SBT Toán 9 Bài 4: Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số | Giải SBT Toán lớp 9

Giải SBT Toán 9 Bài 4: Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số

Bài 25 trang 11 SBT Toán 9 tập 2: Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp cộng đại số:

a) ${\begin{matrix} 2 x - 11 y = - 7 \\ 10 x + 11 y = 31 \end{matrix}$

b) ${\begin{matrix} 4 x + 7 y = 16 \\ 4 x - 3 y = - 24 \end{matrix}$

c) ${\begin{matrix} 0, 35 x + 4 y = - 2, 6 \\ 0, 75 x - 6 y = 9 \end{matrix}$

d) ${\begin{cases} \sqrt{2} x + 2 \sqrt{3} y = 5 \\ 3 \sqrt{2} x - \sqrt{3} y = \frac{9}{2} \end{cases}$

e) ${\begin{matrix} 10 x - 9 y = 8 \\ 15 x + 21 y = 0, 5 \end{matrix}$

f) ${\begin{matrix} 3, 3 x + 4, 2 y = 1 \\ 9 x + 14 y = 4 \end{matrix}$

Phương pháp giải:

Sử dụng:

– Cách giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số:

+ Bước 1: Nhân hai vế của mỗi phương trình với một số thích hợp (nếu cần) sao cho các hệ số của một ẩn nào đó trong hai phương trình của hệ bằng nhau hoặc đối nhau.

+ Bước 2: Sử dụng quy tắc cộng đại số để được hệ phương trình mới, trong đó có một phương trình mà hệ số của một trong hai ẩn bằng 0 (tức là phương trình một ẩn).

+ Bước 3: Giải phương trình một ẩn vừa thu được rồi suy ra nghiệm của hệ đã cho.

Lời giải:

$\begin{aligned} {\begin{matrix} 2 x - 11 y = - 7 \\ 10 x + 11 y = 31 \end{matrix} \\ \Leftrightarrow {\begin{matrix} 12 x = 24 \\ 2 x - 11 y = - 7 \end{matrix} \\ \Leftrightarrow {\begin{matrix} x = 2 \\ 2.2 - 11 y = - 7 \end{matrix} \\ \Leftrightarrow {\begin{matrix} x = 2 \\ - 11 y = - 11 \end{matrix} \\ \Leftrightarrow {\begin{matrix} x = 2 \\ y = 1 \end{matrix} \end{aligned}$

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là $(x; y) = (2; 1)$

$\begin{aligned} {\begin{matrix} 4 x + 7 y = 16 \\ 4 x - 3 y = - 24 \end{matrix} \\ \Leftrightarrow {\begin{matrix} 10 y = 40 \\ 4 x - 3 y = - 24 \end{matrix} \\ \Leftrightarrow {\begin{matrix} y = 4 \\ 4 x - 3.4 = - 24 \end{matrix} \\ \Leftrightarrow {\begin{matrix} y = 4 \\ 4 x = - 12 \end{matrix} \\ \Leftrightarrow {\begin{matrix} y = 4 \\ x = - 3 \end{matrix} \end{aligned}$

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là $(x; y) = (- 3; 4)$

$\begin{aligned} {\begin{matrix} 0, 35 x + 4 y = - 2, 6 \\ 0, 75 x - 6 y = 9 \end{matrix} \\ \Leftrightarrow {\begin{matrix} 1, 05 x + 12 y = - 7, 8 \\ 1, 5 x - 12 y = 18 \end{matrix} \\ \Leftrightarrow {\begin{matrix} 2, 55 x = 10, 2 \\ 0, 75 x - 6 y = 9 \end{matrix} \\ \Leftrightarrow {\begin{matrix} x = 4 \\ 0, 75.4 - 6 y = 9 \end{matrix} \\ \Leftrightarrow {\begin{matrix} x = 4 \\ - 6 y = 6 \end{matrix} \Leftrightarrow {\begin{matrix} x = 4 \\ y = - 1 \end{matrix} \end{aligned}$

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là $(x; y) = (4; - 1)$

$\begin{aligned} {\begin{matrix} \sqrt{2} x + 2 \sqrt{3} y = 5 \\ 3 \sqrt{2} x - \sqrt{3} y = \frac{9}{2} \end{matrix} \\ \Leftrightarrow {\begin{matrix} \sqrt{2} x + 2 \sqrt{3} y = 5 \\ 6 \sqrt{2} x - 2 \sqrt{3} y = 9 \end{matrix} \\ \Leftrightarrow {\begin{matrix} 7 \sqrt{2} x = 14 \\ \sqrt{2} x + 2 \sqrt{3} y = 5 \end{matrix} \\ \Leftrightarrow {\begin{matrix} x = \frac{14}{7 \sqrt{2}} \\ \sqrt{2} x + 2 \sqrt{3} y = 5 \end{matrix} \\ \Leftrightarrow {\begin{matrix} x = \sqrt{2} \\ \sqrt{2} . \sqrt{2} + 2 \sqrt{3} y = 5 \end{matrix} \\ \Leftrightarrow {\begin{matrix} x = \sqrt{2} \\ 2 \sqrt{3} y = 3 \end{matrix} \\ \Leftrightarrow {\begin{matrix} x = \sqrt{2} \\ y = \frac{\sqrt{3}}{2} \end{matrix} \end{aligned}$

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là $(x; y) = (\sqrt{2}; \frac{\sqrt{3}}{2})$

$\begin{aligned} {\begin{matrix} 10 x - 9 y = 8 \\ 15 x + 21 y = 0, 5 \end{matrix} \\ \Leftrightarrow {\begin{matrix} 30 x - 27 y = 24 \\ 30 x + 42 y = 1 \end{matrix} \\ \Leftrightarrow {\begin{matrix} 69 y = - 23 \\ 10 x - 9 y = 8 \end{matrix} \\ \Leftrightarrow {\begin{matrix} y = - \frac{1}{3} \\ 10 x - 9. (- \frac{1}{3}) = 8 \end{matrix} \\ \Leftrightarrow {\begin{matrix} y = - \frac{1}{3} \\ 10 x = 5 \end{matrix} \Leftrightarrow {\begin{matrix} y = - \frac{1}{3} \\ x = \frac{1}{2} \end{matrix} \end{aligned}$

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là $(x; y) = (\frac{1}{2}; - \frac{1}{3})$

$\begin{aligned} {\begin{matrix} 3, 3 x + 4, 2 y = 1 \\ 9 x + 14 y = 4 \end{matrix} \\ \Leftrightarrow {\begin{matrix} 33 x + 42 y = 10 \\ 27 x + 42 y = 12 \end{matrix} \\ \Leftrightarrow {\begin{matrix} 6 x = - 2 \\ 9 x + 14 y = 4 \end{matrix} \\ \Leftrightarrow {\begin{matrix} x = - \frac{1}{3} \\ 9. (- \frac{1}{3}) + 14 y = 4 \end{matrix} \\ \Leftrightarrow {\begin{matrix} x = - \frac{1}{3} \\ 14 y = 7 \end{matrix} \Leftrightarrow {\begin{matrix} x = - \frac{1}{3} \\ y = \frac{1}{2} \end{matrix} \end{aligned}$

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là $(x; y) = (- \frac{1}{3}; \frac{1}{2})$

Bài 26 trang 11 SBT Toán 9 tập 2: Giải các hệ phương trình sau:

a) ${\begin{matrix} 8 x - 7 y = 5 \\ 12 x + 13 y = - 8 \end{matrix}$

b) ${\begin{matrix} 3 \sqrt{5} x - 4 y = 15 - 2 \sqrt{7} \\ - 2 \sqrt{5} x + 8 \sqrt{7} y = 18 \end{matrix}$

Phương pháp giải:

Sử dụng:

– Cách giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số:

+ Bước 3: Giải phương trình một ẩn vừa thu được rồi suy ra nghiệm của hệ đã cho.

Lời giải:

$\begin{aligned} {\begin{matrix} 8 x - 7 y = 5 \\ 12 x + 13 y = - 8 \end{matrix} \\ \Leftrightarrow {\begin{matrix} 24 x - 21 y = 15 \\ 24 x + 26 y = - 16 \end{matrix} \\ \Leftrightarrow {\begin{matrix} 47 y = - 31 \\ 8 x - 7 y = 5 \end{matrix} \\ \Leftrightarrow {\begin{matrix} y = - \frac{31}{47} \\ 8 x - 7. (- \frac{31}{47}) = 5 \end{matrix} \\ \Leftrightarrow {\begin{matrix} y = - \frac{31}{47} \\ 8 x = 5 - \frac{217}{47} \end{matrix} \\ \Leftrightarrow {\begin{matrix} y = - \frac{31}{47} \\ x = \frac{9}{188} \end{matrix} \end{aligned}$

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là $(x; y) = (\frac{9}{188}; - \frac{31}{47})$

$\begin{aligned} {\begin{matrix} 3 \sqrt{5} x - 4 y = 15 - 2 \sqrt{7} \\ - 2 \sqrt{5} x + 8 \sqrt{7} y = 18 \end{matrix} \\ \Leftrightarrow {\begin{matrix} 6 \sqrt{5} x - 8 y = 30 - 4 \sqrt{7} \\ - 6 \sqrt{5} x + 24 \sqrt{7} y = 54 \end{matrix} \\ \Leftrightarrow {\begin{matrix} (24 \sqrt{7} - 8) y = 84 - 4 \sqrt{7} \\ - 2 \sqrt{5} x + 8 \sqrt{7} y = 18 \end{matrix} \\ \Leftrightarrow {\begin{matrix} y = \frac{4 (21 - \sqrt{7})}{8 (3 \sqrt{7} - 1)} \\ - 2 \sqrt{5} x + 8 \sqrt{7} y = 18 \end{matrix} \\ \Leftrightarrow {\begin{matrix} y = \frac{(21 - \sqrt{7}) (3 \sqrt{7} + 1)}{2. (9.7 - 1)} \\ - 2 \sqrt{5} x + 8 \sqrt{7} y = 18 \end{matrix} \\ \Leftrightarrow {\begin{matrix} y = \frac{62 \sqrt{7}}{2.62} \\ - 2 \sqrt{5} x + 8 \sqrt{7} y = 18 \end{matrix} \\ \Leftrightarrow {\begin{matrix} y = \frac{\sqrt{7}}{2} \\ - 2 \sqrt{5} x + 8 \sqrt{7} . \frac{\sqrt{7}}{2} = 18 \end{matrix} \\ \Leftrightarrow {\begin{matrix} y = \frac{\sqrt{7}}{2} \\ - 2 \sqrt{5} x = - 10 \end{matrix} \\ \Leftrightarrow {\begin{matrix} y = \frac{\sqrt{7}}{2} \\ x = \frac{10}{2 \sqrt{5}} \end{matrix} \\ \Leftrightarrow {\begin{matrix} y = \frac{\sqrt{7}}{2} \\ x = \sqrt{5} \end{matrix} \end{aligned}$

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là $(x; y) = (\sqrt{5}; \frac{\sqrt{7}}{2})$

Bài 27 trang 11 SBT Toán 9 tập 2: Giải các hệ phương trình:

a) ${\begin{matrix} 5 (x + 2 y) = 3 x - 1 \\ 2 x + 4 = 3 (x - 5 y) - 12 \end{matrix}$

b) ${\begin{matrix} 4 x^{2} - 5 (y + 1) = {(2 x - 3)}^{2} \\ 3 (7 x + 2) = 5 (2 y - 1) - 3 x \end{matrix}$

c) ${\begin{matrix} \frac{2 x + 1}{4} - \frac{y - 2}{3} = \frac{1}{12} \\ \frac{x + 5}{2} = \frac{y + 7}{3} - 4 \end{matrix}$

d) ${\begin{matrix} \frac{3 s - 2 t}{5} + \frac{5 s - 3 t}{3} = s + 1 \\ \frac{2 s - 3 t}{3} + \frac{4 s - 3 t}{2} = t + 1 \end{matrix}$

Phương pháp giải:

Sử dụng:

– Biến đổi hệ phương trình đã cho về hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn.

– Cách giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số:

+ Bước 3: Giải phương trình một ẩn vừa thu được rồi suy ra nghiệm của hệ đã cho.

Lời giải:

$\begin{aligned} {\begin{matrix} 5 (x + 2 y) = 3 x - 1 \\ 2 x + 4 = 3 (x - 5 y) - 12 \end{matrix} \\ \Leftrightarrow {\begin{matrix} 5 x + 10 y = 3 x - 1 \\ 2 x + 4 = 3 x - 15 y - 12 \end{matrix} \\ \Leftrightarrow {\begin{matrix} 2 x + 10 y = - 1 \\ x - 15 y = 16 \end{matrix} \\ \Leftrightarrow {\begin{matrix} 2 x + 10 y = - 1 \\ 2 x - 30 y = 32 \end{matrix} \\ \Leftrightarrow {\begin{matrix} 40 y = - 33 \\ x - 15 y = 16 \end{matrix} \\ \Leftrightarrow {\begin{matrix} y = - \frac{33}{40} \\ x - 15. (- \frac{33}{40}) = 16 \end{matrix} \\ \Leftrightarrow {\begin{matrix} y = - \frac{33}{40} \\ x = 16 - \frac{99}{8} \end{matrix} \\ \Leftrightarrow {\begin{matrix} y = - \frac{33}{40} \\ x = \frac{29}{8} \end{matrix} \end{aligned}$

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là $(x; y) = (\frac{29}{8}; - \frac{33}{40})$

$\begin{aligned} {\begin{matrix} 4 x^{2} - 5 (y + 1) = {(2 x - 3)}^{2} \\ 3 (7 x + 2) = 5 (2 y - 1) - 3 x \end{matrix} \\ \Leftrightarrow {\begin{matrix} 4 x^{2} - 5 y - 5 = 4 x^{2} - 12 x + 9 \\ 21 x + 6 = 10 y - 5 - 3 x \end{matrix} \\ \Leftrightarrow {\begin{matrix} 12 x - 5 y = 14 \\ 24 x - 10 y = - 11 \end{matrix} \\ \Leftrightarrow {\begin{matrix} 24 x - 10 y = 28 \\ 24 x - 10 y = - 11 \end{matrix} \\ \Leftrightarrow {\begin{matrix} 0 x + 0 y = 39 \\ 24 x - 10 y = - 11 \end{matrix} \end{aligned}$

Phương trình $0 x + 0 y = 39$ vô nghiệm.

Vậy hệ phương trình đã cho vô nghiệm.

$\begin{aligned} {\begin{matrix} \frac{2 x + 1}{4} - \frac{y - 2}{3} = \frac{1}{12} \\ \frac{x + 5}{2} = \frac{y + 7}{3} - 4 \end{matrix} \\ \Leftrightarrow {\begin{matrix} 3 (2 x + 1) - 4 (y - 2) = 1 \\ 3 (x + 5) = 2 (y + 7) - 24 \end{matrix} \\ \Leftrightarrow {\begin{matrix} 6 x + 3 - 4 y + 8 = 1 \\ 3 x + 15 = 2 y + 14 - 24 \end{matrix} \\ \Leftrightarrow {\begin{matrix} 6 x - 4 y = - 10 \\ 3 x - 2 y = - 25 \end{matrix} \\ \Leftrightarrow {\begin{matrix} 3 x - 2 y = - 5 \\ 3 x - 2 y = - 25 \end{matrix} \\ \Leftrightarrow {\begin{matrix} 0 x + 0 y = 20 \\ 3 x - 2 y = - 25 \end{matrix} \end{aligned}$

Phương trình $0 x + 0 y = 20$ vô nghiệm

Vậy hệ phương trình đã cho vô nghiệm

$\begin{aligned} {\begin{matrix} \frac{3 s - 2 t}{5} + \frac{5 s - 3 t}{3} = s + 1 \\ \frac{2 s - 3 t}{3} + \frac{4 s - 3 t}{2} = t + 1 \end{matrix} \\ \Leftrightarrow {\begin{matrix} 3 (3 s - 2 t) + 5 (5 s - 3 t) = 15 s + 15 \\ 2 (2 s - 3 t) + 3 (4 s - 3 t) = 6 t + 6 \end{matrix} \\ \Leftrightarrow {\begin{matrix} 9 s - 6 t + 25 s - 15 t = 15 s + 15 \\ 4 s - 6 t + 12 s - 9 t = 6 t + 6 \end{matrix} \\ \Leftrightarrow {\begin{matrix} 19 s - 21 t = 15 \\ 16 s - 21 t = 6 \end{matrix} \\ \Leftrightarrow {\begin{matrix} 3 s = 9 \\ 16 s - 21 t = 6 \end{matrix} \\ \Leftrightarrow {\begin{matrix} s = 3 \\ 16.3 - 21 t = 6 \end{matrix} \\ \Leftrightarrow {\begin{matrix} s = 3 \\ 21 t = 48 - 6 \end{matrix} \Leftrightarrow {\begin{matrix} s = 3 \\ t = 2 \end{matrix} \end{aligned}$

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là $(s; t) = (3; 2) .$

Bài 28 trang 11 SBT Toán 9 tập 2: Tìm hai số $a$ và $b$ sao cho $5 a - 4 b = - 5$ và đường thẳng $a x + b y = - 1$ đi qua điểm $A (- 7; 4) .$
Phương pháp giải:

Sử dụng:

– Đường thẳng $a x + b y = c$ đi qua điểm $M (x_{0}; y_{0})$ $\Leftrightarrow a x_{0} + b y_{0} = c$ .

– Cách giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số:

+ Bước 3: Giải phương trình một ẩn vừa thu được rồi suy ra nghiệm của hệ đã cho.

Lời giải:

Vì đường thẳng $a x + b y = - 1$ đi qua điểm $A (- 7; 4)$ nên $- 7 a + 4 b = - 1.$

Theo bài ra ta có hệ phương trình:

$\begin{aligned} {\begin{matrix} - 7 a + 4 b = - 1 \\ 5 a - 4 b = - 5 \end{matrix} \\ \Leftrightarrow {\begin{matrix} - 2 a = - 6 \\ 5 a - 4 b = - 5 \end{matrix} \\ \Leftrightarrow {\begin{matrix} a = 3 \\ 5.3 - 4 b = - 5 \end{matrix} \\ \Leftrightarrow {\begin{matrix} a = 3 \\ - 4 b = - 20 \end{matrix} \\ \Leftrightarrow {\begin{matrix} a = 3 \\ b = 5 \end{matrix} \end{aligned}$

Vậy $a = 3; b = 5.$

Bài 29 trang 11 SBT Toán 9 tập 2: Tìm giá trị của $a$ và $b$ để đường thẳng $a x - b y = 4$ đi qua hai điểm $A (4; 3); B (- 6; - 7) .$
Phương pháp giải:

Sử dụng:

– Đường thẳng $a x + b y = c$ đi qua điểm $M (x_{0}; y_{0})$ $\Leftrightarrow a x_{0} + b y_{0} = c$ .

– Cách giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số:

+ Bước 3: Giải phương trình một ẩn vừa thu được rồi suy ra nghiệm của hệ đã cho.

Lời giải:

Vì đường thẳng $a x - b y = 4$ đi qua $A (4; 3)$ nên $4 a - 3 b = 4$

Vì đường thẳng $a x - b y = 4$ đi qua $B (- 6; - 7)$ nên $- 6 a + 7 b = 4$

Khi đó $a$ và $b$ là nghiệm của hệ phương trình:

$\begin{aligned} {\begin{matrix} 4 a - 3 b = 4 \\ - 6 a + 7 b = 4 \end{matrix} \\ \Leftrightarrow {\begin{matrix} 12 a - 9 b = 12 \\ - 12 a + 14 b = 8 \end{matrix} \\ \Leftrightarrow {\begin{matrix} 5 b = 20 \\ 4 a - 3 b = 4 \end{matrix} \\ \Leftrightarrow {\begin{matrix} b = 4 \\ 4 a - 3.4 = 4 \end{matrix} \\ \Leftrightarrow {\begin{matrix} b = 4 \\ 4 a = 16 \end{matrix} \\ \Leftrightarrow {\begin{matrix} b = 4 \\ a = 4 \end{matrix} \end{aligned}$

Vậy $a = 4; b = 4.$

Bài 30 trang 11 SBT Toán 9 tập 2: Giải các hệ phương trình sau theo hai cách (cách thứ nhất: đưa hệ phương trình về dạng

${\begin{matrix} a x + b y = c \\ a^{'} x + b^{'} y = c^{'} \end{matrix}$ ;

cách thứ hai: đặt ẩn phụ, chẳng hạn $3 x - 2 = s, 3 y + 2 = t)$

a) ${\begin{matrix} 2 (3 x - 2) - 4 = 5 (3 y + 2) \\ 4 (3 x - 2) + 7 (3 y + 2) = - 2 \end{matrix}$

b) ${\begin{matrix} 3 (x + y) + 5 (x - y) = 12 \\ - 5 (x + y) + 2 (x - y) = 11 \end{matrix}$

Phương pháp giải:

Sử dụng:

– Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số

– Cách giải hệ phương trình bằng phương pháp đặt ẩn số phụ

+Bước 1: Đặt điều kiện để hệ có nghĩa (nếu cần)

+Bước 2: Đặt ẩn phụ và điều kiện của ẩn phụ

+Bước 3: Giải hệ theo các ẩn phụ đã đặt (sử dụng phương pháp cộng đại số)

+Bước 4: Trở lại ẩn ban đầu để tìm nghiệm của hệ.

Lời giải:

Cách $1$ :

$\begin{aligned} {\begin{matrix} 2 (3 x - 2) - 4 = 5 (3 y + 2) \\ 4 (3 x - 2) + 7 (3 y + 2) = - 2 \end{matrix} \\ \Leftrightarrow {\begin{matrix} 6 x - 4 - 4 = 15 y + 10 \\ 12 x - 8 + 21 y + 14 = - 2 \end{matrix} \\ \Leftrightarrow {\begin{matrix} 6 x - 15 y = 18 \\ 12 x + 21 y = - 8 \end{matrix} \\ \Leftrightarrow {\begin{matrix} 12 x - 30 y = 36 \\ 12 x + 21 y = - 8 \end{matrix} \\ \Leftrightarrow {\begin{matrix} 6 x - 15 y = 18 \\ 51 y = - 44 \end{matrix} \\ \Leftrightarrow {\begin{matrix} 2 x - 5 y = 6 \\ y = - \frac{44}{51} \end{matrix} \\ \Leftrightarrow {\begin{matrix} 2 x = 6 + 5 y \\ y = - \frac{44}{51} \end{matrix} \\ \Leftrightarrow {\begin{matrix} 2 x = 6 - \frac{220}{51} \\ y = - \frac{44}{51} \end{matrix} \\ \Leftrightarrow {\begin{matrix} 2 x = \frac{86}{51} \\ y = - \frac{44}{51} \end{matrix} \\ \Leftrightarrow {\begin{matrix} x = \frac{43}{51} \\ y = - \frac{44}{51} \end{matrix} \end{aligned}$

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là $(x; y) = (\frac{43}{51}; - \frac{44}{51})$

Cách $2$ : Đặt $3 x - 2 = s, 3 y + 2 = t$

Khi đó hệ phương trình đã cho trở thành:

$\begin{aligned} {\begin{matrix} 2 s - 4 = 5 t \\ 4 s + 7 t = - 2 \end{matrix} \\ \Leftrightarrow {\begin{matrix} 2 s - 5 t = 4 \\ 4 s + 7 t = - 2 \end{matrix} \\ \Leftrightarrow {\begin{matrix} 4 s - 10 t = 8 \\ 4 s + 7 t = - 2 \end{matrix} \\ \Leftrightarrow {\begin{matrix} 17 t = - 10 \\ 2 s - 5 t = 4 \end{matrix} \\ \Leftrightarrow {\begin{matrix} t = - \frac{10}{17} \\ 2 s - 5 t = 4 \end{matrix} \\ \Leftrightarrow {\begin{matrix} t = - \frac{10}{17} \\ 2 s - 5. (- \frac{10}{17}) = 4 \end{matrix} \\ \Leftrightarrow {\begin{matrix} t = - \frac{10}{17} \\ 2 s = 4 - \frac{50}{17} \end{matrix} \\ \Leftrightarrow {\begin{matrix} t = - \frac{10}{17} \\ s = \frac{9}{17} \end{matrix} \end{aligned}$

Suy ra:

$\begin{aligned} {\begin{matrix} 3 x - 2 = \frac{9}{17} \\ 3 y + 2 = - \frac{10}{17} \end{matrix} \\ \Leftrightarrow {\begin{matrix} 3 x = 2 + \frac{9}{17} \\ 3 y = - \frac{10}{17} - 2 \end{matrix} \\ \Leftrightarrow {\begin{matrix} 3 x = \frac{43}{17} \\ 3 y = - \frac{44}{17} \end{matrix} \\ \Leftrightarrow {\begin{matrix} x = \frac{43}{51} \\ y = - \frac{44}{51} \end{matrix} \end{aligned}$

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là $(x; y) = (\frac{43}{51}; - \frac{44}{51})$

Cách $1$ :

$\begin{aligned} {\begin{matrix} 3 (x + y) + 5 (x - y) = 12 \\ - 5 (x + y) + 2 (x - y) = 11 \end{matrix} \\ \Leftrightarrow {\begin{matrix} 3 x + 3 y + 5 x - 5 y = 12 \\ - 5 x - 5 y + 2 x - 2 y = 11 \end{matrix} \\ \Leftrightarrow {\begin{matrix} 8 x - 2 y = 12 \\ - 3 x - 7 y = 11 \end{matrix} \\ \Leftrightarrow {\begin{matrix} 4 x - y = 6 \\ 3 x + 7 y = - 11 \end{matrix} \\ \Leftrightarrow {\begin{matrix} 12 x - 3 y = 18 \\ 12 x + 28 y = - 44 \end{matrix} \\ \Leftrightarrow {\begin{matrix} 31 y = - 62 \\ 4 x - y = 6 \end{matrix} \\ \Leftrightarrow {\begin{matrix} y = - 2 \\ 4 x + 2 = 6 \end{matrix} \\ \Leftrightarrow {\begin{matrix} y = - 2 \\ x = 1 \end{matrix} \end{aligned}$

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là $(x; y) = (1; - 2) .$

Cách $2$ : Đặt $x + y = s; x - y = t$

Khi đó hệ phương trình đã cho trở thành:

$\begin{aligned} {\begin{matrix} 3 s + 5 t = 12 \\ - 5 s + 2 t = 11 \end{matrix} \\ \Leftrightarrow {\begin{matrix} 15 s + 25 t = 60 \\ - 15 s + 6 t = 33 \end{matrix} \\ \Leftrightarrow {\begin{matrix} 31 t = 93 \\ - 5 s + 2 t = 11 \end{matrix} \\ \Leftrightarrow {\begin{matrix} t = 3 \\ - 5 s + 2.3 = 11 \end{matrix} \\ \Leftrightarrow {\begin{matrix} t = 3 \\ s = - 1 \end{matrix} \end{aligned}$

Suy ra:

$\begin{aligned} {\begin{matrix} x + y = - 1 \\ x - y = 3 \end{matrix} \Leftrightarrow {\begin{matrix} 2 x = 2 \\ x - y = 3 \end{matrix} \\ \Leftrightarrow {\begin{matrix} x = 1 \\ 1 - y = 3 \end{matrix} \Leftrightarrow {\begin{matrix} x = 1 \\ y = - 2 \end{matrix} \end{aligned}$

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là $(x; y) = (1; - 2) .$

Bài 31 trang 12 SBT Toán 9 tập 2: Tìm giá trị của $m$ để nghiệm của hệ phương trình

${\begin{matrix} \frac{x + 1}{3} - \frac{y + 2}{4} = \frac{2 (x - y)}{5} \\ \frac{x - 3}{4} - \frac{y - 3}{3} = 2 y - x \end{matrix}$

cũng là nghiệm của phương trình $3 m x - 5 y = 2 m + 1.$

Phương pháp giải:

Sử dụng:

– Biến đổi hệ phương trình đã cho về hệ phương trình bậc nhất hai ẩn và giải hệ bằng phương pháp cộng đại số.

– Thay nghiệm của hệ phương trình vừa tìm được vào phương trình chứa tham số $m$ để tìm $m$ .

Lời giải:

Giải hệ phương trình:

$\begin{aligned} (I) {\begin{matrix} \frac{x + 1}{3} - \frac{y + 2}{4} = \frac{2 (x - y)}{5} \\ \frac{x - 3}{4} - \frac{y - 3}{3} = 2 y - x \end{matrix} \\ \Leftrightarrow {\begin{matrix} 20 (x + 1) - 15 (y + 2) = 12 [2 (x - y)] \\ 3 (x - 3) - 4 (y - 3) = 12 (2 y - x) \end{matrix} \\ \Leftrightarrow {\begin{matrix} 20 x + 20 - 15 y - 30 = 24 x - 24 y \\ 3 x - 9 - 4 y + 12 = 24 y - 12 x \end{matrix} \\ \Leftrightarrow {\begin{matrix} 4 x - 9 y = - 10 \\ 15 x - 28 y = - 3 \end{matrix} \\ \Leftrightarrow {\begin{matrix} 60 x - 135 y = - 150 \\ 60 x - 112 y = - 12 \end{matrix} \\ \Leftrightarrow {\begin{matrix} - 23 y = - 138 \\ 4 x - 9 y = - 10 \end{matrix} \\ \Leftrightarrow {\begin{matrix} y = 6 \\ 4 x - 9.6 = - 10 \end{matrix} \\ \Leftrightarrow {\begin{matrix} y = 6 \\ 4 x = 44 \end{matrix} \Leftrightarrow {\begin{matrix} y = 6 \\ x = 11 \end{matrix} \end{aligned}$

Để $(x; y) = (11; 6)$ là nghiệm của phương trình $3 m x - 5 y = 2 m + 1$ ta thay $x = 11; y = 6$ vào phương trình trên ta được:

$33 m - 30 = 2 m + 1$ $\Leftrightarrow 31 m = 31 \Leftrightarrow m = 1$

Vậy với $m = 1$ thì nghiệm của hệ $(I)$ cũng là nghiệm của phương trình: $3 m x - 5 y = 2 m + 1.$

Bài 32 trang 12 SBT Toán 9 tập 2: Tìm giá trị của $m$ để đường thẳng $(d)$ : $y = (2 m - 5) x - 5 m$ đi qua giao điểm của hai đường thẳng $(d_{1}) : 2 x + 3 y = 7$ và $(d_{2}) : 3 x + 2 y = 13$
Phương pháp giải:

Sử dụng:

– Hai đường thẳng $(d_{1})$ : $a x + b y = c$ và $(d_{2})$ : $a^{'} x + b^{'} y = c^{'}$ cắt nhau tại điểm $M$ thì tọa độ của $M$ là nghiệm của hệ phương trình: ${\begin{matrix} a x + b y = c \\ a^{'} x + b^{'} y = c^{'} \end{matrix}$

– Cách giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số:

+ Bước 3: Giải phương trình một ẩn vừa thu được rồi suy ra nghiệm của hệ đã cho.

– Đường thẳng $a x + b y = c$ đi qua điểm $M (x_{0}; y_{0})$ $\Leftrightarrow a x_{0} + b y_{0} = c$ .

Lời giải:

Tọa độ giao điểm $M$ của $(d_{1})$ và $(d_{2})$ là nghiệm của hệ phương trình:

$\begin{aligned} {\begin{matrix} 2 x + 3 y = 7 \\ 3 x + 2 y = 13 \end{matrix} \Leftrightarrow {\begin{matrix} 4 x + 6 y = 14 \\ 9 x + 6 y = 39 \end{matrix} \\ \Leftrightarrow {\begin{matrix} 5 x = 25 \\ 3 x + 2 y = 13 \end{matrix} \\ \Leftrightarrow {\begin{matrix} x = 5 \\ 3.5 + 2 y = 13 \end{matrix} \\ \Leftrightarrow {\begin{matrix} x = 5 \\ 2 y = - 2 \end{matrix} \\ \Leftrightarrow {\begin{matrix} x = 5 \\ y = - 1 \end{matrix} \end{aligned}$

Do đó $M (5; - 1) .$

Vì đường thẳng $(d) : y = (2 m - 5) x - 5 m$ đi qua $M (5; - 1)$ nên

$\begin{aligned} - 1 = (2 m - 5) .5 - 5 m \\ \Leftrightarrow - 1 = 10 m - 25 - 5 m \\ \Leftrightarrow 5 m = 24 \Leftrightarrow m = 4, 8 \end{aligned}$

Vậy với $m = 4, 8$ thì đường thẳng $(d)$ đi qua giao điểm của $(d_{1})$ và $(d_{2})$ .

Bài 33 trang 12 SBT Toán 9 tập 2: Tìm giá trị của $m$ để ba đường thẳng sau đồng quy:

$\begin{aligned} (d_{1}) : 5 x + 11 y = 8 \\ (d_{2}) : 10 x - 7 y = 74 \\ (d_{3}) : 4 m x + (2 m - 1) y = m + 2 \end{aligned}$

Phương pháp giải:

Sử dụng:

– Tìm tọa độ giao điểm $A$ của $(d_{1})$ và $(d_{2})$

– Để ba đường thẳng $(d_{1}), (d_{2}), (d_{3})$ đồng quy thì đường thẳng $(d_{3})$ phải đi qua giao điểm $A$ của $(d_{1})$ và $(d_{2})$ .

– Đường thẳng $a x + b y = c$ đi qua điểm $A (x_{0}; y_{0})$ $\Leftrightarrow a x_{0} + b y_{0} = c .$

Lời giải:

Tọa độ giao điểm $A$ của $(d_{1})$ và $(d_{2})$ là nghiệm của hệ phương trình:

$\begin{aligned} {\begin{matrix} 5 x + 11 y = 8 \\ 10 x - 7 y = 74 \end{matrix} \\ \Leftrightarrow {\begin{matrix} 10 x + 22 y = 16 \\ 10 x - 7 y = 74 \end{matrix} \\ \Leftrightarrow {\begin{matrix} 29 y = - 58 \\ 5 x + 11 y = 8 \end{matrix} \\ \Leftrightarrow {\begin{matrix} y = - 2 \\ 5 x + 11. (- 2) = 8 \end{matrix} \\ \Leftrightarrow {\begin{matrix} y = - 2 \\ 5 x = 30 \end{matrix} \Leftrightarrow {\begin{matrix} y = - 2 \\ x = 6 \end{matrix} \end{aligned}$

Do đó $A (6; - 2)$

Để ba đường thẳng $(d_{1}), (d_{2}), (d_{3})$ đồng quy thì đường thẳng $(d_{3})$ phải đi qua giao điểm $A (6; - 2)$ của $(d_{1})$ và $(d_{2})$ .

Khi đó ta thay $x = 6; y = - 2$ vào phương trình $4 m x + (2 m - 1) y = m + 2$ ta được:

$\begin{aligned} 4 m .6 + (2 m - 1 .) (- 2) = m + 2 \\ \Leftrightarrow 24 m - 4 m + 2 = m + 2 \\ \Leftrightarrow 19 m = 0 \\ \Leftrightarrow m = 0 \end{aligned}$

Vậy với $m = 0$ thì ba đường thẳng $(d_{1}), (d_{2}), (d_{3})$ đồng quy tại điểm $A (6; - 2) .$

Bài 34* trang 12 SBT Toán 9 tập 2: Nghiệm chung của ba phương trình đã cho được gọi là nghiệm của hệ gồm ba phương trình ấy. Giải hệ phương trình là tìm nghiệm chung của tất cả các phương trình trong hệ. Hãy giải các hệ phương trình sau:

a) ${\begin{matrix} 3 x + 5 y = 34 \\ 4 x - 5 y = - 13 \\ 5 x - 2 y = 5 \end{matrix}$

b) ${\begin{matrix} 6 x - 5 y = - 49 \\ - 3 x + 2 y = 22 \\ 7 x + 5 y = 10 \end{matrix}$

Phương pháp giải:

Sử dụng:

– Chọn trong hệ đã cho hai phương trình lập thành một hệ có nghiệm duy nhất. Giải hệ này bằng phương pháp cộng đại số ta tìm được nghiệm $(x_{0}; y_{0})$ .

– Nếu $(x_{0}; y_{0})$ cũng là nghiệm của phương trình còn lại thì đó là nghiệm của hệ đã cho.

– Nếu $(x_{0}; y_{0})$ không phải là nghiệm của phương trình còn lại thì hệ đã cho vô nghiệm.

Lời giải:

${\begin{matrix} 3 x + 5 y = 34 \\ 4 x - 5 y = - 13 \\ 5 x - 2 y = 5 \end{matrix}$

Ta giải hệ phương trình:

$\begin{aligned} {\begin{matrix} 3 x + 5 y = 34 \\ 4 x - 5 y = - 13 \end{matrix} \\ \Leftrightarrow {\begin{matrix} 7 x = 21 \\ 4 x - 5 y = - 13 \end{matrix} \\ \Leftrightarrow {\begin{matrix} x = 3 \\ 4.3 - 5 y = - 13 \end{matrix} \\ \Leftrightarrow {\begin{matrix} x = 3 \\ - 5 y = - 25 \end{matrix} \\ \Leftrightarrow {\begin{matrix} x = 3 \\ y = 5 \end{matrix} \end{aligned}$

Thay $x = 3$ và $y = 5$ vào phương trình còn lại $5 x - 2 y = 5$ ta được:

$5.3 - 2.5 = 5 \Leftrightarrow 5 = 5 (luôn đúng)$

Do đó cặp số $(x; y) = (3; 5)$ là nghiệm của phương trình $5 x - 2 y = 5$ .

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là $(x; y) = (3; 5)$

${\begin{matrix} 6 x - 5 y = - 49 \\ - 3 x + 2 y = 22 \\ 7 x + 5 y = 10 \end{matrix}$

Ta giải hệ phương trình:

$\begin{aligned} {\begin{matrix} 6 x - 5 y = - 49 \\ 7 x + 5 y = 10 \end{matrix} \\ \Leftrightarrow {\begin{matrix} 13 x = - 39 \\ 7 x + 5 y = 10 \end{matrix} \\ \Leftrightarrow {\begin{matrix} x = - 3 \\ 7. (- 3) + 5 y = 10 \end{matrix} \\ \Leftrightarrow {\begin{matrix} x = - 3 \\ y = \frac{31}{5} \end{matrix} \end{aligned}$

Thay $x = - 3$ ; $y = \frac{31}{5}$ vào phương trình còn lại $- 3 x + 2 y = 22$ ta được:

$- 3. (- 3) + 2. \frac{31}{5} = 22 \Leftrightarrow 9 + \frac{62}{5} = 22 \Leftrightarrow \frac{107}{5} = 22 (vô lí)$

Do đó cặp số $(x; y) = (- 3; \frac{31}{5})$ không phải là nghiệm của phương trình $- 3 x + 2 y = 22$ .

Vậy hệ phương trình đã cho vô nghiệm.

Bài tập bổ sung (trang 12,13 SBT Toán 9)

Bài 4.1 trang 12 SBT Toán 9 tập 2: Giải các hệ phương trình:

$a) {\begin{matrix} \frac{3}{x} + \frac{5}{y} = - \frac{3}{2} \\ \frac{5}{x} - \frac{2}{y} = \frac{8}{3} \end{matrix}$

$b) {\begin{matrix} \frac{2}{x + y - 1} - \frac{4}{x - y + 1} = - \frac{14}{5} \\ \frac{3}{x + y - 1} + \frac{2}{x - y + 1} = - \frac{13}{5} \end{matrix}$

Phương pháp giải:

Sử dụng:

– Cách giải hệ phương trình bằng phương pháp đặt ẩn số phụ:

+ Bước 1: Đặt điều kiện để hệ có nghĩa

+ Bước 2: Đặt ẩn phụ và điều kiện của ẩn phụ

+ Bước 3: Giải hệ theo các ẩn phụ đã đặt (sử dụng phương pháp thế hoặc phương pháp cộng đại số)

+ Bước 4: Trở lại ẩn ban đầu để tìm nghiệm của hệ.

Lời giải:

$a) {\begin{matrix} \frac{3}{x} + \frac{5}{y} = - \frac{3}{2} \\ \frac{5}{x} - \frac{2}{y} = \frac{8}{3} \end{matrix}$

Điều kiện: $x \neq 0; y \neq 0$ .

Đặt $\frac{1}{x} = a; \frac{1}{y} = b$ $(a \neq 0; b \neq 0)$

Khi đó hệ phương trình đã cho trở thành:

$\begin{aligned} {\begin{matrix} 3 a + 5 b = - \frac{3}{2} \\ 5 a - 2 b = \frac{8}{3} \end{matrix} \\ \Leftrightarrow {\begin{matrix} 6 a + 10 b = - 3 \\ 15 a - 6 b = 8 \end{matrix} \\ \Leftrightarrow {\begin{matrix} 30 a + 50 b = - 15 \\ 30 a - 12 b = 16 \end{matrix} \\ \Leftrightarrow {\begin{matrix} 62 b = - 31 \\ 6 a + 10 b = - 3 \end{matrix} \\ \Leftrightarrow {\begin{matrix} b = - \frac{1}{2} \\ 6 a + 10. (- \frac{1}{2}) = - 3 \end{matrix} \\ \Leftrightarrow {\begin{matrix} b = - \frac{1}{2} \\ 6 a = 2 \end{matrix} \\ \Leftrightarrow {\begin{matrix} b = - \frac{1}{2} \\ a = \frac{1}{3} \end{matrix} (thoả mãn) \end{aligned}$

Suy ra:

${\begin{matrix} \frac{1}{x} = \frac{1}{3} \\ \frac{1}{y} = - \frac{1}{2} \end{matrix} \Leftrightarrow {\begin{matrix} x = 3 \\ y = - 2 \end{matrix} (thoả mãn)$

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là $(x; y) = (3; - 2)$ .

$b) {\begin{matrix} \frac{2}{x + y - 1} - \frac{4}{x - y + 1} = - \frac{14}{5} \\ \frac{3}{x + y - 1} + \frac{2}{x - y + 1} = - \frac{13}{5} \end{matrix}$

Điều kiện: $x + y - 1 \neq 0; x - y + 1 \neq 0$

Đặt $\frac{1}{x + y - 1} = a; \frac{1}{x - y + 1} = b$

$(a \neq 0; b \neq 0)$

Khi đó hệ phương trình đã cho trở thành:

$\begin{aligned} {\begin{matrix} 2 a - 4 b = - \frac{14}{5} \\ 3 a + 2 b = - \frac{13}{5} \end{matrix} \\ \Leftrightarrow {\begin{matrix} 2 a - 4 b = - \frac{14}{5} \\ 6 a + 4 b = - \frac{26}{5} \end{matrix} \\ \Leftrightarrow {\begin{matrix} 8 a = - 8 \\ 3 a + 2 b = - \frac{13}{5} \end{matrix} \\ \Leftrightarrow {\begin{matrix} a = - 1 \\ 3. (- 1) + 2 b = - \frac{13}{5} \end{matrix} \\ \Leftrightarrow {\begin{matrix} a = - 1 \\ b = \frac{1}{5} \end{matrix} (thoả mãn) \end{aligned}$

Suy ra:

$\begin{aligned} {\begin{matrix} \frac{1}{x + y - 1} = - 1 \\ \frac{1}{x - y + 1} = \frac{1}{5} \end{matrix} \\ \Leftrightarrow {\begin{matrix} x + y - 1 = - 1 \\ x - y + 1 = 5 \end{matrix} \\ \Leftrightarrow {\begin{matrix} x + y = 0 \\ x - y = 4 \end{matrix} \Leftrightarrow {\begin{matrix} 2 x = 4 \\ x - y = 4 \end{matrix} \\ \Leftrightarrow {\begin{matrix} x = 2 \\ 2 - y = 4 \end{matrix} \\ \Leftrightarrow {\begin{matrix} x = 2 \\ y = - 2 \end{matrix} (thoả mãn) \end{aligned}$

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là $(x; y) = (2; - 2) .$

Bài 4.2 trang 12 SBT Toán 9 tập 2: Hãy xác định hàm số bậc nhất thỏa mãn mỗi điều kiện sau:

$a)$ Đồ thị của hàm số đi qua hai điểm $M (- 3; 1)$ và $N (1; 2)$

$b)$ Đồ thị của hàm số đi qua hai điểm $M (\sqrt{2}; 1)$ và $N (3; 3 \sqrt{2} - 1)$

$c)$ Đồ thị đi qua điểm $M (- 2; 9)$ và cắt đường thẳng $(d) : 3 x - 5 y = 1$ tại điểm có hoành độ bằng $2.$

Phương pháp giải:

Sử dụng:

– Hàm số bậc nhất là hàm số được cho bởi công thức $y = a x + b,$ trong đó $a, b$ là những số cho trước và $a \neq 0.$

– Đường thẳng $a x + b y = c$ đi qua điểm $M (x_{0}; y_{0})$ $\Leftrightarrow a x_{0} + b y_{0} = c$ .

– Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số

Lời giải:

Hàm số bậc nhất có dạng $y = a x + b$ $(a \neq 0) .$

$a)$ Đồ thị của hàm số $y = a x + b$ đi qua điểm $M (- 3; 1)$ nên ta có $1 = - 3 a + b$

Đồ thị của hàm số $y = a x + b$ đi qua điểm $N (1; 2)$ nên ta có $2 = a + b$

Khi đó $a$ và $b$ là nghiệm của hệ phương trình:

$\begin{aligned} {\begin{matrix} - 3 a + b = 1 \\ a + b = 2 \end{matrix} \Leftrightarrow {\begin{matrix} 4 a = 1 \\ a + b = 2 \end{matrix} \\ \Leftrightarrow {\begin{matrix} a = \frac{1}{4} \\ \frac{1}{4} + b = 2 \end{matrix} \Leftrightarrow {\begin{matrix} a = \frac{1}{4} \\ b = \frac{7}{4} \end{matrix} \end{aligned}$

Ta thấy $a = \frac{1}{4}$ thoả mãn điều kiện $a \neq 0$

Vậy hàm số cần tìm là $y = \frac{1}{4} x + \frac{7}{4} .$

$b)$ Đồ thị của hàm số $y = a x + b$ đi qua điểm $M (\sqrt{2}; 1)$ nên ta có $1 = a \sqrt{2} + b$

Đồ thị của hàm số $y = a x + b$ đi qua điểm $N (3; 3 \sqrt{2} - 1)$ nên ta có $3 \sqrt{2} - 1 = 3 a + b$

Khi đó $a$ và $b$ là nghiệm của hệ phương trình:

$\begin{aligned} {\begin{matrix} a \sqrt{2} + b = 1 \\ 3 a + b = 3 \sqrt{2} - 1 \end{matrix} \\ \Leftrightarrow {\begin{matrix} (3 - \sqrt{2}) a = 3 \sqrt{2} - 2 \\ a \sqrt{2} + b = 1 \end{matrix} \\ \Leftrightarrow {\begin{matrix} (3 - \sqrt{2}) a = \sqrt{2} (3 - \sqrt{2}) \\ a \sqrt{2} + b = 1 \end{matrix} \\ \Leftrightarrow {\begin{matrix} a = \sqrt{2} \\ {(\sqrt{2})}^{2} + b = 1 \end{matrix} \\ \Leftrightarrow {\begin{matrix} a = \sqrt{2} \\ 2 + b = 1 \end{matrix} \Leftrightarrow {\begin{matrix} a = \sqrt{2} \\ b = - 1 \end{matrix} \end{aligned}$

Ta thấy $a = \sqrt{2}$ thoả mãn điều kiện $a \neq 0$

Vậy hàm số cần tìm là $y = \sqrt{2} x - 1$

$c)$ Do đồ thị của hàm số $y = a x + b$ cắt đường thẳng $(d) : 3 x - 5 y = 1$ tại điểm $N$ có hoành độ bằng $2$ nên $N (2; y)$ .

Điểm $N$ nằm trên đường thẳng $(d) : 3 x - 5 y = 1$ nên ta có $3.2 - 5 y = 1 \Leftrightarrow - 5 y = - 5 \Leftrightarrow y = 1$

Suy ra $N (2; 1.)$

Đồ thị của hàm số $y = a x + b$ đi qua điểm $M (- 2; 9)$ nên ta có $9 = - 2 a + b$

Đồ thị của hàm số $y = a x + b$ đi qua điểm $N (2; 1)$ nên ta có $1 = 2 a + b$

Khi đó $a$ và $b$ là nghiệm của hệ phương trình:

$\begin{aligned} {\begin{matrix} - 2 a + b = 9 \\ 2 a + b = 1 \end{matrix} \Leftrightarrow {\begin{matrix} 2 b = 10 \\ 2 a + b = 1 \end{matrix} \\ \Leftrightarrow {\begin{matrix} b = 5 \\ 2 a + 5 = 1 \end{matrix} \Leftrightarrow {\begin{matrix} b = 5 \\ 2 a = - 4 \end{matrix} \\ \Leftrightarrow {\begin{matrix} b = 5 \\ a = - 2 \end{matrix} \end{aligned}$

Ta thấy $a = - 2$ thoả mãn điều kiện $a \neq 0$

Vậy hàm số cần tìm là $y = - 2 x + 5.$

Bài 4.3 trang 13 SBT Toán 9 tập 2: Giải hệ phương trình:

${\begin{matrix} \frac{x y}{x + y} = \frac{2}{3} \\ \frac{y z}{y + z} = \frac{6}{5} \\ \frac{z x}{z + x} = \frac{3}{4} \end{matrix}$

Phương pháp giải:

Sử dụng:

– Cách giải hệ phương trình bằng phương pháp đặt ẩn số phụ:

+ Bước 1: Đặt điều kiện để hệ có nghĩa

+ Bước 2: Đặt ẩn phụ và điều kiện của ẩn phụ

+ Bước 3: Giải hệ theo các ẩn phụ đã đặt

+ Bước 4: Trở lại ẩn ban đầu để tìm nghiệm của hệ.

Lời giải:

Điều kiện: $x \neq - y; y \neq - z; z \neq - x$

Từ hệ phương trình đã cho suy ra: $x \neq 0; y \neq 0; z \neq 0$

Do đó

${\begin{matrix} \frac{x y}{x + y} = \frac{2}{3} \\ \frac{y z}{y + z} = \frac{6}{5} \\ \frac{z x}{z + x} = \frac{3}{4} \end{matrix} \Leftrightarrow {\begin{matrix} \frac{x + y}{x y} = \frac{3}{2} \\ \frac{y + z}{y z} = \frac{5}{6} \\ \frac{z + x}{z x} = \frac{4}{3} \end{matrix} \Leftrightarrow {\begin{matrix} \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{3}{2} \\ \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = \frac{5}{6} \\ \frac{1}{z} + \frac{1}{x} = \frac{4}{3} \end{matrix}$

Đặt $\frac{1}{x} = a; \frac{1}{y} = b; \frac{1}{z} = c$ $(a, b, c \neq 0)$

Khi đó hệ phương trình trên trở thành:

${\begin{matrix} a + b = \frac{3}{2} \\ b + c = \frac{5}{6} \\ c + a = \frac{4}{3} \end{matrix}$

Cộng từng vế của ba phương trình trong hệ ta được:

$\begin{aligned} a + b + b + c + c + a = \frac{3}{2} + \frac{5}{6} + \frac{4}{3} \\ \Leftrightarrow 2 (a + b + c) = \frac{9}{6} + \frac{5}{6} + \frac{8}{6} \\ \Leftrightarrow a + b + c = \frac{11}{6} \\ \Rightarrow a = (a + b + c) - (b + c) \\ = \frac{11}{6} - \frac{5}{6} = 1 \\ b = (a + b + c) - (c + a) \\ = \frac{11}{6} - \frac{4}{3} = \frac{11}{6} - \frac{8}{6} = \frac{1}{2} \\ c = (a + b + c) - (a + b) \\ = \frac{11}{6} - \frac{3}{2} = \frac{11}{6} - \frac{9}{6} = \frac{1}{3} \end{aligned}$

Ta thấy $a = 1; b = \frac{1}{2}; c = \frac{1}{3}$ thoả mãn điều kiện $a, b, c \neq 0$ .

Do đó

${\begin{matrix} \frac{1}{x} = 1 \\ \frac{1}{y} = \frac{1}{2} \\ \frac{1}{z} = \frac{1}{3} \end{matrix} \Leftrightarrow {\begin{matrix} x = 1 \\ y = 2 \\ z = 3 \end{matrix} (thoả mãn)$

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là $(x; y; z) = (1; 2; 3) .$

Bài liên quan:

Leave a Comment Hủy