy tắc đưa thừa số vào trong dấu căn: 

           $A\sqrt{B}=\sqrt{A^2.B}$,  nếu $A\ge 0,B\ge 0$.

           $A\sqrt{B}=-\sqrt{A^2.B}$,  nếu $A<0,B\ge 0$.

Lời giải:
Ta có:

+)  $3\sqrt{5}=\sqrt{3^2.5}=\sqrt{9.5}=\sqrt{45}.$

+)  $-5\sqrt{2}=-\sqrt{5^2.2}=-\sqrt{25.2}=-\sqrt{50}.$

+) Với $xy>0$ thì $\sqrt{xy}$ có nghĩa nên ta có:

$-\frac{2}{3}\sqrt{xy}=-\sqrt{{\left(\frac{2}{3}\right)}^2.xy}=-\sqrt{\frac{4}{9}xy}.$

+) Với $x>0$ thì $\sqrt{\frac{2}{x}}$ có nghĩa nên ta có:

$x\sqrt{\frac{2}{x}}=\sqrt{x^2.\frac{2}{x}}=\sqrt{\frac{x^2.2}{x}}$$=\sqrt{\frac{2x.x}{x}}=\sqrt{2x}.$

Bài 45 trang 27 SGK Toán 9 Tập 1 :So sánh:

a) $3\sqrt{3}$  và $\sqrt{12}$

b) $7$ và $3\sqrt{5}$

c) $\frac{1}{3}\sqrt{51}$  và $\frac{1}{5}\sqrt{150};$

d) $\frac{1}{2}\sqrt{6}$  và $6\sqrt{\frac{1}{2}}$.

Phương pháp giải:

+ Đưa thừa số vào trong dấu căn rồi so sánh. 

+ Sử dụng quy tắc đưa thừa số vào trong dấu căn:

           $A\sqrt{B}=\sqrt{A^2.B}$,  nếu $A\ge 0,B\ge 0$.

           $A\sqrt{B}=-\sqrt{A^2.B}$,  nếu $A<0,B\ge 0$.

+) Sử dụng định lí so sánh hai căn bậc hai số học:

              $a<b\iff \sqrt{a}<\sqrt{b}$,   với $a,b\ge 0$.

Lời giải:

a) Ta có: 

$3\sqrt{3}=\sqrt{3^2.3}=\sqrt{9.3}=\sqrt{27}$.

Vì $27>12\iff \sqrt{27}>\sqrt{12}$

                   $\iff 3\sqrt{3}>\sqrt{12}$.

Vậy: $3\sqrt{3}>\sqrt{12}$. 

Cách khác:

$\sqrt{12}=\sqrt{4.3}=\sqrt{2^2.3}=2\sqrt{3}<3\sqrt{3}$

b) Ta có:

$7=\sqrt{7^2}=\sqrt{49}$.

$3\sqrt{5}=\sqrt{3^2.5}=\sqrt{9.5}=\sqrt{45}$.

Vì $49>45\iff \sqrt{49}>\sqrt{45}\iff 7>3\sqrt{5}$.

Vậy: $7>3\sqrt{5}$.

c) 

Ta có:

 $\frac{1}{3}\sqrt{51}=\sqrt{{\left(\frac{1}{3}\right)}^2.51}=\sqrt{\frac{1}{9}.51}=\sqrt{\frac{51}{9}}$

$=\sqrt{\frac{3.17}{3.3}}=\sqrt{\frac{17}{3}}$.

 $\frac{1}{5}\sqrt{150}=\sqrt{{\left(\frac{1}{5}\right)}^2.150}=\sqrt{\frac{1}{25}.150}=\sqrt{\frac{150}{25}}$ 

$=\sqrt{\frac{6.25}{25}}=\sqrt{6}=\sqrt{\frac{18}{3}}$.

Vì $\frac{17}{3}<\frac{18}{3}\iff \sqrt{\frac{17}{3}}<\sqrt{\frac{18}{3}}$

                        $\iff \frac{1}{3}\sqrt{51}<\frac{1}{5}\sqrt{150}$.

Vậy: $\frac{1}{3}\sqrt{51}<\frac{1}{5}\sqrt{150}$.

d) Ta có:

 $\frac{1}{2}\sqrt{6}=\sqrt{{\left(\frac{1}{2}\right)}^2.6}=\sqrt{\frac{1}{4}.6}=\sqrt{\frac{6}{4}}=\sqrt{\frac{2.3}{2.2}}$

$=\sqrt{\frac{3}{2}}$.

$6\sqrt{\frac{1}{2}}=\sqrt{6^2.\frac{1}{2}}=\sqrt{36.\frac{1}{2}}=\sqrt{\frac{36}{2}}$.

Vì $\frac{3}{2}<\frac{36}{2}\iff \sqrt{\frac{3}{2}}<\sqrt{\frac{36}{2}}$

                       $\iff \frac{1}{2}\sqrt{6}<6\sqrt{\frac{1}{2}}$.

Vậy: $\frac{1}{2}\sqrt{6}<6\sqrt{\frac{1}{2}}$.

Bài 46 trang 27 SGK Toán 9 Tập 1 :Rút gọn các biểu thức sau với $x\ge 0$:

a) $2\sqrt{3x}-4\sqrt{3x}+27-3\sqrt{3x}$

b) $3\sqrt{2x}-5\sqrt{8x}+7\sqrt{18x}+28$ 

Phương pháp giải:

Sử dụng quy tắc đưa thừa số ra ngoài dấu căn:

Với hai biểu thức $A,B$ mà $B\ge 0$, ta có $\sqrt{A^2.B}=|A|\sqrt{B}$, tức là:

           $\sqrt{A^2.B}=A\sqrt{B}$,  nếu $A\ge 0$.

           $\sqrt{A^2.B}=-A\sqrt{B}$,  nếu $A<0$. 

Lời giải:

Ta có: $2\sqrt{3x}-4\sqrt{3x}+27-3\sqrt{3x}$

         $=(2\sqrt{3x}-4\sqrt{3x}-3\sqrt{3x})+27$

         $=(2-4-3)\sqrt{3x}+27$

         $=-5\sqrt{3x}+27$.

b) Ta có: 

$3\sqrt{2x}-5\sqrt{8x}+7\sqrt{18x}+28$

$=3\sqrt{2x}-5\sqrt{4.2x}+7\sqrt{9.2x}+28$

$=3\sqrt{2x}-5\sqrt{2^2.2x}+7\sqrt{3^2.2x}+28$

$=3\sqrt{2x}-5.2\sqrt{2x}+7.3\sqrt{2x}+28$

$=(3\sqrt{2x}-10\sqrt{2x}+21\sqrt{2x})+28$

$=14\sqrt{2x}+28$. 

Bài 47 trang 27 SGK Toán 9 Tập 1 :Rút gọn:

a) $\frac{2}{x^2-y^2}\sqrt{\frac{3(x+y{)}^2}{2}}$ với $x\ge 0;y\ge 0$ và $x\ne y$

Phương pháp giải:

+ $\sqrt{a^2}=|a|$. 

+ Nếu $a\ge 0$  thì $|a|=a$.

   Nếu $a<0$  thì $|a|=-a$.

+ $a^2-2ab+b^2=(a-b{)}^2$

+ Sử dụng quy tắc đưa thừa số vào trong dấu căn:

           $A\sqrt{B}=\sqrt{A^2.B}$,  nếu $A\ge 0,B\ge 0$.

           $A\sqrt{B}=-\sqrt{A^2.B}$,  nếu $A<0,B\ge 0$.

Lời giải: 

Ta có: Vì $x\ge 0$ và $y\ge 0$ nên $x+y\ge 0\iff |x+y|=x+y$.

$\frac{2}{x^2-y^2}\sqrt{\frac{3(x+y{)}^2}{2}}=\frac{2}{x^2-y^2}\sqrt{\frac{3}{2}.(x+y{)}^2}$

$=\frac{2}{x^2-y^2}.\sqrt{\frac{3}{2}}.\sqrt{(x+y{)}^2}$

$=\frac{2}{x^2-y^2}.\sqrt{\frac{3}{2}}.|x+y|$

$=\frac{2}{(x+y)(x-y)}.\sqrt{\frac{3}{2}}.(x+y)$  

$=\frac{2}{x-y}.\sqrt{\frac{3}{2}}$ 

 $=\frac{1}{x-y}.2.\sqrt{\frac{3}{2}}$  

 $=\frac{1}{x-y}.\sqrt{\frac{2^2.3}{2}}$  

$=\frac{1}{x-y}.\sqrt{6}$  $=\frac{\sqrt{6}}{x-y}$

b)

Ta có:

$\frac{2}{2a-1}\sqrt{5a^2(1-4a+4a^2)}$

$=\frac{2}{2a-1}\sqrt{5a^2(1-2.2a+2^2{a}^2)}$

$=\frac{2}{2a-1}\sqrt{5a^2[1^2-\mathrm{2.1.2}a+(2a{)}^2]}$

$=\frac{2}{2a-1}\sqrt{5a^2(1-2a{)}^2}$

$=\frac{2}{2a-1}\sqrt{5}.\sqrt{a^2}.\sqrt{(1-2a{)}^2}$

$=\frac{2}{2a-1}\sqrt{5}.|a|.|1-2a|$

Vì $a>0,5$ nên $a>0\iff |a|=a$.

Vì $a>0,5\iff 2a>2.0,5\iff 2a>1$ hay $1<2a$

$\iff 1-2a<0\iff |1-2a|=-(1-2a)$

$=-1+2a=2a-1$

Thay vào trên, ta được: 

$\frac{2}{2a-1}\sqrt{5}.|a|.|1-2a|=\frac{2}{2a-1}\sqrt{5}.a.(2a-1)$$=2a\sqrt{5}$.

Vậy $\frac{2}{2a-1}\sqrt{5a^2(1-4a+4a^2)}=2a\sqrt{5}$.

Lý thuyết Bài 6: Biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn thức bậc hai

1. Đưa thừa số ra ngoài dấu căn

Với hai biểu thức A, B mà $B\ge 0$, ta có $\sqrt{A^{2}B}=\left|A\right|\sqrt{B;}$ tức là:

Nếu $A\ge 0$ và $B\ge 0$ thì $\sqrt{A^{2}B}=A\sqrt{B}$;

Nếu $A<0$ và $B\ge 0$ thì $\sqrt{A^{2}B}=-A\sqrt{B}$.

Ví dụ: Với $x\ge 0$ ta có: $\sqrt{48x^2}=\sqrt{3.16x^2}$$=\sqrt{{\left(4x\right)}^2.3}=4x\sqrt{3}$ 

2. Đưa thừa số vào trong dấu căn

Với $A\ge 0$ và $B\ge 0$ thì $A\sqrt{B}=\sqrt{A^{2}B};$

Với $A<0$ và $B\ge 0$ thì $A\sqrt{B}=-\sqrt{A^{2}B}.$

Ví dụ: Với $x<0$ ta có: $x\sqrt{3}=-\sqrt{3x^2}$